113 專技高考高等考試 測量技師 大地測量學 考古題詳解

核心觀念

七參數轉換以三維空間相似轉換描述兩套地心直角坐標系之間的關係，包括：

• 三個平移量：$T_X,T_Y,T_Z$
• 三個旋轉量：$R_X,R_Y,R_Z$
• 一個尺度差：$s$

本題以五個已知點在 TWD97 與 TWD97[2020] 兩套坐標系中的坐標，估計這七個轉換參數，再將點 $F$ 的 TWD97 坐標代入轉換式，求得其 TWD97[2020] 坐標。

使用七參數模型前，兩套坐標須採用相同的坐標型態與單位；實務上通常以地心地固直角坐標（$X,Y,Z$）進行轉換。若題目所列的 $(x,y,z)$ 與 $(X,Y,Z)$ 為投影平面坐標或大地坐標，應先依各自坐標系的定義轉為地心直角坐標，再套用七參數轉換。

七參數轉換公式

採用小旋轉角近似及 Bursa–Wolf 位置向量式，由 TWD97 轉至 TWD97[2020] 的模型為：

$$\begin{bmatrix} X\\Y\\Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_X\\T_Y\\T_Z \end{bmatrix} +(1+s) \begin{bmatrix} 1&-R_Z&R_Y\\ R_Z&1&-R_X\\ -R_Y&R_X&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}.$$

其中旋轉角以弧度表示，$s$ 為無因次尺度差；若尺度參數以 ppm 表示，代入前須乘以 $10^{-6}$。亦有不同旋轉矩陣慣例，使用時須確保估參模型與套用模型的旋轉方向及符號一致。

將小旋轉角與尺度差的乘積項略去，可得線性化觀測方程：

$$\begin{aligned} X-x &= T_X+s x+R_Y z-R_Z y,\\ Y-y &= T_Y+s y+R_Z x-R_X z,\\ Z-z &= T_Z+s z+R_X y-R_Y x. \end{aligned}$$

解題方法：以五點最小二乘估計參數

每一個已知點提供三個坐標差觀測量，五點共提供 $15$ 個觀測方程；未知數為七個轉換參數，因此可用最小二乘法估計。

依參數排列順序

$$\boldsymbol{\theta} = \begin{bmatrix} T_X&T_Y&T_Z&R_X&R_Y&R_Z&s \end{bmatrix}^{T},$$

對每一點 $i\in\{A,B,C,D,E\}$，令

$$\boldsymbol{l}_i= \begin{bmatrix} X_i-x_i\\ Y_i-y_i\\ Z_i-z_i \end{bmatrix},$$

則其設計矩陣為

$$\boldsymbol{A}_i= \begin{bmatrix} 1&0&0&0&z_i&-y_i&x_i\\ 0&1&0&-z_i&0&x_i&y_i\\ 0&0&1&y_i&-x_i&0&z_i \end{bmatrix}.$$

疊合五點的方程：

$$\boldsymbol{l}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{\theta}+\boldsymbol{v}.$$

若各坐標觀測精度相同，可採等權最小二乘解：

$$\hat{\boldsymbol{\theta}} =(\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{l}.$$

若點位精度不同，則依其精度設定權矩陣 $\boldsymbol{P}$：

核心觀念

本題考查兩種 GNSS 高精度定位方法的觀測配置、誤差處理方式，以及作業環境對定位方法的選擇。

• PPP（Precise Point Positioning，精密單點定位）：使用單一流動接收儀的 GNSS 觀測資料，配合精密衛星軌道、衛星鐘差等產品，並估計或改正相關誤差，求得測站在全球參考框架中的絕對座標。使用者不必架設附近的已知坐標基準站；但高精度解通常需要一段收斂時間。
• PPK（Post Processed Kinematic，動態後處理）：使用流動站與已知坐標基準站的同步觀測資料，於外業後進行差分處理。兩站共同受到的衛星軌道、鐘差及部分大氣誤差，可藉由差分削弱，求得流動站相對於基準站的坐標。定位效果受基線長度、共同觀測衛星及觀測品質影響。

以載波相位觀測量表示，單站未差分觀測概念可寫為：

$$L_r^s=\rho_r^s+c(\delta t_r-\delta t^s)+T_r^s-I_r^s+\lambda N_r^s+\varepsilon_r^s$$

其中 $\rho$ 為衛星至接收儀的幾何距離，$\delta t_r$ 與 $\delta t^s$ 分別為接收儀鐘差與衛星鐘差，$T$ 為對流層延遲，$I$ 為電離層延遲，$N$ 為整數周波模糊度，$\varepsilon$ 為觀測誤差。PPP 以精密產品及誤差模型處理單站觀測；PPK 則利用基準站與流動站的同步觀測作差，消除或減弱共同誤差。

解題方法

先依「是否需要附近已知基準站」區分兩法，再將測區環境與基準站可用性對照：

核心觀念

本題以同一測站兩期的絕對重力與 GNSS 橢球高變化，估算測站的垂直地殼變動量。關鍵是分辨兩種觀測量的變化方向：

• GNSS 橢球高變化 $\Delta h=h_2-h_1$ 直接表示測站高度變化；正值代表上升，負值代表下沉。
• 重力隨高度增加而減小。自由空氣重力梯度約為 $0.3086\ \text{mGal/m}$，所以重力變化可換算成垂直位移。

題目未提供重力梯度的實測值，以下採用自由空氣重力梯度標準值，並假設兩次觀測間主要造成重力變化的因素是測站垂直位移。

解題方法

令兩次觀測的差值為

$$\Delta g=g_2-g_1,\qquad \Delta h=h_2-h_1.$$

若測站升高 $\Delta h$ 公尺，重力約減少 $0.3086\Delta h$ mGal，因此

$$\Delta g\approx -0.3086\Delta h.$$

由重力觀測推估的垂直位移為

$$\Delta h_g\approx-\frac{\Delta g}{0.3086} =-\frac{g_2-g_1}{0.3086}\ \text{m}.$$

GNSS 觀測則直接給出

$$\Delta h_{\mathrm{GNSS}}=h_2-h_1\ \text{m}.$$

核心觀念

本題考《國土測繪法》第 3 條所定義的「測量基準」與「參考系統」。測量基準是實施國土測繪的基本準據；參考系統則依據測量基準訂定，供基本控制測量參考使用。

以命題當年（民國 113 年）法規為準，《國土測繪法》第 3 條第 6 款列出四項測量基準，第 7 款則列出與之對應的參考系統。

解題方法

先依法律定義列出四項基準，再依序配對其參考系統名稱：

測量基準	對應的參考系統	我國採用名稱
大地基準	坐標系統	一九九七坐標系統（TWD97）
高程基準	高程系統	二○○一高程系統（TWVD2001）
深度基準	深度系統	二○○一深度系統（TWDD2001）

核心觀念

本題考查三角高程測量：以全測站觀測斜距與天頂距，求測站地面點 $A$ 與測點地面點 $B$ 的高程差。天頂距 $z$ 自鉛垂方向起算，因此視線的垂直分量為 $S\cos z$；若改用仰角，才使用正弦。

因觀測距離超過 $5$ 公里，地球曲率與大氣折光會影響高程差，須納入改正。以下令 $R$ 為地球平均曲率半徑，$k$ 為大氣折光係數，$D$ 為水平距離。

解題方法

先求儀器視準軸與稜鏡中心之間的高差，再加上儀器高、扣除稜鏡高，最後加入曲率與折光改正。

未考慮曲率與折光時，視準軸至稜鏡中心的垂直分量為 $S\cos z$。因此：

$$H_B-H_A=i+S\cos z-j+C_c+C_r$$

其中，地球曲率改正與大氣折光改正分別為：

$$C_c=\frac{D^2}{2R},\qquad C_r=-\frac{kD^2}{2R}$$

合併後：

$$H_B-H_A =i+S\cos z-j+\frac{(1-k)D^2}{2R}$$

題目給的是斜距 $S$，故水平距離可由 $D=S\sin z$ 求得。代入可寫成：