112 專技高考高等考試 測量技師 大地測量學 考古題詳解

核心觀念

題目考查的是：如何把位於地表、離大地水準面有高程的重力觀測值，歸算為大地水準面上的自由空間重力異常，以及自由空間與布格重力異常各自適合研究的問題。

自由空間重力異常是觀測重力經自由空間改正後，與同一位置的正常重力相比所得的差。自由空間改正只處理測站高度造成的重力變化，不扣除測站與大地水準面之間地形質量的引力。

解題方法：由地表重力求自由空間重力異常

設測站位於地表點 $P$，其正高為 $H$，觀測到的絕對重力為 $g_P$。求算步驟如下：

1. 整理觀測重力值。 對絕對重力觀測值施加必要的儀器、潮汐、極移及儀器高度等改正，得到測站的觀測重力 $g_P$。

2. 確定位置與高程。 取得測站的大地緯度 $\varphi$ 及相對大地水準面的正高 $H$。自由空間改正所需的高程，應與所採用的垂直基準一致。

3. 計算測站緯度的正常重力。 依選定的正常重力公式，以緯度 $\varphi$ 計算參考橢球或正常重力場上的正常重力 $\gamma(\varphi)$。

4. 將觀測重力歸算至大地水準面。 重力向上離開地球時約以 $0.3086\ \mathrm{mGal/m}$ 的自由空間梯度減小。因此，將地表觀測值向下歸算至大地水準面，需加上自由空間改正： $C_{\mathrm{FA}}\simeq 0.3086H\ \mathrm{mGal}$ 大地水準面位置的歸算重力為 $g_0=g_P+C_{\mathrm{FA}}.$ 此處採用的是一階近似；精密作業可使用含緯度及高程項的高階自由空間改正。

5. 計算自由空間重力異常。

核心觀念

本題考查 GNSS 與 INS 的定位、定向原理，以及兩者整合後如何互補。GNSS 以衛星訊號觀測求得接收天線的位置與時間；INS 以陀螺儀和加速度計量測載體的角速度與比力，經導航方程推算位置、速度與姿態。GNSS 長時間定位不易累積漂移，INS 則可高頻、連續輸出並在衛星訊號中斷時短暫維持導航，兩者整合可兼顧精度、連續性與穩定性。

解題方法

依「觀測量與求解方式 → 可求得的導航資訊 → 誤差特性 → 整合方式」分別說明 GNSS 與 INS，再交代如何以資料融合互補其優缺點。

一、GNSS 的定位與定向原理

定位原理： GNSS 接收機接收多顆衛星訊號，利用衛星播發的星曆與衛星時鐘資訊，計算衛星至接收機的觀測距離。以偽距觀測為例：

其中，$P_i$ 為第 $i$ 顆衛星的偽距，$\rho_i$ 為衛星與接收機間的幾何距離，$c$ 為光速，$\delta t_r$、$\delta t_i$ 分別為接收機與衛星時鐘誤差，$I_i$、$T_i$ 分別為電離層與對流層延遲，$\varepsilon_i$ 為其他觀測誤差。衛星位置已知時，以多顆衛星的距離觀測解算接收機三維座標及接收機鐘差；一般單點定位至少需要四顆衛星。

載波相位觀測精度較高，但含有整數週波模糊度。透過差分觀測與整數模糊度解算，可進行 RTK 或靜態相對定位，取得高精度座標。

定向原理： 單一 GNSS 天線主要提供天線位置，不能直接完整求得載體姿態。若在載體上配置兩個以上、位置關係已知的天線，可由各天線的基線向量求得航向角；有足夠且適當分布的天線基線時，亦可求得俯仰與橫搖等姿態角。載波相位相對定位可精確估計基線方向，因此常用於 GNSS 定向。

二、INS 的定位與定向原理

INS 由陀螺儀與加速度計構成慣性量測單元（IMU）。陀螺儀量測載體角速度，經姿態更新求得載體相對導航座標系的姿態；加速度計量測比力，經座標轉換並補償重力後，依序積分得到速度與位置。

簡化的導航方程可表示為：

核心觀念

幾何水準測量直接量得的是沿水準路線累加的高差；正高則是地面點沿鉛垂線至大地水準面的距離。由於重力場不均勻，水準面彼此並不平行，直接累加觀測高差所得的結果會受路線影響，未必等於兩點間的正高差。

正高改正（Orthometric Height Correction）是將幾何水準測得的高差改正為正高差，以納入重力變化及水準面不平行的影響。概念上，可先將觀測高差轉換為重力位差，再依正高系統換算成正高差：

其中 $\Delta C$ 為重力位差，$\bar g$ 為相應的平均重力，$\Delta H$ 為正高差。實務上可利用測站重力觀測及沿鉛垂線的平均重力計算改正；若採用近似重力公式，改正量會與路線的平均高程、緯度變化及重力變化有關。

解題方法

作答時先說明正高改正的目的，再比較地形對重力變化及改正量的影響，最後說明改正前後環線閉合差的差別。重點是區分「原始水準高差的閉合」與「經正高改正後的高差閉合」：閉合環線的幾何觀測高差仍可有閉合差；正高改正則調整各段高差，使其符合正高系統所需的重力效應。

核心觀念

本題考查載具座標框架（Body Frame）到地心地固座標系（ECEF）的三維剛體旋轉。Body Frame 固定於載具，軸向隨載具姿態改變；ECEF 的原點位於地球質心，$X$ 軸指向赤道與格林威治子午線交點，$Z$ 軸指向地球自轉軸北端，$Y$ 軸依右手定則確定。

兩座標系原點重合時，座標轉換只需旋轉；若原點不重合，還須加入平移向量。題目未提供載具位置與姿態角，因此應說明一般轉換公式。

解題方法

令載具上一點相對於載具原點的位置向量，在 Body Frame 中表示為

以三個姿態角表示 Body Frame 相對 ECEF 的方向。採常用的 $3$-$2$-$1$（偏航、俯仰、滾轉）旋轉順序，分別令偏航角為 $\psi$、俯仰角為 $\theta$、滾轉角為 $\phi$。使用右手定則，定義基本旋轉矩陣：

Body Frame 到 ECEF 的方向餘弦矩陣為