109 專技高考高等考試 測量技師 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題考查觀測精度、標準差與顯著性檢定。精度以「$30\ \mathrm{mm}+6\ \mathrm{ppm}\times L$」表示，是距離觀測的標準差模型；在 $L=1\ \mathrm{km}$ 時，$6\ \mathrm{ppm}\times L=6\ \mathrm{mm}$，因此距離標準差為

在 $5\%$ 顯著水準下，若檢定統計量服從標準常態分布，雙尾檢定的臨界值為 $1.96$。觀測差值超過「差值的標準差乘以 $1.96$」，才判定為顯著變動。

解題方法一：以距離差檢定

設 GNSS 檢測所得平距與原坐標反算距離的差為 $\Delta$。題目指出 GNSS 精度遠高於原有距離精度，故忽略 GNSS 觀測誤差，差值的標準差可視為原距離的標準差：

採雙尾檢定，虛無假設為「距離未變動」，顯著變動的判定條件為

因此

亦即，較差的絕對值須大於約 $71\ \mathrm{mm}$，才可在 $5\%$ 顯著水準下認為距離有顯著變動。

解題方法二：以坐標差檢定

令 $A、B$ 兩點原坐標與檢測坐標的分量差分別為 $\delta x_A,\delta y_A,\delta x_B,\delta y_B$。假設所有坐標不相關且精度相等，並以每一坐標分量的標準差 $\sigma_c$ 表示其精度。

兩點距離為

由誤差傳播定律，距離變化的一階近似為

核心觀念

本題考查控制點檢核中，邊長差與方位角差能否視為相當的檢核標準。關鍵是把角度差換算成與邊長差相同的「線性量」，再比較兩者容許值。

設兩已知點間坐標反算的基線長為 $S$，檢測所得基線向量與坐標反算基線向量之差，在基線方向上的分量會造成邊長差；在垂直基線方向上的分量則會造成方位角差。

解題方法與推導

令基線坐標差為 $(\Delta X,\Delta Y)$，其方向角為 $\theta$。將兩點間的坐標差誤差分解為平行與垂直基線的分量，分別記為 $\delta s_{\parallel}$、$\delta s_{\perp}$。小誤差下：

因此，方位角差可換算成垂直於基線的線性差：

第一項標準的邊長容許差為：

第二項標準的方位角容許差為 $20''$。換算成弧度：

核心觀念

• 內可靠度：衡量平差系統利用觀測間的冗餘，偵測觀測粗差的能力。某觀測的粗差愈容易被殘差反映，內可靠度愈高。
• 外可靠度：衡量未被偵測出的粗差對平差成果（如未知參數估值）的影響程度。未偵測粗差對成果造成的影響愈小，外可靠度愈高。
• 可控制性值：描述觀測粗差偵測門檻的統計因子；本題給定為 $8$。在觀測獨立不相關時，觀測 $i$ 的粗差可偵測下限為 $\nabla_{0,i}=\frac{c\,\sigma_i}{\sqrt{r_i}}$ 其中 $c$ 為可控制性值、$\sigma_i$ 為該觀測標準差、$r_i$ 為局部多餘觀測數。

解題方法

代入題目數值：$c=8$、$\sigma_i=5''$、$r_i=0.25$。

核心觀念

自由水準網的高程沒有絕對基準，只能由觀測決定各點之間的高程差。每一期水準網的法矩陣都有一個基準不足：所有點的高程同加一常數，觀測高差不變。因此，需以基準約制條件 $G^T P_x x=0$ 固定基準。

$G$ 的欄向量張成法矩陣 $A$ 的零空間，也就是滿足 $AG=0$ 的基準虧損向量。本題有兩期觀測，未知數依序為第一期三點高程與第二期三點高程。

解題方法

令

其中下標表示點號與期別。由題示矩陣各列可看出，觀測方程只涉及同一期點間的高程差，以及兩期相同點之高程差。

設零空間向量為

並令 $Ag=0$。由前兩列得

所以 $g_1=g_2=g_3$。由第四、五列再得