112 專技高考高等考試 測量技師 測量平差法 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・測量技師
試題代碼 測量平差法

第 一 題10 分

假設有一個立方體，長 LL、寬 WW、高 HH 測量數據如下（±\pm 符號前為平均值，±\pm 符號後為標準差）：

L=900.00±0.10L=900.00\pm0.10 公尺，W=110.00±0.02W=110.00\pm0.02 公尺，H=50.00±0.01H=50.00\pm0.01 公尺。

試求體積之標準差多少立方公尺？（取到小數 1 位）

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核心觀念

本題考查測量量值的誤差傳播。立方體體積為 V=LWHV=LWH；當長、寬、高的測量誤差互不相關時，體積的變異數可由一階誤差傳播公式計算：

σV2=(∂V∂L)2σL2+(∂V∂W)2σW2+(∂V∂H)2σH2\sigma_V^2= \left(\frac{\partial V}{\partial L}\right)^2\sigma_L^2+ \left(\frac{\partial V}{\partial W}\right)^2\sigma_W^2+ \left(\frac{\partial V}{\partial H}\right)^2\sigma_H^2

因此，體積標準差為：

σV=(WHσL)2+(LHσW)2+(LWσH)2\sigma_V=\sqrt{(WH\sigma_L)^2+(LH\sigma_W)^2+(LW\sigma_H)^2}

題目未提供各邊測量值間的相關資訊，依獨立測量處理。

解題方法

先求體積對各邊長的偏導數：

∂V∂L=WH,∂V∂W=LH,∂V∂H=LW\frac{\partial V}{\partial L}=WH,\qquad \frac{\partial V}{\partial W}=LH,\qquad \frac{\partial V}{\partial H}=LW
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第 二 題10 分

假設矩形邊長 aa、bb 經測量得下表：

測回邊長 aa（公尺）邊長 bb（公尺）
1249.80179.90
2250.10180.15
3249.90179.85
4250.01180.01
5250.20180.10

試求：（每小題 5 分，共 10 分）

（一）邊長 aa、bb 的相關係數多少？

（二）矩形面積的中誤差多少平方公尺？（取到小數 1 位）

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核心觀念

本題考察兩組同步測量成果的相關係數，以及由邊長平差成果推算矩形面積時，如何將邊長的不確定度傳遞至面積。因為每一測回同時量得 aa 與 bb，兩邊長的變動可能相關；面積中誤差須納入此相關性。

解題方法

先分別計算兩組邊長的平均值與離差，再由離差乘積求相關係數。面積 S=abS=ab 的中誤差則使用誤差傳播公式，並納入 aa、bb 的共變異數。

（一）邊長 aa、bb 的相關係數

兩邊長平均值為

aˉ=249.80+250.10+249.90+250.01+250.205=250.002 m\bar a=\frac{249.80+250.10+249.90+250.01+250.20}{5}=250.002\ \text{m} bˉ=179.90+180.15+179.85+180.01+180.105=180.002 m\bar b=\frac{179.90+180.15+179.85+180.01+180.10}{5}=180.002\ \text{m}

以各測回成果減去平均值，得到離差：

測回va=ai−aˉv_a=a_i-\bar a（m）vb=bi−bˉv_b=b_i-\bar b（m）
1−0.202-0.202−0.102-0.102
20.0980.0980.1480.148
3−0.102-0.102−0.152-0.152
40.0080.0080.0080.008
50.1980.1980.0980.098

計算離差平方和與離差乘積和：

∑va2=0.090480,∑vb2=0.060080,∑vavb=0.071480\sum v_a^2=0.090480,\qquad \sum v_b^2=0.060080,\qquad \sum v_av_b=0.071480

相關係數為

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第 三 題15 分

已知 ABAB 之距離平均值及標準差為 200200 公尺 ±0.010\pm0.010 公尺，ABAB 之方位角 ϕAB\phi_{AB} 平均值及標準差為 120∘00′00′′±10′′120^\circ00'00''\pm10''，AA 點之平面座標 (XA,YA)(X_A,Y_A) 平均值及標準差為：

(100 公尺±0.005 公尺, 150 公尺±0.005 公尺)(100\text{ 公尺}\pm0.005\text{ 公尺},\ 150\text{ 公尺}\pm0.005\text{ 公尺})。

試計算：

（一）BB 點之座標 (XB,YB)(X_B,Y_B) 最或是值？（公尺為單位，到小數以下 3 位）（5 分）

（二）BB 點之座標 (XB,YB)(X_B,Y_B) 標準差？（公尺為單位，到小數以下 3 位）（10 分）

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核心觀念

本題考查由距離與方位角進行座標正算，以及利用誤差傳播律計算座標標準差。設方位角自北方向順時針量起，則：

XB=XA+Dsin⁡ϕ,YB=YA+Dcos⁡ϕX_B=X_A+D\sin\phi,\qquad Y_B=Y_A+D\cos\phi

其中 DD 為 ABAB 距離，ϕ\phi 為 ABAB 方位角。各觀測量視為互相獨立，座標標準差以一階誤差傳播律計算。

解題方法

已知 D=200 mD=200\text{ m}、ϕ=120∘\phi=120^\circ、(XA,YA)=(100,150) m(X_A,Y_A)=(100,150)\text{ m}。

（一）BB 點座標最或是值

XB=100+200sin⁡120∘=100+200(32)=273.205 m,YB=150+200cos⁡120∘=150+200(−12)=50.000 m.\begin{aligned} X_B &=100+200\sin120^\circ\\ &=100+200\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) =273.205\text{ m},\\[4pt] Y_B &=150+200\cos120^\circ\\ &=150+200\left(-\frac12\right) =50.000\text{ m}. \end{aligned}

（二）BB 點座標標準差

方位角的標準差須先換成弧度：

σϕ=10′′×π180×3600=4.84814×10−5 rad.\sigma_\phi=10''\times\frac{\pi}{180\times3600} =4.84814\times10^{-5}\text{ rad}.

由

XB=XA+Dsin⁡ϕ,YB=YA+Dcos⁡ϕX_B=X_A+D\sin\phi,\qquad Y_B=Y_A+D\cos\phi

取偏微分：

∂XB∂XA=1,∂XB∂D=sin⁡ϕ,∂XB∂ϕ=Dcos⁡ϕ,∂YB∂YA=1,∂YB∂D=cos⁡ϕ,∂YB∂ϕ=−Dsin⁡ϕ.\begin{array}{lll} \dfrac{\partial X_B}{\partial X_A}=1,& \dfrac{\partial X_B}{\partial D}=\sin\phi,& \dfrac{\partial X_B}{\partial\phi}=D\cos\phi,\\[6pt] \dfrac{\partial Y_B}{\partial Y_A}=1,& \dfrac{\partial Y_B}{\partial D}=\cos\phi,& \dfrac{\partial Y_B}{\partial\phi}=-D\sin\phi. \end{array}

在各輸入量相互獨立的條件下，誤差傳播律為：

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第 四 題15 分

如下圖設 xx、yy、zz 為 ∠AOB\angle AOB、∠BOC\angle BOC、∠COD\angle COD 的最或是值，θ1\theta_1、θ2\theta_2、θ3\theta_3、θ4\theta_4 為觀測值。請用觀測方程式法之間接平差法求解 xx、yy、zz。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考「間接觀測平差」：以未知角 x,y,zx,y,z 作為參數，將各觀測角寫成未知數的線性組合，再以最小二乘法求使殘差平方和最小的最或是值。

依圖中各觀測角所夾的方向：

θ1觀測 x,θ2觀測 y,θ3觀測 z,θ4觀測 x+y+z\theta_1 \text{觀測 }x,\qquad \theta_2 \text{觀測 }y,\qquad \theta_3 \text{觀測 }z,\qquad \theta_4 \text{觀測 }x+y+z

題目未提供各觀測值的權，因此採等權平差。

解題方法

依觀測方程式法，令 V=AX−LV=AX-L，其中

X=[xyz],L=[θ1θ2θ3θ4],A=[100010001111]X= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}, \qquad L= \begin{bmatrix} \theta_1\\\theta_2\\\theta_3\\\theta_4 \end{bmatrix}, \qquad A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&1&1 \end{bmatrix}

因此各觀測方程式為

θ1+v1=x,θ2+v2=y,θ3+v3=z,θ4+v4=x+y+z.\begin{aligned} \theta_1+v_1&=x,\\ \theta_2+v_2&=y,\\ \theta_3+v_3&=z,\\ \theta_4+v_4&=x+y+z. \end{aligned}

等權時，法方程式為

ATAX=ATLA^{\mathsf T}AX=A^{\mathsf T}L

其中

ATA=[211121112],ATL=[θ1+θ4θ2+θ4θ3+θ4].A^{\mathsf T}A= \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}, \qquad A^{\mathsf T}L= \begin{bmatrix} \theta_1+\theta_4\\ \theta_2+\theta_4\\ \theta_3+\theta_4 \end{bmatrix}.

令觀測閉合差為

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第 五 題20 分

如下圖之高程測量，已知：

ΔHAB=10.050\Delta H_{AB}=10.050 公尺，
ΔHBC=20.000\Delta H_{BC}=20.000 公尺，
ΔHCD=30.100\Delta H_{CD}=30.100 公尺，
ΔHDA=−60.000\Delta H_{DA}=-60.000 公尺，
ΔHBD=50.100\Delta H_{BD}=50.100 公尺，
HA=100.000H_A=100.000 公尺，
HC=130.000H_C=130.000 公尺。

（每小題 10 分，共 20 分）

（一）試以觀測方程式之間接平差法求 BB、DD 點高程最或是值各多少公尺？（解到小數以下 3 位）

（二）試將觀測方程式以矩陣法表示（不用求解）。

V=AX−LV=AX-L

其中：

VV＝改正量向量；

XX＝最或是值向量；

AA＝係數矩陣；

LL＝係數向量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題以間接平差法求未知點高程。高程差的方向依題目下標，例如 ΔHAB=HB−HA\Delta H_{AB}=H_B-H_A。將已知高程 HA=100.000H_A=100.000 公尺、HC=130.000H_C=130.000 公尺代入各觀測方程式後，以 HBH_B、HDH_D 為未知數。

題目未提供各觀測量的權，採等權平差，即 P=IP=I。依題目指定的形式，改正量為 V=AX−LV=AX-L，故法方程式為

ATAX=ATLA^TAX=A^TL

解題方法

按 AB、BC、CD、DA、BDAB、BC、CD、DA、BD 的順序列式。每列改正量均為「由未知高程計算的高程差減去觀測高程差」：

vAB=HB−(10.050+100.000)=HB−110.050,vBC=−HB−(20.000−130.000)=−HB+110.000,vCD=HD−(30.100+130.000)=HD−160.100,vDA=−HD−(−60.000−100.000)=−HD+160.000,vBD=−HB+HD−50.100.\begin{aligned} v_{AB}&=H_B-(10.050+100.000)=H_B-110.050,\\ v_{BC}&=-H_B-\bigl(20.000-130.000\bigr)=-H_B+110.000,\\ v_{CD}&=H_D-(30.100+130.000)=H_D-160.100,\\ v_{DA}&=-H_D-\bigl(-60.000-100.000\bigr)=-H_D+160.000,\\ v_{BD}&=-H_B+H_D-50.100. \end{aligned}

因此，矩陣表示為

[vABvBCvCDvDAvBD]=[10−10010−1−11][HBHD]−[110.050−110.000160.100−160.00050.100].\begin{bmatrix} v_{AB}\\ v_{BC}\\ v_{CD}\\ v_{DA}\\ v_{BD} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ -1&0\\ 0&1\\ 0&-1\\ -1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} H_B\\ H_D \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 110.050\\ -110.000\\ 160.100\\ -160.000\\ 50.100 \end{bmatrix}.

所以

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第 六 題15 分

ABAB 兩點距離約 400 公尺，直接水準測量時，前後視距離各約 40 公尺，前視、後視的觀測中誤差各約 0.40.4 mm，試問：

（一）ABAB 兩點高程差之誤差多少公尺？（取小數以下 3 位）（5 分）

（二）如果此一直接水準測量重複四次，則平均值的中誤差多少公尺？（取小數以下 3 位）（10 分）

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核心觀念

直接水準測量中，高程差由各測站的後視讀數與前視讀數相減累加而得。若各次讀數的觀測誤差彼此獨立，則高程差的中誤差按誤差傳播律計算：

mf2=∑i(∂f∂xi)2mi2m_f^2=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2m_i^2

其中 ff 為高程差，xix_i 為各次讀數，mim_i 為其觀測中誤差。前視、後視距離相等時，視準軸等系統性影響可相互抵消；本題計算的是讀數的隨機誤差。

解題方法

ABAB 相距約 400400 公尺，每一測站前、後視距離各約 4040 公尺，因此約需：

n=40040+40=5 個測站n=\frac{400}{40+40}=5\text{ 個測站}

每站高程差為「後視讀數減前視讀數」。前視與後視讀數的中誤差各為 0.40.4 mm，且視為相互獨立，因此單站高程差的中誤差為：

m站=(0.4)2+(0.4)2=2(0.4) mmm_{\text{站}}=\sqrt{(0.4)^2+(0.4)^2} =\sqrt{2}(0.4)\text{ mm}

五站累加後，各站誤差亦視為相互獨立：

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第 七 題15 分

已知有 3 個測量小組各自測一距離，得數據如下：

組別平均值（公尺）標準差（公尺）
1100.1230.004
2100.1250.004
3100.1190.008

試求：

（一）最或是值多少公尺？（取小數以下 3 位）（5 分）

（二）最或是值中誤差多少公尺？（取小數以下 4 位）（10 分）

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查不同精度觀測的加權平均。各組平均值視為同一距離的獨立觀測，已知標準差時，以變異數倒數作為權數：

pi=1σi2p_i=\frac{1}{\sigma_i^2}

最或是值為加權平均：

x^=∑pixi∑pi\hat{x}=\frac{\sum p_i x_i}{\sum p_i}

其標準差（最或是值中誤差）為：

σx^=1∑pi\sigma_{\hat{x}}=\frac{1}{\sqrt{\sum p_i}}

解題方法

各組的標準差分別為 0.0040.004、0.0040.004、0.0080.008 公尺，因此權數比為：

p1:p2:p3=10.0042:10.0042:10.0082=4:4:1p_1:p_2:p_3 =\frac{1}{0.004^2}:\frac{1}{0.004^2}:\frac{1}{0.008^2} =4:4:1

以 4,4,14,4,1 作為等比例權數計算最或是值：

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