114 專技高考高等考試 測量技師 平面測量學 考古題詳解

核心觀念

水準面是重力場的等位面，地球表面可近似視為曲面；水平面則是水準面的切平面。以觀測點處的水平面代替水準面，會使曲面上的弧長、切線方向及曲面高程差與平面計算值略有不同。分析時可將地球近似為半徑 $R$ 的球體，取 $R\approx 6.37\times10^6\text{ m}$；實際精密測量則須依參考橢球及測線方向採用相應曲率半徑。

此題應分別從距離、角度、高程三種觀測量說明曲率影響，並比較其量級與測量精度，判斷何時可以忽略。

解題方法

一、距離：弧長與切線距離的差異

設測線長度為 $s$，其對應的地心角為 $\theta=s/R$。若將水準面上的圓弧，以起點處的水平切線距離代替，兩者的差約為：

若以弦長代替弧長，則：

因此，距離的曲率改正是隨測線長度三次方增加，短距離時通常很小。以 $R=6.37\times10^6\text{ m}$ 估算，$s=10\text{ km}$ 時，弧長與切線距離之差約為 $8\text{ mm}$；一般短距離平面測量常可忽略，但高精度或長距離控制測量須評估。

二、角度：曲面角與平面角的差異

曲面上的觀測方向會隨位置改變；以各點切平面上的方向計算平面角，與在曲面上處理方向，結果會有球面角超等差異。對球面三角形，球面內角和超過平面三角形的 $180^\circ$，其球面角超為：

其中 $A$ 是測區所圍面積，$\varepsilon$ 以弧度表示。測區越大，角度曲率影響越明顯。小範圍普通測量中，角度改正通常遠小於觀測誤差，可忽略；大範圍或高精度三角測量、控制測量則應採用大地測量方法處理。

三、高程：切平面與水準面的離開量

核心觀念

本題以兩個已知平面控制點的水平角交會求塔頂的平面坐標，再以兩站觀測的天頂距與斜距求塔頂高程。ENH 坐標中，方位角自北方向起順時鐘計算；天頂距 $Z$ 自天頂量起，因此高差可由水平距離 $D$ 計為 $D\cot Z$。

解題方法

令 $A$ 點水平角為 $\alpha=65^\circ16'30''$，$B$ 點水平角為 $\beta=53^\circ31'20''$。已知基線分量為

因此基線長度與方位角為

三角形第三內角為

由正弦定理，兩站至 $P$ 的水平距離為

在 $A$ 點，題目給的是由 $AP$ 順時鐘轉至 $AB$ 的角度，因此

用方位角分解水平距離（$E$ 分量為距離乘方位角正弦，$N$ 分量為距離乘方位角餘弦）：

核心觀念

本題考查平面直角坐標中的方位與坐標增量，以及以兩條互相垂直的邊構成長方形。

題目採 $EN$ 坐標，第一個數值為東坐標 $E$，第二個數值為北坐標 $N$。控制邊 $AB$ 從 $A$ 指向 $B$ 的方向為正東，因此「往左方垂直 $AB$」即為正北。方向角逆時鐘增加時，可用旋轉矩陣求邊向量的坐標增量。

解題方法

1. 求 $P$ 點坐標

由 $A(1000.000,2000.000)$ 沿 $AB$ 方向前進 $5.423\ \mathrm{m}$，東坐標增加 $5.423\ \mathrm{m}$；再向左垂直 $AB$ 前進 $4.769\ \mathrm{m}$，北坐標增加 $4.769\ \mathrm{m}$。所以

2. 求長邊 $PQ$ 的坐標增量

令長邊方向角為

$AB$ 指向正東，$PQ$ 由 $AB$ 方向逆時鐘旋轉 $\theta$，因此 $PQ$ 向量的東、北分量分別為 $36\cos\theta$、$36\sin\theta$：

故

3. 求短邊 $QR$ 的坐標增量

四點依逆時鐘方向為 $P,Q,R,S$，長方形的短邊 $QR$ 與 $PQ$ 垂直，並再逆時鐘旋轉 $90^\circ$。

核心觀念

本題是以「等面積」與「等臨路邊界長度」兩個條件，決定一條直線分割界址。臨路邊界只有 $AB$，因此分割線在 $AB$ 上的端點必須是 $AB$ 中點。再利用多邊形面積公式，求另一端點落在對邊界上的位置。

計算座標面積時，使用坐標法（鞋帶公式）：

為簡化計算，以下將 $A$ 點作為局部原點，令 $x=E-E_A,\ y=N-N_A$。平移坐標不影響面積。

解題方法

先計算臨路邊界長度並取其中點：

因此，$P$ 是分割線在臨路邊界上的端點。

五邊形的局部坐標為：

以鞋帶公式計算全筆土地面積：

故全筆面積為 $4998\ \mathrm{m^2}$，每筆新土地面積應為：