113 專技高考高等考試 測量技師 測量平差法 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・測量技師
試題代碼 測量平差法

第 一 題25 分

如下圖所示，一條直線型單導線包含起迄兩對已知點（即圖中的 AA、BB、PP、QQ 四個點）和一個新導線點 CC，共有 5 個點。該導線每一邊的長度相同，均為 500 公尺。

已知水平角觀測精度為 10′′10''，邊長觀測精度為 2 cm。假設水平角觀測量和邊長觀測量均為獨立不相關，且已知點 AA、BB、PP、QQ 沒有誤差。

試問經導線簡易平差後所計算出的 B′B' 點（經簡易平差後，其坐標等於 BB 點坐標）之位置標準差及 B′QB'Q 方位角不符值的標準差為何？

根據這些資料，請設計導線簡易平差的角度閉合差限制值和位置閉合比數限制值，試問其值應為何？以上均請說明理由。

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核心觀念

本題以 P ⁣− ⁣A ⁣− ⁣C ⁣− ⁣B ⁣− ⁣QP\!-\!A\!-\!C\!-\!B\!-\!Q 為一直線導線。P,A,B,QP,A,B,Q 為無誤差已知點，三個測角點為 A,C,BA,C,B；每邊長 500 m500\text{ m}，測角標準差 σβ=10′′\sigma_\beta=10''，測距標準差 σs=0.02 m\sigma_s=0.02\text{ m}。角度與距離觀測彼此獨立。

以下將「位置標準差」定義為平面點位標準差 σp=σx2+σy2\sigma_p=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}，閉合限制採常用的 3σ3\sigma 準則。題目未指定信賴水準，因此角度閉合差與位置閉合比數均依此準則設計。

簡易平差先將角度閉合差平均分配至三個角，再計算坐標。角度改正後的誤差彼此相關，計算 B′B' 點精度時須納入此相關性。

解題方法

1. 角度閉合差及其標準差

三個水平角的觀測誤差獨立且標準差相同，因此角度閉合差 fβf_\beta 的標準差為

σfβ=3 σβ=3×10′′=17.32′′.\sigma_{f_\beta}=\sqrt{3}\,\sigma_\beta =\sqrt{3}\times10'' =17.32''.

角度閉合差平均分配後，各角改正後誤差的變異數與共變異數為

Var⁡(εi)=23σβ2,Cov⁡(εi,εj)=−13σβ2(i≠j).\operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\frac{2}{3}\sigma_\beta^2, \qquad \operatorname{Cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j) =-\frac{1}{3}\sigma_\beta^2 \quad(i\ne j).

2. B′B' 點的位置標準差

從 AA 點起算，B′B' 點由 ACAC、CBCB 兩邊的距離與角度計算。沿導線方向的位置誤差來自兩次獨立測距：

σx2=2σs2=2(0.02)2=0.0008 m2.\sigma_x^2=2\sigma_s^2 =2(0.02)^2 =0.0008\text{ m}^2.

垂直於導線方向的位置誤差，受 AA、CC 兩角影響。令角度改正後的誤差為 εA,εC\varepsilon_A,\varepsilon_C，小角度下有

δy=500εA+500(εA+εC)=1000εA+500εC.\delta y =500\varepsilon_A+500(\varepsilon_A+\varepsilon_C) =1000\varepsilon_A+500\varepsilon_C.

角度以弧度代入，10′′=10/206265 rad10''=10/206265\text{ rad}。依前述變異數與共變異數，

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第 二 題25 分

今有一大型水準網，分成三個較小的水準網，分別由三個不同測量隊實施精密水準測量。三個測量隊各自所負責的每一測線往返測閉合差限制值，分別為 ai mmKa_i\ \mathrm{mm}\sqrt{K}，其中 KK 為水準路線長，以公里為單位，而三個測量隊的 aia_i（i=1,2,3i=1,2,3）並不完全相同。

這三個較小區塊的水準測量資料，最後要組成完整的大型水準網並進行平差計算。請從平差原理申論：

(一) 如何進行偵錯。

(二) 如何釐定這三個不同測量隊各自水準測量資料的觀測精度。

(三) 整合成該大型水準網以後，如何釐定這三個不同測量隊水準測量資料的權比例關係，以進行平差計算？

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核心觀念

本題考查大型水準網由不同測量隊施測時，如何將觀測資料偵錯、估計各隊觀測精度，以及建立跨隊的權比例。三者要分開處理：

  1. 偵錯：找出粗差或不符合規範的觀測。
  2. 精度估計：由各隊的觀測改正數估計單位權中誤差。
  3. 權比例設定：比較各隊估得的觀測變異數，建立平差權矩陣。

題目給的閉合差限制值 ai mmKa_i\ \mathrm{mm}\sqrt{K} 是觀測品質的規範指標，不能直接當成該隊的觀測中誤差或權值。

解題方法

（一）如何進行偵錯

先對各隊區塊分別檢核，再對整合後的全網進行整體檢核。

1. 施測資料初步檢核

逐測線檢查往返測閉合差是否符合該隊標準。若測線長為 KK 公里，閉合差限制可寫為：

∣fi∣≤aiK mm|f_i| \leq a_i\sqrt{K}\ \mathrm{mm}

超限測線應檢查原始紀錄、儀器及尺常數、測站與轉點、往返測資料和計算過程，確認是否有記錄或計算錯誤；必要時重測。閉合差合格只表示通過這項規範檢核，不能證明觀測完全沒有粗差。

2. 各區塊內部檢核

以區塊內的水準路線閉合條件、已知高程點及必要的環線條件檢核資料；再作初步平差，檢查觀測改正數、標準化殘差及其統計檢定結果。殘差異常的觀測應回查原始資料與現場紀錄，確認錯誤後更正或剔除，並重新平差。

3. 整合後的全網檢核

將三區塊接合，檢查共用點高程是否一致、連接測線是否形成合理的閉合條件，並以全網模型進行平差與殘差檢定。區塊各自閉合或平差合格，不代表區塊接合後就必然沒有系統差或粗差；全網檢核可用來發現區塊間的不一致。

（二）如何釐定各隊的觀測精度

在偵錯並排除粗差後，分別以各隊的資料作平差，利用其觀測改正數估計該隊的單位權中誤差。

令第 ii 隊有 nin_i 個觀測量、平差中估計 uiu_i 個獨立未知數，則自由度為：

ri=ni−uir_i=n_i-u_i

若該隊權矩陣為 PiP_i，殘差向量為 viv_i，則單位權中誤差估值為：

σ^0i=viTPiviri\hat{\sigma}_{0i} = \sqrt{\frac{v_i^{T}P_i v_i}{r_i}}

若以等權觀測平差，Pi=IP_i=I，則：

σ^0i=∑jvij 2ri\hat{\sigma}_{0i} = \sqrt{\frac{\sum_j v_{ij}^{\,2}}{r_i}}

水準觀測常以「每公里高差」建立精度模型。若每一測線的先驗權與路線長 KjK_j 成反比，即 pj∝1/Kjp_j\propto 1/K_j，則各隊可以依其觀測長度設定初始權，平差後再由加權殘差平方和估計相應的單位權中誤差。

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第 三 題25 分

一條水準線採用精密水準測量方式，檢測兩個已知水準點 BM01 和 BM02 間的高程差，其規定如下：

在系統誤差未改正前，水準線往返測閉合差須不大於 2.5 mmK2.5\ \mathrm{mm}\sqrt{K}，以及檢測的高程差和已知高程差須不大於 3.8 mmK3.8\ \mathrm{mm}\sqrt{K}，其中 KK 為公里數。

該條水準線前、後視讀數記錄及相關計算如下表。往測的水準路線長為 599.75 m，返測的水準路線長為 601.23 m，已知點 BM01 的高程為 28.23675 m，已知點 BM02 的高程為 29.01250 m。

點號後視（m）前視（m）
BM011.30823
TP11.015720.98734
TP21.332081.02313
TP31.117751.08262
TP41.523041.21097
TP51.632901.32576
BM021.321811.52027
TP71.289071.43827
TP81.694171.49102
TP91.140861.59588
TP101.230151.38823
TP110.978721.22196
BM011.29747

表中成果計算如下：

  • 往測高程差：0.77963 m0.77963\ \mathrm{m}
  • 返測高程差：−0.77795 m-0.77795\ \mathrm{m}
  • 往返測閉合差：1.68 mm1.68\ \mathrm{mm}
  • 往返測高程差平均值：0.77879 m0.77879\ \mathrm{m}
  • 往返測路線長平均值：600.49 m600.49\ \mathrm{m}
  • 已知點高程差：0.77575 m0.77575\ \mathrm{m}
  • 閉合差：3.04 mm3.04\ \mathrm{mm}
  • 觀測精度：2.18 mmK2.18\ \mathrm{mm}\sqrt{K}
  • 閉合精度：3.95 mmK3.95\ \mathrm{mm}\sqrt{K}

試問表中各成果計算（粗框區域）的數值部分是否有謬誤之處？若有謬誤，請加以改正。

表中的「閉合差」意義為何？又表中的「觀測精度」、「閉合精度」是否為平差學中精度的意義？

此水準測量的觀測成果是否符合前述往返測閉合差及已知高程差檢測的規定？

假設該次水準測量一公里的測量精度為 1 mm，試問此次往返測高程差平均值的標準差為何？

由以上這些數據，是否可以推論兩個已知點間的高程差是否變動（95% 信賴區間）？以上請說明理由。

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核心觀念

本題考三件事：水準測量的高程差計算、往返測與已知高程差的檢核，以及觀測量平均值的標準差與變動判定。

從後視、前視計算高程差：

ΔH=∑BS−∑FS\Delta H=\sum BS-\sum FS

往測方向為 BM01 至 BM02；返測方向為 BM02 至 BM01，因此返測結果要反號後，才能和往測結果取平均。往返測閉合差是兩方向高程差相加後的絕對值；本題另列的「閉合差」，則是往返測平均高程差與已知高程差的差。

解題方法與數值更正

往測高程差

∑BS=1.30823+1.01572+1.33208+1.11775+1.52304+1.63290=7.92972 m\sum BS=1.30823+1.01572+1.33208+1.11775+1.52304+1.63290 =7.92972\text{ m} ∑FS=0.98734+1.02313+1.08262+1.21097+1.32576+1.52027=7.15009 m\sum FS=0.98734+1.02313+1.08262+1.21097+1.32576+1.52027 =7.15009\text{ m} ΔH往=7.92972−7.15009=0.77963 m\Delta H_{\text{往}}=7.92972-7.15009 =\boxed{0.77963\text{ m}}

原表此值正確。

返測高程差

∑BS=1.32181+1.28907+1.69417+1.14086+1.23015+0.97872=7.65478 m\sum BS=1.32181+1.28907+1.69417+1.14086+1.23015+0.97872 =7.65478\text{ m} ∑FS=1.43827+1.49102+1.59588+1.38823+1.22196+1.29747=8.43283 m\sum FS=1.43827+1.49102+1.59588+1.38823+1.22196+1.29747 =8.43283\text{ m} ΔH返=7.65478−8.43283=−0.77805 m\Delta H_{\text{返}}=7.65478-8.43283 =\boxed{-0.77805\text{ m}}

原表的 −0.77795 m-0.77795\text{ m} 有誤。

往返測閉合差與平均高程差

f往返=∣0.77963+(−0.77805)∣=0.00158 m=1.58 mmf_{\text{往返}}=\left|0.77963+(-0.77805)\right| =0.00158\text{ m} =\boxed{1.58\text{ mm}}

返測換算為 BM01 至 BM02 方向後為 +0.77805 m+0.77805\text{ m}，故往返測平均高程差為：

ΔH‾=0.77963+0.778052=0.77884 m\overline{\Delta H} =\frac{0.77963+0.77805}{2} =\boxed{0.77884\text{ m}}

原表的往返測閉合差 1.68 mm1.68\text{ mm}、平均高程差 0.77879 m0.77879\text{ m} 都有誤。

平均路線長與已知高程差

K‾=599.75+601.232=600.49 m=0.60049 km\overline K=\frac{599.75+601.23}{2} =600.49\text{ m} =0.60049\text{ km}

原表的平均路線長 600.49 m600.49\text{ m} 正確。

ΔH已知=29.01250−28.23675=0.77575 m\Delta H_{\text{已知}}=29.01250-28.23675 =\boxed{0.77575\text{ m}}

原表的已知點高程差正確。

往返測平均值與已知高程差的差為：

f已知差=∣0.77884−0.77575∣=0.00309 m=3.09 mmf_{\text{已知差}} =\left|0.77884-0.77575\right| =0.00309\text{ m} =\boxed{3.09\text{ mm}}

原表的 3.04 mm3.04\text{ mm} 有誤。

表列「觀測精度」與「閉合精度」的更正值

依平均路線長 K‾=0.60049 km\overline K=0.60049\text{ km} 計算：

1.580.60049=2.04 mmkm\frac{1.58}{\sqrt{0.60049}} =\boxed{2.04\text{ mm}\sqrt{\text{km}}} 3.090.60049=3.99 mmkm\frac{3.09}{\sqrt{0.60049}} =\boxed{3.99\text{ mm}\sqrt{\text{km}}}

因此原表的觀測精度 2.18 mmK2.18\text{ mm}\sqrt K 與閉合精度 3.95 mmK3.95\text{ mm}\sqrt K 均有誤。修正後的粗框數值如下：

成果修正值
往測高程差0.77963 m0.77963\text{ m}
返測高程差−0.77805 m-0.77805\text{ m}
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第 四 題25 分

有一個二維變形監測網觀測了兩期。經由這兩期觀測量平差計算，得到其中一個變形監測點的位移向量估計值為

d^=[1.26786−2.71893] mm\hat{d}= \begin{bmatrix} 1.26786\\ -2.71893 \end{bmatrix} \ \mathrm{mm}

其變方－協變方矩陣如下：

Σd^d^=σ^02Pd^d^−1=[σ^x2σ^xyσ^xyσ^y2]=[0.383955−0.287267−0.2872670.866045] mm2\Sigma_{\hat{d}\hat{d}} = \hat{\sigma}_0^2 P_{\hat{d}\hat{d}}^{-1} = \begin{bmatrix} \hat{\sigma}_x^2 & \hat{\sigma}_{xy}\\ \hat{\sigma}_{xy} & \hat{\sigma}_y^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.383955 & -0.287267\\ -0.287267 & 0.866045 \end{bmatrix} \ \mathrm{mm}^2

其中 Pd^d^P_{\hat{d}\hat{d}} 為權矩陣，而 σ^02=1.0\hat{\sigma}_0^2=1.0。

Σd^d^\Sigma_{\hat{d}\hat{d}} 的特徵值與特徵向量可構成一個橢圓方程式。假設取此橢圓大小的 4.13 倍（即統計檢定的顯著水準 α=0.1%\alpha=0.1\% 與檢定功效 β=80%\beta=80\% 的情形）作該變形監測點位移量的可監測性邊界橢圓，試求出該點的可監測性邊界橢圓的長、短軸大小與長軸方位。

又由這兩期的觀測成果是否可以偵測出該監測點有位移？以上請說明理由。

（註：可監測性邊界橢圓表示小於這個橢圓的位移量無法被偵測出。）

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核心觀念

本題考驗以位移估值的變方－協變方矩陣，判定位移的可監測性邊界橢圓，以及比較實際位移是否落在該邊界之外。

若協變方矩陣的特徵值為 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，對應單位特徵向量為 q1,q2\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2，則橢圓主軸方向由特徵向量決定，半軸長與特徵值平方根成正比。本題指定邊界橢圓取協變方橢圓大小的 4.134.13 倍，因此半軸長為 4.13λi4.13\sqrt{\lambda_i}。

解題方法與計算

令

Σd^d^=[0.383955−0.287267−0.2872670.866045] mm2.\Sigma_{\hat d\hat d}= \begin{bmatrix} 0.383955 & -0.287267\\ -0.287267 & 0.866045 \end{bmatrix}\ \mathrm{mm}^2.

對稱矩陣的特徵值可由特徵方程式求得：

det⁡(Σd^d^−λI)=0.\det(\Sigma_{\hat d\hat d}-\lambda I)=0.

二階矩陣的特徵值為

λ1,2=tr⁡(Σ)±(σx2−σy2)2+4σxy22.\lambda_{1,2} =\frac{\operatorname{tr}(\Sigma)\pm \sqrt{(\sigma_x^2-\sigma_y^2)^2+4\sigma_{xy}^2}}{2}.

代入矩陣元素：

tr⁡(Σ)=0.383955+0.866045=1.250000,\operatorname{tr}(\Sigma)=0.383955+0.866045=1.250000, λmax⁡≈1.011518,λmin⁡≈0.238482 mm2.\lambda_{\max}\approx1.011518,\qquad \lambda_{\min}\approx0.238482\ \mathrm{mm}^2.

因此，邊界橢圓的長、短半軸分別為

a=4.13λmax⁡≈4.154 mm,a=4.13\sqrt{\lambda_{\max}} \approx4.154\ \mathrm{mm}, b=4.13λmin⁡≈2.017 mm.b=4.13\sqrt{\lambda_{\min}} \approx2.017\ \mathrm{mm}.

若題目所稱「長、短軸大小」指完整軸長，則

2a≈8.309 mm,2b≈4.033 mm.2a\approx8.309\ \mathrm{mm},\qquad 2b\approx4.033\ \mathrm{mm}.

長軸方位由最大特徵值的特徵向量決定。令長軸與 xx 軸的夾角為 θ\theta，則

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測量技師《測量平差法》其他年度

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