111 專技高考高等考試 測量技師 大地測量學 考古題詳解

核心觀念

1. 法定大地基準與參考橢球定義

• 以命題當年（民國 111 年）法規為準，依《國土測繪法》第 4 條及《基本測量實施規則》規定，臺灣現行法定大地基準採用「1997 臺灣大地基準」（TWD97），其參考橢球採用 GRS80（Geodetic Reference System 1980）地球橢球。
• 橢球基本幾何參數包含長軸半徑 $a$、短軸半徑 $b$、扁率 $f = \frac{a - b}{a}$，以及第一偏心率平方 $e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$。

2. 空間點位不變性（Invariance of Geocentric Cartesian Coordinates）

• 地表實體點位在空間中的物理位置，是由空間大地測量技術（如 GNSS、VLBI、SLR）在地球中心坐標系統（地心空間直角坐標系 $X, Y, Z$）中所確定。
• 更換或修改參考橢球之數學參數（$a, b$），僅改變數學參考曲面的形狀與大小，地表點位之空間直角坐標 $(X, Y, Z)$ 保持不變，即： $dX = 0, \quad dY = 0, \quad dZ = 0$

3. 橢球幾何參數變化條件

• 題目設定新橢球之長軸半徑略微增加、短軸半徑不變： $da > 0, \quad db = 0$
• 扁率與偏心率變化： $df = d\left(1 - \frac{b}{a}\right) = \frac{b}{a^2} da > 0$ $de^2 = d\left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right) = \frac{2b^2}{a^3} da > 0$ 新橢球相較於 GRS80 更為扁平且赤道向外擴張。

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解題方法

大地坐標系由「大地緯度 $\phi$」、「大地經度 $\lambda$」、「大地高 $h$」所構成。由空間直角坐標與大地坐標之正反算關係，以及微分擾動理論，分別推導三個坐標分量之變化量：

1. 大地經度 $\lambda$ 之影響推導

地心空間直角坐標與大地經度的關係式為： $\tan\lambda = \frac{Y}{X}$ 全微分後得： $d\lambda = \frac{X dY - Y dX}{X^2 + Y^2}$ 由於地表點位空間位置不變（$dX = 0, dY = 0$），且橢球體為繞 $Z$ 軸旋轉之對稱旋轉橢球體，橢球參數 $a, b$ 的改變不破壞旋轉對稱性，因此： $d\lambda = 0$ 結論：大地經度 $\lambda$ 不受任何影響，維持不變。

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2. 大地高 $h$ 之影響推導

空間點位之向徑向量 $\mathbf{r} = [X, Y, Z]^T$ 可表為橢球面上對應點 $\mathbf{r}_0$ 沿橢球表面外法線方向 $\hat{\mathbf{u}}$ 延伸距離 $h$： $\mathbf{r} = \mathbf{r}_0(\phi, \lambda) + h \hat{\mathbf{u}}(\phi, \lambda)$ 其中外法線單位向量為： $\hat{\mathbf{u}} = \begin{bmatrix} \cos\phi \cos\lambda \\ \cos\phi \sin\lambda \\ \sin\phi \end{bmatrix}$ 因 $\hat{\mathbf{u}}$ 僅為方向角 $(\phi, \lambda)$ 之函數，與尺度參數 $a, b$ 無關，將點位不動條件（$d\mathbf{r} = \mathbf{0}$）投影至法線方向 $\hat{\mathbf{u}}$： $\hat{\mathbf{u}} \cdot d\mathbf{r} = \hat{\mathbf{u}} \cdot (d\mathbf{r}_0 + dh\,\hat{\mathbf{u}} + h\,d\hat{\mathbf{u}}) = 0$ 因法線向量 $\hat{\mathbf{u}}$ 與切線方向之微分向量正交（$\hat{\mathbf{u}} \cdot d\hat{\mathbf{u}} = 0$ 且 $\hat{\mathbf{u}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_0}{\partial \phi} = 0, \hat{\mathbf{u}} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_0}{\partial \lambda} = 0$），化簡可得： $dh = - \hat{\mathbf{u}} \cdot d\mathbf{r}_0\Big|_{\phi, \lambda \text{ 固定}}$

橢球面上點之向徑向法線投影長度為： $\hat{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{r}_0 = N(1 - e^2\sin^2\phi) = a \sqrt{1 - e^2\sin^2\phi} = \sqrt{a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi}$ 其中卯酉圈曲率半徑 $N = \frac{a}{\sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}}$。 對幾何參數取全微分： $d(\hat{\mathbf{u}} \cdot \mathbf{r}_0) = \frac{a \cos^2\phi \, da + b \sin^2\phi \, db}{\sqrt{a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi}}$ 代入題目條件 $db = 0$ 及 $W = \sqrt{1 - e^2\sin^2\phi}$： $dh = - \frac{a \cos^2\phi}{\sqrt{a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi}} da = - \frac{\cos^2\phi}{W} da$ 臺灣本島位於北半球中低緯度（約北緯 $22^\circ \sim 25^\circ$），$\cos\phi > 0, W > 0$；因 $da > 0$，故： $dh < 0$

核心觀念

本題旨在考查大地測量學中「高程系統之定義區分」以及「水流流向與重力位能之物理機制」。涉及的核心觀念與理論公式如下：

1. 高程系統的本質差異：

• 橢球高（Ellipsoidal Height, $h$）：幾何高程系統。定義為地表點沿參考橢球面法線至參考橢球面的距離，純屬數學幾何定義，不具備物理重力意義。GNSS 衛星定位（含精密單點定位 PPP）所直接測得之高程成果即為橢球高。
• 正高（Orthometric Height, $H$）：物理高程系統。定義為地表點沿鉛垂線至大地水準面（Geoid）之距離。大地水準面為一平均海水面延伸之重力等位面（Equipotential Surface，$W = W_0$）。
• 大地起伏（Geoid Undulation / Geoidal Height, $N$）：大地水準面相對於參考橢球面之差距。
• 高程轉換基本幾何關係式： $h = H + N \iff H = h - N$

2. 水流運動之物理本質： 水流運動取決於重力位能梯度（Gravity Potential Gradient）。流體必定由重力位能較高之處流向重力位能較低之處，在大地測量物理意義上即為「由正高較高處流向正高較低處」。水流運動與純幾何定義之橢球高大小無直接物理因果關係。

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解題方法

1. 數理推導與原因剖析

設地表兩點分別為 $A$ 點與 $B$ 點：

• 依題目所述，水流方向由 $A$ 流向 $B$。
• GNSS PPP 測得之橢球高分別為 $h_A$ 與 $h_B$，且觀測發現 $A$ 處高程低於 $B$ 處，即： $h_A < h_B \iff \Delta h = h_B - h_A > 0$
• 根據水流由正高較高處流向正高較低處之物理機制，兩點之正高必然滿足： $H_A > H_B \iff \Delta H = H_B - H_A < 0$
• 將高程轉換關係式代入正高差公式： $\Delta H = (h_B - N_B) - (h_A - N_A) = (h_B - h_A) - (N_B - N_A) = \Delta h - \Delta N$
• 若要滿足 $\Delta H < 0$，則必須成立： $\Delta h - \Delta N < 0 \iff \Delta N > \Delta h$
• 結合題目條件 $\Delta h > 0$，可得最終充分必要條件： $N_B - N_A > h_B - h_A > 0$

結論原因： 當地之大地水準面相對於參考橢球面存在劇烈傾斜（即大地水準面起伏梯度過大）。由 $A$ 到 $B$ 的過程中，大地起伏的上升量（$\Delta N$）超過了橢球高的上升量（$\Delta h$），導致幾何高程（$h$）雖呈現「$B$ 高於 $A$」，但在物理高程（$H$）上實際上是「$A$ 高於 $B$」，故水流自然自 $A$ 流向 $B$。

2. 配合圖形解釋

核心觀念

本題旨在評量全球衛星導航系統（GNSS）單點定位中「觀測幾何構型」與「定位誤差傳播」之理論基礎。核心觀念包含：

1. 偽距觀測方程式之線性化：將非線性之衛星至接收元距離方程式，經泰勒展開式線性化為高斯-馬可夫模型（Gauss-Markov Model）$L = AX + \varepsilon$。
2. 法方程式逆矩陣與協因數矩陣（Cofactor Matrix）：假定各衛星觀測量具備獨立同分布之等權觀測精度時，未乘上單位權標準差之權逆陣 $Q = (A^T A)^{-1}$ 即表徵純幾何放大因子。
3. 坐標旋轉變換：自地心坐標系（ECEF）變換至站心坐標系（ENU）之協因數矩陣轉換。
4. 精度稀釋因子（Dilution of Precision, DOP）定義：幾何構型對觀測量測距誤差之放大倍率（無因次純量）。
5. 誤差傳播定律：定位成果標準差等於 DOP 乘上使用者等效測距誤差（User Equivalent Range Error, UERE, $\sigma_{\rho}$）。

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解題方法

一、 精度稀釋因子（DOP）之完整估算步驟

DOP 之估算本質為最小二乘平差中「幾何設計矩陣對坐標未知數方差之映射」，完整推導與估算分為以下五個步驟：

步驟 1：建立非線性偽距觀測方程式

接收機至第 $i$ 顆衛星之偽距觀測量 $P^i$ 可表為： $P^i = \rho^i + c \cdot \delta t_r - c \cdot \delta t^i + I^i + T^i + \varepsilon^i$ 其中 $\rho^i = \sqrt{(X^i - X)^2 + (Y^i - Y)^2 + (Z^i - Z)^2}$ 為幾何距離；$(X^i, Y^i, Z^i)$ 為衛星坐標；$(X, Y, Z)$ 為待定接收機坐標；$c$ 為光速；$\delta t_r, \delta t^i$ 分別為接收機與衛星鐘差；$I^i, T^i$ 為電離層與對流層延遲修正量；$\varepsilon^i$ 為觀測隨機雜訊。

步驟 2：線性化與建構幾何設計矩陣（Design Matrix, $A$）

選定接收機初始近似坐標 $(X_0, Y_0, Z_0)$ 及近似接收機鐘差改正項 $c \cdot \delta t_{r0}$，利用泰勒展開式取一階近似，整理得線性化誤差方程式： $v^i = - \frac{X^i - X_0}{\rho_0^i} \Delta X - \frac{Y^i - Y_0}{\rho_0^i} \Delta Y - \frac{Z^i - Z_0}{\rho_0^i} \Delta Z + \Delta(c \cdot \delta t_r) - l^i$ 令接收機至第 $i$ 顆衛星之視線方向餘弦單位向量為： $u_x^i = \frac{X^i - X_0}{\rho_0^i}, \quad u_y^i = \frac{Y^i - Y_0}{\rho_0^i}, \quad u_z^i = \frac{Z^i - Z_0}{\rho_0^i}$ 當觀測 $n$ 顆衛星（$n \ge 4$）時，幾何設計矩陣 $A$（大小為 $n \times 4$）表示為：

$$A = \begin{bmatrix} -u_x^1 & -u_y^1 & -u_z^1 & 1 \\ -u_x^2 & -u_y^2 & -u_z^2 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -u_x^n & -u_y^n & -u_z^n & 1 \end{bmatrix}$$

步驟 3：計算地心坐標系下之協因數矩陣（Cofactor Matrix, $Q_X$）

在評估幾何因子時，假設各衛星測距精度相同且互為獨立（即權矩陣設為單位矩陣 $P = I$），則未知參數之協因數矩陣由法方程式逆矩陣導出：

$$Q_X = (A^T A)^{-1} = \begin{bmatrix} q_{xx} & q_{xy} & q_{xz} & q_{xt} \\ q_{yx} & q_{yy} & q_{yz} & q_{yt} \\ q_{zx} & q_{zy} & q_{zz} & q_{zt} \\ q_{tx} & q_{ty} & q_{tz} & q_{tt} \end{bmatrix}_{4 \times 4}$$

步驟 4：坐標系統旋轉轉換（ECEF 轉站心局部坐標系 ENU）

工程定位重視水平（東向 $E$、北向 $N$）與高程（天頂向 $U$）誤差。設測站之大地緯度為 $\varphi$、大地經度為 $\lambda$，旋轉矩陣 $R$ 定義為：

$$R = \begin{bmatrix} -\sin\lambda & \cos\lambda & 0 \\ -\sin\varphi\cos\lambda & -\sin\varphi\sin\lambda & \cos\varphi \\ \cos\varphi\cos\lambda & \cos\varphi\sin\lambda & \sin\varphi \end{bmatrix}$$

將整體 $4 \times 4$ 轉換矩陣令為 $T = \begin{bmatrix} R & 0_{3 \times 1} \\ 0_{1 \times 3} & 1 \end{bmatrix}$，依協方差傳播律計算 ENU 坐標系之協因數矩陣 $Q_{ENU}$：

$$Q_{ENU} = T Q_X T^T = \begin{bmatrix} q_{ee} & q_{en} & q_{eu} & q_{et} \\ q_{ne} & q_{nn} & q_{nu} & q_{nt} \\ q_{ue} & q_{un} & q_{uu} & q_{ut} \\ q_{te} & q_{tn} & q_{tu} & q_{tt} \end{bmatrix}$$

註：因正交旋轉轉換之跡數不變性（Trace invariance），$q_{xx} + q_{yy} + q_{zz} = q_{ee} + q_{nn} + q_{uu}$ 恆成立。

步驟 5：提取對角線元素計算各項 DOP 指標

• 幾何精度稀釋因子（Geometric DOP, GDOP）： $GDOP = \sqrt{\operatorname{tr}(Q_{ENU})} = \sqrt{q_{ee} + q_{nn} + q_{uu} + q_{tt}} = \sqrt{q_{xx} + q_{yy} + q_{zz} + q_{tt}}$
• 空間位置精度稀釋因子（Position DOP, PDOP）： $PDOP = \sqrt{q_{ee} + q_{nn} + q_{uu}} = \sqrt{q_{xx} + q_{yy} + q_{zz}}$
• 水平位置精度稀釋因子（Horizontal DOP, HDOP）： $HDOP = \sqrt{q_{ee} + q_{nn}}$

核心觀念

1. 地球曲率差（球差，Curvature of the Earth）： 在大地測量中，視準軸在測站處切於水準面（垂直於測站鉛垂線之水平面），而實際水準面為一曲面（通常假設地球為平均半徑 $R \approx 6,371\text{ km}$ 之球體）。隨觀測距離增加，切線水平面會逐漸脫離水準面向上抬升，此幾何偏差即為地球曲率差。
2. 水準儀之觀測量影響： 幾何水準測量直接觀測標尺讀數。球差導致水平視線射在遠方水準標尺較高之位置，造成標尺讀數偏大。
3. 全站儀之觀測量影響： 全站儀同時觀測「垂直角（天頂距）」、「斜距（化算為平距）」與「水平角」：

• 高程差／垂直方向：視線偏離產生垂直線性誤差（同水準儀球差）以及垂直角角誤差。
• 垂直角（天頂距）：兩點鉛垂線不平行（中心角夾角），造成垂直角觀測之幾何角偏差。
• 距離方向：水平切線長度、弦長與橢球表面弧長之間存在投影與幾何弧弦差。

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解題方法

一、幾何模型與公式推導

設地球平均曲率半徑為 $R$，測站為 $A$，目標為 $B$，兩點間水平距離為 $D = 5\text{ km} = 5,000\text{ m}$。 在 $A$ 點架儀，視準軸沿切線方向延伸至目標上方 $B'$ 點： 在直角三角形 $\triangle OAB'$ 中（$O$ 為地心）： $OB'^2 = OA^2 + AB'^2$ $(R + C)^2 = R^2 + D^2$ $R^2 + 2RC + C^2 = R^2 + D^2$

因曲率差 $C \ll R$，$C^2$ 項極小可略去不計，得球差（高程線性偏差）標準公式： $C = \frac{D^2}{2R}$

令地球平均半徑取 $R = 6,371\text{ km} = 6.371 \times 10^6\text{ m}$。

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二、水準儀觀測誤差計算與說明

1. 計算： $C = \frac{(5,000\text{ m})^2}{2 \times 6,371,000\text{ m}} = \frac{25,000,000}{12,742,000} \approx 1.962\text{ m}$
2. 誤差說明：

• 標尺讀數誤差：水準儀視線切於測站水準面，至 5 公里外目標時，視線高出該處水準面 $1.962\text{ m}$，導致標尺讀數偏大 $1.962\text{ m}$（正誤差）。
• 高程計算影響：若未進行球差改正，計算所得之目標點高程將偏低 $1.962\text{ m}$。

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三、全站儀觀測誤差計算與說明

全站儀觀測包含角度、高差與距離三個面向：

1. 三角高程測量（高差誤差）： 全站儀藉由視準軸推算高差，受切線脫離水準面之幾何影響與水準儀相同： $\Delta h_C = \frac{D^2}{2R} \approx 1.962\text{ m}$ 若未改正，計算出的目標高程同樣偏低 $1.962\text{ m}$。

2. 垂直角／天頂距（角度誤差）： $A$、$B$ 兩點因地球彎曲，其鉛垂線在地心夾角（中心角）為： $\theta = \frac{D}{R} = \frac{5,000}{6,371,000} \approx 7.848 \times 10^{-4}\text{ rad}$