111 專技高考高等考試 測量技師 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題評量測量平差法中**高斯—馬可夫間接觀測模式（Gauss-Markov Model / 參數平差）**之核心理論，主要涵蓋以下觀念與公式：

1. 最小二乘法正規方程式（法方程式）推導與未知參數估值： $\hat{x} = (A^T P A)^{-1} A^T P l = N^{-1} U$
2. 誤差傳播定律（變方協變方傳播）與逆權矩陣（協因數矩陣）： $Q_{\hat{x}\hat{x}} = (A^T P A)^{-1} = N^{-1}$
3. 先驗與後驗單位權方差（單位權中誤差平方）：

• 先驗單位權方差：$\sigma_0^2$
• 後驗單位權方差：$\hat{\sigma}_0^2 = \frac{v^T P v}{n - m}$（其中 $r = n - m$ 為多餘觀測數／自由度）

4. 模型檢定與診斷理論： 單位權方差的卡方檢定（$\chi^2$-test）、函數模式與隨機模式之適配度分析。

解題方法

（一）先驗及後驗未知參數標準差之求法

1. 未知參數之最小二乘估計與逆權矩陣

間接觀測方程式為： $l = A x + e,\qquad \Sigma_l = \sigma_0^2 P^{-1}$

依據最小二乘原理 $v^T P v = \min$（其中殘差向量定義為 $v = A \hat{x} - l$），解得法方程式之未知參數估值為： $\hat{x} = (A^T P A)^{-1} A^T P l$

令法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$，則未知參數之逆權矩陣（Cofactor Matrix，亦稱協因數矩陣）為： $Q_{\hat{x}\hat{x}} = N^{-1} = (A^T P A)^{-1}$

根據變方協變方傳播定律： $\Sigma_{\hat{x}} = J \Sigma_l J^T = \left[(A^T P A)^{-1} A^T P\right] \left[\sigma_0^2 P^{-1}\right] \left[P A (A^T P A)^{-1}\right] = \sigma_0^2 (A^T P A)^{-1} = \sigma_0^2 Q_{\hat{x}\hat{x}}$

2. 先驗未知參數標準差之獲得

先驗未知參數方差協方差矩陣 $\Sigma_{\hat{x}}$ 係由先驗單位權方差 $\sigma_0^2$ 與逆權矩陣計算而得： $\Sigma_{\hat{x}} = \sigma_0^2 Q_{\hat{x}\hat{x}} = \sigma_0^2 (A^T P A)^{-1}$

對於第 $i$ 個未知參數 $\hat{x}_i$，其先驗標準差 $\sigma_{\hat{x}_i}$ 為矩陣對角線上對應之元素的平方根： $\sigma_{\hat{x}_i} = \sqrt{\Sigma_{\hat{x}}(i,i)} = \sigma_0 \sqrt{Q_{\hat{x}_i \hat{x}_i}}$ 其中 $Q_{\hat{x}_i \hat{x}_i}$ 為矩陣 $(A^T P A)^{-1}$ 的第 $i$ 個對角元素。

3. 後驗未知參數標準差之獲得

平差求解完成後，先計算觀測量之殘差向量 $v$： $v = A \hat{x} - l$

利用殘差平方和與自由度 $r = n - m$，計算後驗單位權方差 $\hat{\sigma}_0^2$： $\hat{\sigma}_0^2 = \frac{v^T P v}{n - m}$

進而求得後驗單位權標準差 $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\hat{\sigma}_0^2}$。

後驗未知參數方差協方差矩陣 $\hat{\Sigma}_{\hat{x}}$ 為： $\hat{\Sigma}_{\hat{x}} = \hat{\sigma}_0^2 Q_{\hat{x}\hat{x}} = \hat{\sigma}_0^2 (A^T P A)^{-1}$

對於第 $i$ 個未知參數 $\hat{x}_i$，其後驗標準差 $\hat{\sigma}_{\hat{x}_i}$ 為： $\hat{\sigma}_{\hat{x}_i} = \sqrt{\hat{\Sigma}_{\hat{x}}(i,i)} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{\hat{x}_i \hat{x}_i}}$

（二）先驗及後驗未知參數標準差在品質上之意涵

兩者在測量工程品質控制與統計評估上具備截然不同的物理與工程意涵：

1. 先驗未知參數標準差之品質意涵

• 網形幾何結構與理論精度之反映： 先驗標準差僅取決於係數矩陣 $A$（測站與目標點空間構形）以及預設的權矩陣 $P$（儀器標稱精度），與實際野外觀測值數值無關。
• 規劃與最佳化設計指標（Pre-analysis）： 在施測前的工程規劃設計階段，用於評估測量網構形是否合理、是否能滿足規範要求的容許誤差，為「理論預期精度」。

2. 後驗未知參數標準差之品質意涵

• 實際觀測品質與內符合精度之反映： 後驗標準差納入了觀測殘差向量 $v$，直接反映野外施測時儀器狀態、作業員操作、環境大氣折光等綜合因素對成果的影響。
• 最終平差成果之實際可靠度指標：

核心觀念

本題評量測量平差之三大基本幾何與機率平差模型——直接觀測平差、間接觀測平差（參數平差）、條件觀測平差中，最小二乘估計解對**改正數總和（$\sum v_i$）**之代數性質與幾何拘束。

關鍵定義與公式包含：

1. 改正數定義：設觀測值為 $L_i$，最妥值（平差值）為 $\hat{L}_i$，改正數定義為 $v_i = \hat{L}_i - L_i$（矩陣表示為 $V = \hat{L} - L$）。改正規正向量設為 $\mathbf{e} = [1, 1, \dots, 1]^T$，則改正數總和為 $\sum_{i=1}^n v_i = \mathbf{e}^T V$。
2. 最小二乘準則：

• 等權觀測（權矩陣 $P = I$）：$\Phi = V^T V = \sum v_i^2 = \min$
• 不等權觀測（權矩陣 $P$ 為對角或對稱正定矩陣）：$\Phi = V^T P V = \sum P_i v_i^2 = \min$

3. 加權改正數和與未加權改正數和之本質差異： 平差極值條件一階導數導出的法方程式本質上拘束的是「含權殘差向量」（$P V$），而非純幾何改正數向量（$V$）。因此，分析時必須嚴格區分等權與不等權兩種情境。

解題方法

本題之推導切入點在於：由各平差模式之目標函數求取極值，列出法方程式（Normal Equations）或尤拉-拉格朗日條件，進而檢驗 $\mathbf{e}^T V$ 是否恆等於零。

一、直接觀測平差模式（Direct Observations）

直接觀測平差係對單一未知數 $X$ 進行 $n$ 次獨立觀測，觀測方程式為： $L_i + v_i = \hat{X} \quad \implies \quad v_i = \hat{X} - L_i \quad (i = 1, 2, \dots, n)$ 矩陣形式為 $V = \mathbf{e}\hat{X} - L$。

1. 等權觀測（$P = I$）： 目標函數為 $\Phi = V^T V = \sum_{i=1}^n (\hat{X} - L_i)^2 = \min$。 對 $\hat{X}$ 微分並令其為零： $\frac{d\Phi}{d\hat{X}} = 2 \sum_{i=1}^n (\hat{X} - L_i) = 2 \sum_{i=1}^n v_i = 0$ 因此： $\sum_{i=1}^n v_i = 0 \quad \text{（恆為零）}$ 此時 $\hat{X} = \frac{1}{n}\sum L_i = \bar{L}$（算術平均數）。

2. 不等權觀測（$P \neq I$）： 目標函數為 $\Phi = V^T P V = \sum_{i=1}^n P_i (\hat{X} - L_i)^2 = \min$。 對 $\hat{X}$ 微分： $\frac{d\Phi}{d\hat{X}} = 2 \sum_{i=1}^n P_i (\hat{X} - L_i) = 2 \sum_{i=1}^n P_i v_i = 0 \implies \sum_{i=1}^n P_i v_i = 0$ 平差值為加權平均數 $\hat{X} = \frac{\sum P_i L_i}{\sum P_i}$。 檢驗未加權改正數和： $\sum_{i=1}^n v_i = n\hat{X} - \sum_{i=1}^n L_i = n \left( \frac{\sum P_i L_i}{\sum P_i} - \bar{L} \right)$ 除非各觀測值之權皆相等，或觀測值分布巧合使加權平均數恰等於算術平均數，否則一般情況下不為零。

二、間接觀測平差模式（Indirect Observations / 參數平差）

間接觀測平差設有 $u$ 個獨立未知參數 $\hat{X} = [\hat{x}_1, \dots, \hat{x}_u]^T$，線性化誤差方程式為： $V = A\hat{X} - L$ 其中 $A$ 為 $n \times u$ 階設計矩陣（Design Matrix），$L$ 為常數項向量。

目標函數為 $\Phi = V^T P V = (A\hat{X} - L)^T P (A\hat{X} - L) = \min$。 對參數向量 $\hat{X}$ 微分並令其為零，導出法方程式之極值條件： $A^T P V = 0$

1. 等權觀測（$P = I$）： 極值條件退化為： $A^T V = 0$ 式中 $A^T$ 的每一列（即 $A$ 的每一行向量）與殘差向量 $V$ 正交。 若要使改正數總和 $\sum v_i = \mathbf{e}^T V = 0$ 恆成立，充要條件為向量 $\mathbf{e} = [1, 1, \dots, 1]^T$ 落在矩陣 $A$ 的行空間（Column Space $\mathcal{C}(A)$）內，即存在一組係數常數向量 $C = [c_1, \dots, c_u]^T$ 使得： $A C = \mathbf{e}$

• 滿足條件之特例：若平差模型中包含公共零點參數、高程原點平移參數、或多項式擬合之常數截距項（此時 $A$ 包含一列元素全為 1 之行向量），則 $\mathbf{e}^T V = 0$ 恆成立。
• 一般情況：若 $A$ 的行向量無法線性組合出全 1 向量（例如無常數項的直線擬合、邊角網坐標平差中局部觀測方程式），則 $A^T V = 0 \centernot\implies \mathbf{e}^T V = 0$。

2. 不等權觀測（$P \neq I$）： 法方程式為 $A^T P V = 0$。 即使 $\mathbf{e} \in \mathcal{C}(A)$，恆成立的性質亦為加權改正數和 $\mathbf{e}^T P V = \sum P_i v_i = 0$。 未加權之改正數總和 $\mathbf{e}^T V = 0$ 需滿足極為嚴苛之條件 $P^{-1}\mathbf{e} \in \mathcal{C}(A)$，故在不等權條件下一般不為零。

綜上，間接觀測平差之改正數總和不一定為零。

核心觀念

本題評量測量平差法中的兩大基礎核心能力：誤差傳播定律（Law of Propagation of Variances and Covariances） 與 變數間的互相關聯度分析（相關係數，Correlation Coefficient）。

1. 函數最或是值（Most Probable Value）： 對於線性函數 $y = a_1 x_1 + a_2 x_2$，其最或是值由各觀測量之最或是值直接線性組合求得。
2. 變方與協方差傳播定律（Variance-Covariance Propagation）： 若觀測量向量之共變方矩陣為 $\Sigma_{XX}$，線性組合 $Y = J X$ 的共變方矩陣為 $\Sigma_{YY} = J \Sigma_{XX} J^T$。 針對單一輸出純量 $y = a_1 x_1 + a_2 x_2$，其變方展開為：

當各觀測量互相獨立（$\sigma_{x_1 x_2} = 0$）時，交叉互變方項為零。 3. 共變方與相關係數定義： 變數 $x_i$ 與函數 $y$ 之間的共變方（Covariance）可由協方差傳播求得：

變數 $x_i$ 與 $y$ 之間的相關係數 $\rho_{x_i y}$ 定義為：

解題方法

（一）計算 $y$ 最或是值以及標準差

1. 計算最或是值 $\hat{y}$： 將 $x_1 = 3.000$ 及 $x_2 = 6.000$ 代入線性函數關係式：

2. 計算 $y$ 之變方 $\sigma_y^2$ 與標準差 $\sigma_y$： 對函數取偏微分得權係數（偏導數）：

由誤差傳播定律，且題目給定 $\sigma_{x_1 x_2} = 0$：

代入 $\sigma_{x_1} = 0.100$、$\sigma_{x_2} = 0.100$：

開根號求標準差 $\sigma_y$：

四捨五入至小數點後第三位：

（二）計算相關係數 $\rho_{x_1 y}$ 與 $\rho_{x_2 y}$

核心觀念

水準高程差觀測量的方向由圖中箭頭表示。若箭頭由點 $i$ 指向點 $j$，則該觀測量代表由 $i$ 至 $j$ 的高程差，可寫成 $H_j-H_i$。

本題四點高程皆未知，因此平差只能求得各點間的相對高程；整體高程基準仍有一個自由度，須另加基準條件才能求出唯一解。五個觀測量對四個點，且觀測網連通，故有 $5-(4-1)=2$ 個多餘觀測，可形成兩個獨立閉合條件。

（一）高程最高點

依圖中箭頭方向：

每一箭頭均表示沿箭頭方向高程上升，因此 $H_B>H_A$、$H_C>H_B$、$H_D>H_C$。

最高點為 $D$。

（二）觀測量平差方程式

令點高程向量為 $\mathbf{x}=[H_A,H_B,H_C,H_D]^T$，觀測量向量為 $\mathbf{l}=[l_1,l_2,l_3,l_4,l_5]^T$，觀測改正數向量為 $\mathbf{v}$。依箭頭方向，各觀測方程式為：

寫成矩陣式：