113 專技高考高等考試 測量技師 平面測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查量測結果的有效位數，以及量尺最小刻劃與精密度、準確度的區別。

• 最小刻劃是量具刻度所能直接讀取的最小單位，反映讀數解析能力；它本身不等於測量結果的精密度或準確度。
• **精密度（precision）**指重複觀測結果彼此接近的程度。
• **準確度（accuracy）**指觀測結果接近真值的程度。

（一）有效位數的表達

量距尺最小刻劃為 $1\ \mathrm{mm}$，讀數應保留至毫米位，並以符合該讀數解析度的位數表達。若測得距離為 $L$ 公尺，可寫成例如 $12.345\ \mathrm{m}$，其中末位代表 $1\ \mathrm{mm}$。

須注意，最小刻劃為 $1\ \mathrm{mm}$ 並不表示測得的距離必然具有毫米級準確度；它只說明尺上可直接辨讀至毫米。測量方法、尺長校正、溫度、拉力、尺身垂曲及讀數等因素，仍會影響結果與真值的差距。

（二）最小刻劃與精密度、準確度的關聯

核心觀念

逐差水準測量以相鄰測站的後視讀數減前視讀數，逐段累加求得高程差。本題假設只有水準尺讀數誤差，每次讀數的標準差為 $\sigma$，各次讀數誤差彼此獨立；前視距離與後視距離均為 $d$，因此測站數由總長 $L$ 與每站距離決定。

解題方法

每一測站的高程差為：

由於前、後視讀數各有標準差 $\sigma$，且兩者誤差獨立，單站高程差的變異數為：

單站前視與後視各長 $d$，故每一測站的測線長度為 $2d$。測線總長為 $L$，且 $L$ 能被 $2d$ 整除，因此測站數為：

全線高程差為各站高程差的總和；各站讀數誤差獨立，故總變異數為：

因此，測線單趟水準測量標準差為：

核心觀念

本題考查平面直角坐標的方位角、方向角，以及由坐標誤差傳播計算兩點距離的相對精度。

以北向為方位角起算方向，順時針量至目標方向，範圍為 $0^\circ \leq \alpha < 360^\circ$。方向角則以南北線為基準，向東或向西量至目標方向，通常寫成「北或南，偏東或偏西若干度」。

（一）$A$ 點到 $B$ 點之方位角

由 $A$ 指向 $B$ 的坐標增量為

北、東坐標增量皆為負，表示 $B$ 位於 $A$ 的西南方。由北方向順時針量至西南方向，方位角為

（二）$B$ 點到 $A$ 點之方向角

由 $B$ 指向 $A$：

兩增量皆為正，表示 $A$ 位於 $B$ 的東北方。以北向為基準向東量：

因此方向角為「北偏東 $45^\circ$」，亦可寫作 $N\,45^\circ E$。

（三）$AB$ 距離相對精度

解題方法

兩點距離為

題目給定四個坐標分量的標準差均為 $1.0\ \mathrm{m}$，且互不相關。將距離視為四個坐標分量的函數，依誤差傳播律計算其變異數：

核心觀念

全測站以距離 $S$ 與水平角 $\theta$ 決定目標點位置。將測站設為原點，以測站至目標的視線方向為徑向、與視線垂直的方向為切向：

• 測角誤差使方向產生偏轉，定位誤差主要沿視線的垂直方向（切向）。
• 測距誤差使目標點沿視線方向前後移動，定位誤差沿視線的徑向。

這是角度、距離誤差的一階誤差傳播結果。

解題方法

以極座標表示目標點，微小角度誤差 $\delta\theta$（須以弧度表示）與距離誤差 $\delta S$ 所造成的位置誤差，可分解為：

其中 $\mathbf{e}_r$ 為沿視線的單位向量，$\mathbf{e}_t$ 為垂直視線的切向單位向量。因此兩項誤差所造成的定位誤差量分別為：

題目給定測角誤差為 $\pm5''$，測距誤差只考慮測程誤差 $\pm5\ \mathrm{ppm}$。測程誤差隨距離成比例，故：

先將測角誤差換成弧度：