114 專技高考高等考試 測量技師 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題考查往返觀測的算術平均、平均值的標準差，以及不同精度直接觀測的加權平差。

以下依測量平差常用慣例，將題示「量測精度 $\pm a$」視為單次觀測的標準差 $a$；各次往返觀測彼此獨立，且具有相同精度。往程與返程量測的是同一段距離，因此用算術平均作為該儀器對距離的估計值。若兩次觀測的標準差皆為 $\sigma$，平均值的標準差為

（一）各儀器的期望值及標準差

A 儀器

往返觀測的算術平均為

A 儀器單次觀測標準差為 $0.002\ \mathrm{m}$，因此兩次獨立觀測平均值的標準差為

A 儀器該段距離的期望值估計為 $38.236\ \mathrm{m}$，其標準差約為 $0.001414\ \mathrm{m}$。

B 儀器

B 儀器該段距離的期望值估計為 $38.235\ \mathrm{m}$，其標準差約為 $0.003536\ \mathrm{m}$。

原理與合理性

往返量測的方向相反，但觀測目標相同；在沒有方向性系統誤差的前提下，取兩次觀測的平均可降低隨機誤差。平均值標準差依獨立誤差的變異數相加計算，因此為單次標準差除以 $\sqrt{2}$。

兩台儀器的往返差也符合題示精度的量級：A 儀器相差 $0.004\ \mathrm{m}$，B 儀器相差 $0\ \mathrm{m}$。這與 B 精度較差並不矛盾，因為精度描述的是誤差的散布程度，不代表每組觀測都必須呈現某一固定差值。

（二）直接觀測平差（加權平均）公式推導

設同一未知距離為 $X$，兩組獨立觀測成果為 $L_1,L_2$，其標準差分別為 $\sigma_1,\sigma_2$。觀測方程可寫為

其中 $v_i$ 為觀測改正數，因此 $v_i=X-L_i$。依最小二乘原理，應使加權殘差平方和最小：

其中觀測權數與觀測變異數成反比：

對 $X$ 微分並令其為零：

整理可得

核心觀念

本題考查自由網平差的定義、秩虧與各類控制網的基準不定性。觀測量通常只能決定網形內各點的相對關係，未必能決定整個網在某一基準系統中的位置、方向或尺度。自由網平差只加入足以消除這些不定性的最少控制資料，使法方程可解，同時保留觀測網本身的幾何關係。

設觀測方程線性化為

其中 $\boldsymbol{x}$ 為未知數改正量、$\boldsymbol{A}$ 為設計矩陣。最小平方法的法方程為

若觀測無法決定某些基準自由度，則 $\boldsymbol{N}$ 不具滿秩、無法直接唯一求解；這些未能由觀測決定的自由度，就是基準不定性所造成的秩虧。

（一）經典自由網平差或最小約制網形平差

定義：經典自由網平差（classical free network adjustment）或最小約制網形平差，是僅使用消除網形基準不定性所需的最少控制資料進行平差的方式。它可利用最少的外部基準資料，或以內約制條件固定網形的基準自由度，使法方程有唯一解。

**目的：**自由網平差主要用來評估測量觀測本身的內部精度與網形品質。若固定過多外部控制點，控制點本身的誤差可能被帶入網內，造成網形扭曲或殘差分配受控制資料牽動；採最小約制則能減少這種影響，使平差結果主要反映觀測網本身。

自由網平差所得坐標仍須以適當基準資料定位或定向，才能轉換成特定的外部坐標成果。它的核心是先以最少條件確定解，而非以大量固定點強迫網形符合外部坐標。

（二）秩虧（Rank Defect）

**定義：**秩虧是設計矩陣或法方程矩陣的秩，低於其未知數維數的差額。若未知數數目為 $n$、法方程矩陣 $\boldsymbol{N}$ 的秩為 $r$，則

$d$ 即秩虧數，也代表尚未由觀測決定的獨立自由度數目。此時法方程矩陣為奇異矩陣，未加基準條件前，解不唯一。

**直觀理解：**若整個網形平移、旋轉或改變尺度後，仍不改變原有觀測量，則觀測本身無法區分這些不同狀態。這些無法由觀測決定的變化，就是相應網形的基準自由度，也會形成秩虧。

（三）各類測量控制網所需控制資料及原因

以下以平面三角網、三角三邊網及完整三維 GNSS 基線網說明。所列為經典自由網平差所需的最少基準資料；實際作業若要檢核或連結外部坐標系，仍可另作附加平差。

1. 水準網

**必要控制資料：**一個已知高程點的高程。

**原因：**水準觀測量為點間高差，例如

若所有點的高程同時加上常數 $c$，則

核心觀念

本題考查水準網的條件觀測平差。四點高程皆未知，但六條水準路線的高程差觀測量彼此形成閉合路線，因此可由閉合條件直接求觀測量改正數，不必先以間接觀測平差求各點高程。

令改正數為 $v_{AB},v_{BC},v_{AC},v_{AD},v_{BD},v_{CD}$，改正後高程差為觀測值加改正數。若觀測方向以題目下標為正方向，例如 $\Delta H_{AB}=H_B-H_A$，則閉合路線的高程差代數和為零。

水準觀測的權與路線長成反比。若單位權變方為 $\sigma_0^2$，則

解題方法與公式推導

（一）能否直接計算所有觀測量改正數？

**可以。**雖然四點高程均未知，但網中有六條觀測、四個高程未知數；高程基準的不定性不影響高程差的閉合條件。此網有 $6-(4-1)=3$ 個獨立閉合條件，足以依條件觀測平差求出六個觀測量的改正數。

此處扣除的是 $4-1$ 個獨立高程差參數。四點高程共同加上同一常數不會改變任何高程差，因此只有三個獨立高程差自由度。

（二）條件數

條件數為

其中 $n=6$ 為觀測數、$u=4$ 為未知點高程數、$d=1$ 為高程基準不定數。因此

亦可由水準網的獨立閉合環數驗算：連通網有 $n-p+1=6-4+1=3$ 個獨立環。

（三）條件觀測平差公式

將六個觀測量依序排列為

改正數向量為 $\mathbf v$。條件方程寫成

所以

以觀測改正數平方和的權重形式最小化 $\mathbf v^T\mathbf P\mathbf v$，並以拉格朗日乘數 $\mathbf k$ 加入條件 $\mathbf B\mathbf v+\mathbf w=0$，得到

核心觀念

本題考查間接觀測平差中的獨立未知數、觀測方程式與設計矩陣秩。圖中的六個觀測量可由四個幾何邊長表示；若再加入全程共通的稜鏡常數系統誤差，則須多估一個未知數。

定義：

• $x=HG=AB$：左側寬度
• $y=GF=BC$：右側寬度
• $p=FE$：上側高度
• $q=EC$：下側高度

因此，外框總寬為 $x+y$，總高為 $p+q$。各觀測量的幾何關係為：

（一）沒有系統誤差

獨立未知數

共有 4 個獨立未知數：$x,y,p,q$。

理由是六個觀測量並非六個互相獨立的幾何長度。例如，$L_1$ 是左右寬度之和，$L_6$ 是上下高度之和。因此，四個基本尺寸已足以描述圖形，六個觀測量提供兩個冗餘條件。

間接觀測方程式

令 $v_i$ 為第 $i$ 個觀測量的改正數，採用「改正後觀測量等於參數函數」的寫法：

令 $\boldsymbol{X}=[x,y,p,q]^T$，可寫成 $\boldsymbol{L}+\boldsymbol{v}=A\boldsymbol{X}$，其中