109 專技高考高等考試 測量技師 平面測量學 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・測量技師
試題代碼 平面測量學

第 1 題20 分

我國近年持續以空載光達（Airborne LiDAR）技術製作高精度、大面積、跨縣市範圍的數值地形模型。由於空載光達使用 GPS 作為控制測量技術，而 GPS 測量所得之高程為橢球高系統，但是數值地形模型之高程依法應為正高系統，因此必須使用內政部公告之大地起伏模型，將空載光達之成果由 TWD97 橢球高系統轉換至 TWVD2001 正高系統。

請問：

  1. 大地起伏的定義為何？
  2. 內政部公告之大地起伏模型有哪兩種？
  3. 兩種模型之間的主要差別為何？
  4. 轉換空載光達成果時應使用哪一種模型？

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核心觀念

本題考查橢球高與正高的差異，以及大地起伏模型如何作為兩種高程系統間的轉換媒介。

GPS 定位所得的高程是相對於參考橢球面的橢球高 hh；水準測量所得的高程是相對於大地水準面的正高 HH。橢球面與大地水準面之間的分離量稱為大地起伏 NN，三者的關係為：

h≈H+Nh \approx H+N

因此，將橢球高轉為正高時，使用：

H≈h−NH \approx h-N

式中 NN 應取自適用於該地點與高程基準的大地起伏模型。

解題方法

依題目問法，依序掌握大地起伏的幾何意義、模型分類、模型差異，以及與 TWVD2001 正高基準的相容性，即可作答：

  1. 大地起伏的定義：大地水準面與參考橢球面之間的分離量，通常以 NN 表示。可描述為大地水準面相對於參考橢球面的距離；實務轉換時依模型定義及計算方式取值。
  2. 兩種模型：重力法大地起伏模型與混合法大地起伏模型。
  3. 主要差別：重力法模型以重力觀測資料及重力場模式推算大地起伏；混合法模型則在重力法模型基礎上，納入 GPS 與水準測量所得資料進行改正，使模型與既有高程控制基準相配合。
  4. 空載光達應用：題目要求轉換至 TWVD2001 正高，應採用與該高程基準相配合的混合法大地起伏模型。民國 109 年適用的公告模型為 TWHYGEO2014。

模型差異與選用

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第 2 題20 分

某測區以衛星定位測量方法實施加密控制測量，點位分佈如下：

  • OO 點為已知控制點，坐標為 (180005, 2000015)(180005,\ 2000015)。
  • AA、BB、CC 點為擬新測之加密點，括號內為精度約 5 公尺的近似 E、NE、N 坐標，單位為 m。
  • 由於僅有 3 台 GPS 接收儀，將其中 1 台固定擺放在 OO 點，剩下的儀器分成兩個時段施測加密點。
  • 每個時段使用 3 台接收儀，可組成 33 條全組合（all possible）基線，其中僅有 22 條為獨立（independent）基線。
  • 兩個時段總共可選取 44 條獨立基線，再根據獨立基線進行網型平差。
  • 在規劃階段，基於衛星定位測量之精度與基線距離有關，甲方要求以「最短基線距離」作為施測及選取獨立基線之原則。

已知點位如下：

  • A(180050, 2002010)A(180050,\ 2002010)
  • B(181045, 2002025)B(181045,\ 2002025)
  • C(179805, 1998005)C(179805,\ 1998005)
  • O(180005, 2000015)O(180005,\ 2000015)

請問：

  1. 第 1 個時段選擇的施測點位與獨立基線為何？
  2. 第 2 個時段選擇的施測點位與獨立基線為何？

基線請以向量方式表示。

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核心觀念

每時段有 3 台 GPS 接收儀，分別設在已知點 OO 與兩個新測點上，因此每時段形成 3 點三角形，可觀測 3 條全組合基線。三條基線中只有 2 條獨立；這 2 條必須能連結該時段的 3 個點，也就是構成一棵樹。

本題依「最短基線距離」原則，先比較各點間距離，再為每個時段選出最短的 2 條獨立基線。基線向量以「終點坐標減起點坐標」表示，分量順序為 (ΔE,ΔN)(\Delta E,\Delta N)。

解題方法

已知坐標為：

A=(180050,2002010),B=(181045,2002025),C=(179805,1998005),O=(180005,2000015).\begin{aligned} A&=(180050,2002010), &B&=(181045,2002025),\\ C&=(179805,1998005), &O&=(180005,2000015). \end{aligned}

各點間基線距離如下：

基線向量（起點至終點）距離（約，m）
A→BA\to B(995,15)(995,15)995.1995.1
O→AO\to A(45,1995)(45,1995)1995.51995.5
O→CO\to C(−200,−2010)(-200,-2010)2019.92019.9
O→BO\to B(1040,2010)(1040,2010)2263.12263.1
A→CA\to C(−245,−4005)(-245,-4005)4012.54012.5
B→CB\to C(−1240,−4020)(-1240,-4020)4206.94206.9

每時段選定兩個新測點後，需從該時段形成的三條基線中選兩條獨立基線。各組合的最短獨立基線總長度為：

  • O,A,BO,A,B：選 ABAB、OAOA，合計約 2990.62990.6 m。
  • O,A,CO,A,C：選 OAOA、OCOC，合計約 4015.44015.4 m。
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第 3 題20 分

某測區在實施細部測量之前，先以衛星定位測量檢測測區內的已知控制點。檢測標準為：衛星定位測量所得基線分量與已知坐標反推基線分量之差值，不得大於

30 mm+6 ppm⋅L30\ \mathrm{mm}+6\ \mathrm{ppm}\cdot L

其中，LL 為基線長度。

已知控制點坐標如下表，單位為 m：

控制點EE 坐標NN 坐標
AA1900002000000
BB1920002000000
CC1900002003000
DD1920002003000

檢測所得之基線分量如下表，單位為 m：

基線EE 分量NN 分量
AB→\overrightarrow{AB}1999.960-0.040
AC→\overrightarrow{AC}0.0493000.043
AD→\overrightarrow{AD}2000.0472999.952
BC→\overrightarrow{BC}-1999.9452999.956
BD→\overrightarrow{BD}0.0453000.046
CD→\overrightarrow{CD}2000.039-0.039

請問：

  1. 上述 6 條基線中，不符檢測標準的基線有哪幾條？
  2. 假設不符檢測標準的原因是少數已知控制點已發生位移，因此不適合繼續作為控制點，請問有哪些點位不適合繼續作為控制點？
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核心觀念

本題考查以已知控制點坐標反算基線分量，並逐一檢核衛星定位測得的東、北分量差值是否符合指定限差：

T=30 mm+6 ppm⋅L=0.030+6×10−6L(m)T=30\ \mathrm{mm}+6\ \mathrm{ppm}\cdot L =0.030+6\times10^{-6}L\quad(\mathrm{m})

其中 LL 為該基線的長度。依題意，東、北分量的差值各自與同一基線限差 TT 比較；任一分量差值大於限差，該基線即不符標準。

解題方法

以坐標差計算已知基線分量：

ΔE已知=E終點−E起點,ΔN已知=N終點−N起點\Delta E_{\text{已知}}=E_{\text{終點}}-E_{\text{起點}},\qquad \Delta N_{\text{已知}}=N_{\text{終點}}-N_{\text{起點}}

再計算基線長度 L=(ΔE已知)2+(ΔN已知)2L=\sqrt{(\Delta E_{\text{已知}})^2+(\Delta N_{\text{已知}})^2}，並比較測得分量與已知分量的差值絕對值。

下表依考卷原頁影像的數值計算；影像中 AC→\overrightarrow{AC} 的北分量為 3000.0473000.047 m，CD→\overrightarrow{CD} 的東分量為 2000.0452000.045 m。

基線已知分量 (ΔE,ΔN)(\Delta E,\Delta N)（m）限差 TT（m）分量差值絕對值（E、N）（m）檢核
AB→\overrightarrow{AB}(2000,0)(2000,0)0.0420.042(0.040,0.040)(0.040,0.040)符合
AC→\overrightarrow{AC}(0,3000)(0,3000)0.0480.048(0.049,0.047)(0.049,0.047)不符合，E 分量超限
AD→\overrightarrow{AD}(2000,3000)(2000,3000)約 0.05160.0516(0.047,0.048)(0.047,0.048)符合
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第 4 題20 分

臺灣位於歐亞板塊與菲律賓海板塊劇烈碰撞地帶，導致顯著的地殼變動。我國現今之法定坐標系統為 1997 臺灣大地基準（TWD97），原始成果於民國 87 年頒布，之後又於民國 101 年公告 TWD97 成果@2010，以反映自 1997 年至 2010 年之間基本控制點的變位情況。

請問上述兩個不同時期之公告成果（TWD97 及 TWD97@2010），是所有點位的公告坐標都有改變，也就是全面性地更新坐標成果；還是僅部分點位的公告坐標有改變，也就是區域性地更新坐標成果？請申論理由。

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核心觀念

本題考查 坐標成果更新的範圍，以及「點位實際變位」和「全國控制網重新計算、公告成果」的差異。

TWD97[2010]沿用 TWD97 的大地基準與坐標系統定義，將成果參考時期更新至 2010 年。更新目的包括反映地殼變動、納入新增或重新觀測的資料，並提升全國控制網成果的一致性。因此，判斷更新範圍，不能只看哪些地區的地殼變動較明顯，也要看公告成果是否針對全國控制網整體重新解算。

解題方法

判斷時可分成兩個層次：

  1. 成果計算與公告範圍：TWD97[2010]是全國性坐標成果更新，並非只在特定變動區域改算控制點。
  2. 各點坐標的實際變化量：臺灣不同地區的地殼變動並不相同，因此各點坐標改變的幅度也不同；部分點位的差異可能很小，不能因此把整次更新稱為區域性更新。

換言之，題目所問的更新範圍，應依坐標成果是否採全國控制網整體更新來判定；個別點位的位移量則是另一個問題。

判斷與理由

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第 5 題20 分

GPS 載波相位觀測量含有多項誤差因子，包含衛星軌道誤差、衛星時錶誤差、電離層誤差、對流層誤差、接收儀時錶誤差等，且誤差量級均為公尺級或甚至更大。

請問 GPS 基線測量是如何消除或有效降低上述各項誤差的影響（請分項敘述），從而得到公分級的定位精度？

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核心觀念

本題考查 GPS 基線測量如何利用同步觀測與差分組合，削弱共同誤差。衛星軌道、衛星時錶、電離層、對流層與接收儀時錶等誤差，會進入載波相位觀測方程；但誤差在兩站、兩衛星及相鄰觀測時刻之間具有不同程度的共同性。透過適當差分，可消除接收儀時錶等項，並大幅削弱其他誤差。

令接收儀 rr 對衛星 ss 的載波相位觀測量（以距離表示）為

Φrs=ρrs+c(δtr−δts)+Trs−Irs+λNrs+εrs\Phi_r^s = \rho_r^s+c(\delta t_r-\delta t^s)+T_r^s-I_r^s+\lambda N_r^s+\varepsilon_r^s

其中，ρ\rho 為幾何距離，δtr\delta t_r 與 δts\delta t^s 分別為接收儀與衛星時錶誤差，TT 為對流層延遲，II 為電離層延遲，λN\lambda N 為整數週波模糊度項，ε\varepsilon 為觀測雜訊及多路徑等誤差。

解題方法：由單差到雙差

假設兩部接收儀 A、BA、B 同步觀測兩顆衛星 s、qs、q，先在同一衛星間作接收儀差分，再對兩顆衛星作差分：

接收儀單差

∇ABΦs=ΦAs−ΦBs\nabla_{AB}\Phi^s=\Phi_A^s-\Phi_B^s

可消去衛星 ss 的衛星時錶誤差。兩站距離相近時，衛星軌道誤差與大氣延遲也具有高度相關性，會在單差中大幅抵消。

雙差

Δ∇ABsqΦ=(ΦAs−ΦBs)−(ΦAq−ΦBq)\Delta\nabla_{AB}^{sq}\Phi =(\Phi_A^s-\Phi_B^s)-(\Phi_A^q-\Phi_B^q)

雙差可進一步消去兩站接收儀時錶誤差。基線愈短，兩站所受衛星軌道及大氣誤差愈相似，差分抵消效果愈好。載波相位雜訊低，雙差後可估計基線向量及整數模糊度，因而達到公分級精度。

各項誤差的處理方式

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