113 專技高考高等考試 測量技師 製圖學 考古題詳解

核心觀念

本題考查橫軸麥卡托投影（Transverse Mercator, TM）的兩項設定：中央經線尺度比率與假東距（False easting）。

TM 投影會將橢球面上的地物投影到平面，平面坐標與地面距離之間會有尺度變形。中央經線尺度比率 $k_0$ 是中央經線上的投影尺度與地面尺度之比。TWD97 採用 $k_0=0.9999$，表示中央經線上的投影距離略短於地面距離。

坐標原點西移 $250{,}000$ 公尺，是在投影橫坐標上加設假東距，使測區內的橫坐標維持正值。

解題方法

先分別判斷兩個設定要解決的問題：

1. 中央經線尺度比率 $0.9999$：處理投影尺度變形。 若中央經線尺度比率為 $1$，中央經線上的尺度無變形，但離中央經線越遠，尺度變形會逐漸增加。將中央經線尺度比率略設為小於 $1$，可使中央經線上的投影略為縮短，並把尺度為 $1$ 的位置移到中央經線兩側。如此可將尺度變形分散至分帶內，降低測區內最大尺度變形，讓中央經線兩側的變形較為均衡。

核心觀念

本題考查 UTM 網格區的網格區代號（Grid Zone Designator）編碼原則，以及子午線收斂角的定義與最大值。三位代號由「經度分帶號碼」和「緯度帶字母」組成，例如 51Q。

編碼原則

• 經度分帶號碼：地球經度以每 $6^\circ$ 為一帶，自西經 $180^\circ$ 起向東編號，共 60 帶。第 $n$ 帶的中央子午線為 $\lambda_0=6n-183^\circ$。東經度 $\lambda$ 可用下式判定分帶：

$n=\left\lfloor\frac{\lambda+180^\circ}{6^\circ}\right\rfloor+1$

• 緯度帶字母：自南緯 $80^\circ$ 起至北緯 $84^\circ$，每帶高 $8^\circ$，依序使用 C 至 X 共 20 個字母；略去 I、O。X 帶為 $72^\circ$N 至 $84^\circ$N，寬 $12^\circ$。

因此，代號的前兩位數字表示經度分帶，末尾字母表示緯度帶。

臺灣的 51Q 與 51R

第 51 帶涵蓋東經 $120^\circ$ 至 $126^\circ$，中央子午線為：

$\lambda_0=6(51)-183^\circ=123^\circ\text{E}$

Q 帶為 $16^\circ$N 至 $24^\circ$N；R 帶為 $24^\circ$N 至 $32^\circ$N。臺灣位於第 51 經度帶，且跨越 Q、R 兩個緯度帶，因此會出現 51Q 與 51R 兩種網格區代號。

新加坡的網格代號

新加坡坐標為 $1^\circ$N、$104^\circ$E。

先算經度帶：

核心觀念

坡度表示地表沿指定方向上升或下降的陡緩程度，須同時考慮垂直高差與水平距離。設兩點高差為 $\Delta H$，水平距離為 $D$，坡面與水平面的夾角為 $\theta$，則：

• 坡度角以角度表示，描述坡面與水平面的夾角。
• 坡度百分比以垂直高差除以水平距離表示，再乘以 $100\%$。

此處的 $D$ 是水平距離，不是沿坡面的斜距。

解題方法：角度與百分比

由直角三角形的正切定義：

因此，坡度角為：

坡度百分比為：

兩者的換算關係為：

例如，高差為 $10\text{ m}$、水平距離為 $100\text{ m}$，則：

所以 $10\%$ 坡度約等於 $5.71^\circ$，並非 $10^\circ$。

坡度比例尺

坡度比例尺是配合地形圖使用的圖解工具，將等高線高差與圖上水平距離按地圖比例尺換算成相對應的坡度，讓讀圖者以量取或比對方式判讀坡度。其製作與使用的原則如下：

1. 先確定等高線間距所代表的高差 $\Delta H$。
2. 依地圖比例尺，將水平距離 $D$ 換算成圖上距離。
3. 依各水平距離計算坡度，並在比例尺上標示坡度值。
4. 判讀時，量取相鄰等高線間沿坡向的圖上距離，與坡度比例尺比對，即可讀出坡度。

核心觀念

本題考查以天文觀測推算地球周長的幾何原理。埃拉托斯特尼利用夏至正午太陽光近似平行，以及亞歷山大城與賽伊尼（今阿斯旺）位於近似同一子午線的條件，將兩地的日影角度差視為兩地的緯度差，也就是地心角。

觀測原理與圖示

夏至正午，賽伊尼的太陽位於天頂附近，直立竿幾乎沒有影子；同一時刻，亞歷山大城的竿則量得影長，據此求出太陽與天頂方向的夾角 $\theta$。因為太陽光線近似平行，該夾角等於兩地地心連線的夾角。

 太陽光線（近似平行）
 ↓ ↓
 竿│ 竿│
 │\ θ │
 │ \ │
 │ \ │
 亞歷山大●───弧長 s───●賽伊尼
 \ /
 \ θ /
 \ /
 ● 地心 O

圖中兩地位於地球表面，中心角為 $\theta$，兩地沿地表的弧長為 $s$，地球周長為 $C$。

解題方法與計算推導

設亞歷山大城直立竿高為 $h$，影長為 $x$。竿與影形成直角三角形，因此太陽偏離天頂的角度為

若測得兩地沿地表的距離為 $s$，地心角 $\theta$ 占整個圓周角 $360^\circ$ 的比例，等於弧長 $s$ 占地球周長 $C$ 的比例：

因此地球周長為