111 專技高考高等考試 交通工程技師 研究分析方法 考古題詳解

核心觀念

多元線性迴歸模型（Multiple Linear Regression, MLR）的母體形式為： $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \beta_2 X_{i2} + \dots + \beta_k X_{ik} + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$ 其中 $Y_i$ 為應變數（依變數），$X_{ij}$ 為自變數（解釋變數），$\beta_j$ 為待估迴歸參數，$\varepsilon_i$ 為不可觀察之隨機誤差項（Random Error Term）。

古典線性迴歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）仰賴一系列基本統計假設。依據高斯—馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem），當模型滿足「線性性、外生性、同質變異性、無自我相關性、無完全共線性」時，以普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計所得之參數估計式 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 具有**最佳線性不偏估計量（Best Linear Unbiased Estimator, BLUE）**之性質；若進一步滿足「誤差項常態性」假設，則估計式具備一致性、有效性，且其抽樣分配服從標準 $t$ 分配與 $F$ 分配，方能進行有效的顯著性假說檢定與信賴區間建構。

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解題方法

本題為標準的統計與計量分析三段式問答題，解題切入點採用**「假設定義 $\rightarrow$ 診斷工具（圖形判讀與統計檢定） $\rightarrow$ 違規補救措施（資料轉換與估計方法調整）」**的三維對稱架構，針對線性迴歸的五大核心假設（線性、同質變異、獨立性、常態性、無共線性）逐一剖析，並於文末彙整對照表，使評分委員一目了然。

一、 線性迴歸的基本假設、診斷與更正

1. 線性關係假設（Linearity）

• 假設內容：應變數與解釋變數之間的關係對「參數（Parameters）」而言必須是線性的，即條件期望值 $E(Y|X)$ 為解釋變數的線性組合： $E(Y_i | X_{i1}, \dots, X_{ik}) = \beta_0 + \beta_1 X_{i1} + \dots + \beta_k X_{ik}$
• 診斷方法：
• 圖形診斷：繪製「殘差對預測值散佈圖」（Residuals vs. Fitted Values Plot）或「部分殘差圖」（Partial Residual Plot / Added-variable Plot）。若點散佈呈現明顯的非線性趨勢（如拋物線、U 型或 S 型曲線），即違反假設。
• 統計檢定：採用藍姆西規範誤差檢定（Ramsey's RESET Test），將配適值的高次方項（如 $\hat{Y}^2, \hat{Y}^3$）加入輔助迴歸中進行 $F$ 檢定，檢定是否存在設定偏誤。
• 違反之更正方法：
• 變數數學轉換：對自變數或應變數進行非線性數學轉換（如取對數 $\ln X$、倒數 $1/X$、平方根 $\sqrt{X}$）。
• 多項式迴歸（Polynomial Regression）：在模型中加入高次方項（如 $X^2, X^3$）以捕捉曲線關係。
• Box-Cox 轉換：使用參數化的冪次轉換法尋找最佳轉換參數 $\lambda$。

2. 同質變異性假設（Homoscedasticity）

• 假設內容：所有觀察值之隨機誤差項具有固定不變的變異數，不隨解釋變數數值或時間變動： $Var(\varepsilon_i | X) = \sigma^2 \quad (\text{常數}), \quad \forall i$
• 診斷方法：
• 圖形診斷：檢視「殘差對預測值散佈圖」或「標準化殘差對自變數散佈圖」。若殘差點隨著 $\hat{Y}$ 或 $X$ 擴大而呈現「喇叭狀（Fan shape）」或「漏斗狀（Funnel shape）」發散／收斂，即存在異質變異（Heteroscedasticity）。
• 統計檢定：
• Breusch-Pagan 檢定（BP Test）：檢定殘差平方是否能被解釋變數線性解釋。
• 懷特檢定（White Test）：將殘差平方對所有自變數、其平方項及交叉乘積項進行輔助迴歸，不受特定異質型態假設限制。
• 違反之更正方法：
• 加權最小平方法（Weighted Least Squares, WLS）：當異質變異結構已知或可估計時，令權數 $w_i = 1/\sigma_i^2$，對各觀測值加權消除變異不均。
• 資料尺度轉換：對應變數取自然對數（$\ln Y$），壓縮大數值端的離散程度以穩定變異數。
• 懷特穩健標準誤（White's Heteroscedasticity-Consistent Standard Errors / HC 估計式）：維持 OLS 點估計不變，但修正共變異數矩陣，使 $t$ 檢定與 $F$ 檢定在漸近性質下依然有效。

3. 誤差項獨立性假設（Independence / No Autocorrelation）

• 假設內容：任意兩筆觀察值之間的隨機誤差項互不相關，無自我相關（Autocorrelation）或序列相關問題： $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0, \quad \forall i \neq j$
• 診斷方法：
• 圖形診斷：針對時間序列或空間序列資料，繪製「殘差對時間（時間序列）圖」或「當期殘差 $e_t$ 對落後一期殘差 $e_{t-1}$ 散佈圖」。若點呈現群聚、長波浪或週期性波紋，代表存在自我相關。
• 統計檢定：
• 杜賓—瓦特森檢定（Durbin-Watson Test, $DW$ 檢定）：檢定一階自我相關。統計量定義為 $DW = \frac{\sum_{t=2}^n (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n e_t^2} \approx 2(1 - r_1)$。當 $DW \approx 2$ 時表示無一階自相關；顯著小於 2 代表正自相關，顯著大於 2 代表負自相關。
• 布勞許—戈弗雷檢定（Breusch-Godfrey LM Test）：適用於高階自相關或模型右側包含應變數落後項之情形。
• 違反之更正方法：
• 廣義差分法（Generalized Difference Method）：如 Cochrane-Orcutt 或 Prais-Winsten 疊代程序，轉換原變數為 $Y_t^* = Y_t - \hat{\rho} Y_{t-1}$ 後再進行估計。
• 紐威—威斯特穩健標準誤（Newey-West HAC Standard Errors）：修正標準誤以同時容忍異質變異與序列相關。
• 時間序列動態建模：在迴歸模型中納入落後應變數（Lagged Variables）或改用自迴歸整合移動平均模型（ARIMAX）。

4. 誤差項常態性假設（Normality of Errors）

• 假設內容：隨機誤差項服從平均數為 0、變異數為 $\sigma^2$ 的常態分配： $\varepsilon_i \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, \sigma^2)$
• 診斷方法：
• 圖形診斷：
• 常態機率圖（Normal Q-Q Plot）：檢驗標準化殘差分位數與理論常態分位數。若點均勻落在 45 度對角線上，表示符合常態；若兩端嚴重偏離對角線，表示有厚尾或偏態現象。
• **殘差直方圖（Histogram）**與核密度估計圖（Kernel Density Plot）。
• 統計檢定：

核心觀念

本題為交通工程技師《研究分析方法》之高頻核心題型，主要測驗兩大統計與計量觀念：

1. 史蒂文斯（S. S. Stevens, 1946）四種測量尺度（Levels of Measurement）：名目尺度（Nominal）、順序尺度（Ordinal）、等距尺度（Interval）、等比尺度（Ratio）。考驗尺度所具備的四種數學特性：類別性（Identity/Classification）、順序性（Magnitude/Order）、等距性（Equal Intervals）與絕對零點（Absolute Zero）。
2. 雙變數關聯性／相關性顯著性檢定（Bivariate Association/Correlation Tests）：統計推論中依據自變數與應變數之測量尺度組合，選用合適的無母數（Non-parametric）或有母數（Parametric）檢定方法，並依循建立假說（$H_0$ 與 $H_1$）、計算檢定統計量、對應理論抽樣分配、判定顯著性水準（$\alpha$ 與 $p$ 值）之標準推論歷程。

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解題方法

本題解題切入點應分為兩大部分，架構務求嚴謹、對稱且邏輯完整：

1. 第一部分：系統性界定 4 種測量尺度

• 採由低階至高階之順序依序陳述。
• 每種尺度均列出：定義與數學性質、可容許的數學/統計運算、交通工程實務範例。

2. 第二部分：建構兩變數相關性檢定架構（涵蓋同尺度與跨尺度）

• 由於兩變數測量尺度可能相同或相異，最佳解題呈現方式為建立**「變數測量尺度交叉檢定矩陣」**，再逐項說明各情境之具體檢定統計量與虛無假說檢定程序。
• 區分為：
• 同尺度分析：名目 vs. 名目、順序 vs. 順序、等距/等比 vs. 等距/等比。
• 異尺度分析：名目 vs. 順序、名目 vs. 等距/等比、順序 vs. 等距/等比。
• 說明檢定流程：設立假說 $H_0: \text{無相關}$ vs. $H_1: \text{有顯著相關}$，依樣本大小與自由度查表或計算 $p$ 值，當 $p < \alpha$ 時拒絕 $H_0$，代表兩變數具統計顯著相關。

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選項分析

本題為專業科目申論題，非選擇題型。針對考場作答中考生常犯之尺度界定與檢定方法配對迷思進行剖析：

1. 等距尺度誤認有絕對零點：

• 攝氏溫度 $0^\circ\text{C}$ 或民國年份 $0$ 年並不代表「沒有溫度」或「時間不存在」，因此僅具等距性而不具比例運算意義（不可說 $40^\circ\text{C}$ 是 $20^\circ\text{C}$ 的兩倍熱）。

2. 將順序尺度誤套用 Pearson 積差相關：

• 服務水準（LOS A～F）或滿意度調查（李克特量表）本質為順序尺度，級距並不均等，直接套用 Pearson 積差相關檢定違反常態連續分配假設，應採用 Spearman 等級相關或 Kendall's $\tau$。

3. 誤以為相關性檢定僅有「相關係數」：

• 在統計學上，「關聯性（Association）」即廣義的相關性。類別變數的獨立性卡方檢定、連續變數與二元變數的點二系列相關（或雙樣本 $t$ 檢定）、連續變數與多元類別變數的單因子變異數分析（ANOVA 之 $F$ 檢定），皆屬於檢定兩變數間是否存在顯著關聯之正統方法。

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解題技巧

1. 記憶口訣與遞移律（NOIR 原則）：

• Nominal $\rightarrow$ Ordinal $\rightarrow$ Interval $\rightarrow$ Ratio。高階尺度具備所有低階尺度的特性，並可降階分析，但低階尺度絕不可升階套用高階公式。

2. 考場矩陣速查答題法：

• 在試卷上直接繪製 $3 \times 3$ 檢定矩陣（將等距與等比統稱為連續變數），閱卷委員可一眼判定考生的統計概念架構完整度。

3. 完整寫出檢定四步驟：

• 寫出虛無假說 $H_0$ 與對立假說 $H_1$。
• 寫出檢定統計量公式及其自由度（$df$）。
• 指明抽樣分配（$\chi^2$ 分配、$t$ 分配、$F$ 分配或標準常態 $Z$ 分配）。
• 說明決策法則（Decision Rule：當檢定統計量大於臨界值或 $p < \alpha$ 時拒絕 $H_0$）。

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【答案】

一、變數的 4 種測量尺度（Measurement Scale）

依據統計學家 S. S. Stevens 之分類，測量尺度依數學特性與測量精確度由低至高分為以下 4 種：

1. 名目尺度（Nominal Scale）

• 定義與特性：僅具「分類」功能，數值僅作為區別類別的符號或代碼，不具大小順序，亦無法進行加減乘除等代數運算。
• 適用統計量：次數（頻率）、眾數、卡方值。
• 交通工程實例：運具類型（1: 大眾捷運、2: 公車、3: 小客車、4: 機車）、交通事故型態（追撞、側撞、擦撞）、路口控制型式（號誌化、非號誌化）。

2. 順序尺度（Ordinal Scale）

• 定義與特性：具「分類」與「順序（大小、優劣等級）」關係，但各等級間的差距並不相等，無法進行加減運算。
• 適用統計量：中位數、百分位數、等級相關係數（Spearman's $\rho$、Kendall's $\tau$）。
• 交通工程實例：公路服務水準（Level of Service, LOS A 至 F）、行車滿意度等級（非常滿意、滿意、普通、不滿意、非常不滿意）、路損嚴重程度等級。

3. 等距尺度（Interval Scale）

• 定義與特性：具「分類」、「順序」與「相等單位間距」，數值間的差距具有實質意義，可進行加減運算；但不具絕對零點（無真實自然零），零點為人為設定，因此數值間無法作倍數或比率計算。
• 適用統計量：算術平均數、標準差、Pearson 積差相關係數。
• 交通工程實例：攝氏/華氏路面溫度、調查時點（西元/民國年份）。

4. 等比尺度（Ratio Scale，或稱比率尺度）

• 定義與特性：具備名目、順序、等距尺度的所有特質，且擁有自然絕對零點（Absolute Zero），數值代表實際物理量的大小，可進行加、減、乘、除所有代數運算，倍數關係具有實質物理意義。
• 適用統計量：幾何平均數、變異係數（$CV$）、所有適用於等距尺度的統計指標。
• 交通工程實例：行車速率（$\text{km/h}$）、交通流量（$\text{pcu/h}$）、車流密度（$\text{veh/km}$）、旅行時間（$\text{sec}$）、剎車距離（$\text{m}$）。

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二、兩變數間相關性顯著性檢定方法

檢定兩變數間之相關性（關聯性）是否達統計顯著水準，需依據兩變數之測量尺度組合，選用適當之檢定方法與統計量。設顯著水準為 $\alpha$（通常取 $0.05$）：

（一）尺度相同時之相關性檢定

核心觀念

本題旨在測驗交通決策分析中「多準則決策分析」（Multiple Criteria Decision Making, MCDM）之兩大核心分支——**多屬性決策（MADM）與多目標決策（MODM）**的理論本質、數理架構差異，以及在交通工程實務（捷運路線定線）上的具體規劃應用能力。

1. 基本定義：

• 多準則決策（MCDM）：處理包含多個衝突、不可共量（Non-commensurable）指標之決策問題的總稱。
• 多屬性決策（MADM）：在「有限、已知且離散」的替代方案集中，依據多項評估屬性（Attributes），進行方案之篩選、排序或選優（Selection/Prioritization）。決策空間為離散空間。
• 多目標決策（MODM）：在由各類「數學限制式」所界定的可行解空間內，透過多個互相衝突的目標函數（Objective Functions），尋求一組非劣解（Non-dominated Solutions / Pareto Optimal Solutions）或妥協解。決策空間為連續或組合最佳化空間，著重於系統的「設計與最佳化」（Design/Optimization）。

2. 核心對比構面：

• 方案特性（離散預設 vs. 連續產生）
• 準則本質（屬性績效值 vs. 目標函數）
• 限制條件形式（隱含於方案中 vs. 明確數學不等式/等式）
• 決策目的（評選現成方案 vs. 搜尋最佳設計）

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解題方法

本題為標準的觀念對比與實務應用申論題。解題架構分為兩大部分： 第一部分系統化剖析 MADM 與 MODM 的「同」與「異」，並輔以比較表； 第二部分以「捷運路線定線問題（Transit Alignment Problem）」為情境載體，分別示範兩者在問題定義、變數/指標設定、求解模式上的實務流程。

一、MADM 與 MODM 之異同分析

1. 相同點（Commonalities）

• 隸屬同一理論體系：兩者皆隸屬於多準則決策分析（MCDM），旨在協助決策者（Decision Maker, DM）在複雜情境下做出理性判斷。
• 準則衝突性（Conflicting Criteria）：皆處理多個互相抵觸的指標（例如：工程成本最低 vs. 服務運量最高），無法在不犧牲其他準則的情況下使所有指標同時達到最佳。
• 不可共量性（Non-commensurability）：所考慮的準則單位互不相同（如億元、分鐘、人次、分貝），無法直接加總，皆需透過標準化（Normalization）或效用函數轉換。
• 需納入決策者偏好（Preference Integration）：無法單純依賴客觀計算得到唯一絕對最優解，必須融入決策者的主觀權重（Weights）或取捨（Trade-offs）來決定最終妥協方案。

2. 相異點（Differences）

比較構面	多屬性決策（MADM）	多目標決策（MODM）
決策空間	離散空間（Discrete Space）	連續空間或大規模組合空間（Continuous / Combinatorial Space）
備選方案數	有限且已知（Finite & Predetermined）	無限或潛在龐大（Infinite / Implicitly Defined）
決策任務	評估、排序與選擇（Evaluation & Selection）	系統設計與最佳化（Design & Optimization）
評估準則形式	屬性（Attributes）：常為靜態量測值或主觀打分	目標函數（Objective Functions）：具體數學函數 $f_k(x)$
限制條件	隱含於方案先期研擬與初篩中，不以聯立數學式呈現	以明確之數學等式或不等式（Constraints）界定可行解空間
典型求解方法	AHP、TOPSIS、ELECTRE、VIKOR、PROMETHEE	目標規劃法（Goal Programming）、加權法、妥協規劃法、NSGA-II 演算法

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二、捷運路線定線問題之應用實例

「捷運路線定線」涉及路廊選擇、站點配置與細部幾何線型設計。由於決策階段與問題規模不同，分別適用 MADM 與 MODM。

1. 應用 MADM 於捷運路線定線（路廊方案評選階段）

應用情境：捷運可行性研究或綜合規劃初期，工程顧問團隊已初步研擬出數條可行的離散路廊走廊方案，決策目標為「從既有方案中選出最優路線」。

• 方案設定（離散方案集）： 設有三個互斥之預設路線方案：
• 方案 $A_1$：沿既有主要幹道布設之高架方案。
• 方案 $A_2$：穿越密集住宅區地下之潛盾隧道方案。
• 方案 $A_3$：繞經新市鎮重劃區之平交/高架混合方案。
• 評估屬性建立： 建立多層級評估屬性體系（量化與質化並存）：
• 成本屬性（成本型）：工程興建成本（億元）、用地取得與拆遷補償費用（億元）。
• 交通運輸屬性（效益型）：目標年日運量（萬人次/日）、旅行時間節省（萬小時/年）、轉乘樞紐銜接性（評分）。
• 環境與社會衝擊（成本型）：施工期間交通衝擊度（評分）、沿線噪音與振動受體數（戶）。
• 都市發展屬性（效益型）：大眾運輸導向發展（TOD）潛力（評分）、都市計畫配合度（評分）。
• 決策評估流程：

1. 建立決策矩陣 $\mathbf{X} = [x_{ij}]_{m \times n}$，其中 $x_{ij}$ 代表方案 $A_i$ 在屬性 $C_j$ 下的評估值。
2. 數值標準化：將量化數值（如億元）與質化評分消除量綱影響，轉換至 $[0, 1]$ 區間。
3. 權重賦予：邀集專家學者、主管機關及民意代表，利用**層級分析法（AHP）**求得各屬性權重向量 $W = (w_1, w_2, \dots, w_n)$。

核心觀念

本題評量整體運輸規劃（Transportation Planning）中旅次特性調查（OD 調查）之「家訪問卷調查（Household Travel Survey）」抽樣設計理論與實務應用能力。主要涉及之核心觀念包括：

1. 抽樣母體與抽樣架構（Sampling Frame）：家訪調查之調查母體為規劃區（Study Area）內的全體常住家戶。抽樣架構通常依賴戶籍資料名冊、門牌地址清冊或住宅電錶／自來水用水清冊。
2. 機率抽樣（Probability Sampling） vs. 非機率抽樣（Non-probability Sampling）：

• 機率抽樣（如簡單隨機抽樣、分層抽樣）：母體中每個單元被抽中的機率已知且大於零，能客觀推估母體參數（如平均家戶旅次產生率、總旅次量）並計算抽樣誤差（Sampling Error）。
• 非機率抽樣（如便利抽樣）：抽取機率未知，無法由樣本統計量推論抽樣分配與計算抽樣誤差，存在嚴重的選擇性偏誤（Selection Bias）。

3. 交通分析分區（Traffic Analysis Zone, TAZ）之空間代表性：運輸規劃模式（如四階段模式）高度依賴各 TAZ 之起訖旅次矩陣。抽樣方法必須兼顧各分區（包含高密度與低密度區）的樣本數充足性與異質性。

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解題方法

本題為典型的申論比較題，切入點應緊扣「家訪問卷調查」之實務情境，針對題目所列之「簡單隨機抽樣」、「分層抽樣」、「便利抽樣」三種方法，分別從具體作法（步驟程序）、優點與缺點三面向系統化論述，並強化運輸規劃的專業脈絡（如交通分區、家戶社經特性、旅次推估精準度）：

1. 結構編排：採分大項（各方法獨立段落）＋次要項目（作法、優點、缺點），條理分明。
2. 操作步驟落地：具體作法須寫出「建立抽樣底冊 $\rightarrow$ 劃分／編號單元 $\rightarrow$ 抽取樣本 $\rightarrow$ 實地訪查」等標準作業流程（SOP）。
3. 優缺點對比：從「統計推估效力（誤差與偏差）」、「執行成本與時間」、「空間分佈均勻度」三大維度展開。

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選項分析（針對本題三種抽樣方法之評析）

本題為申論題，非選擇題。以下針對題目指定的三種方法進行全面解析與評鑑：

1. 簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling, SRS）

• 具體作法：

1. 建立抽樣底冊：取得全規劃區之完整家戶名冊（如民政戶籍名冊或住宅地址清冊），母體總數為 $N$ 戶。
2. 編號與抽樣：將每一家戶賦予唯一編號（$1$ 至 $N$），利用亂數表、電腦虛擬隨機亂數產生器（PRNG）或抽籤法，以「不放回隨機抽樣」抽取目標樣本數 $n$ 戶。
3. 實地訪查與追蹤：依中籤家戶名單指派訪查員進行面訪、電訪或遞送填答問卷；遇拒訪或無人應門時，依既定替換原則（如隨機備抽名單）處理，避免破壞隨機性。

• 優點：

1. 客觀公正無偏誤：每個家戶被抽中的機率皆相同（均為 $\frac{n}{N}$），能提供母體參數的不偏估計量（Unbiased Estimator）。
2. 統計理論單純：樣本統計量（如平均旅次率）之公式推導與抽樣誤差計算最為直接，無須複雜的加權權重調整。

• 缺點：

1. 樣本空間分佈不均：在地理分佈上容易隨機群聚，人口稀少之郊區交通分區（TAZ）可能抽樣數過少，導致分區旅次產生／吸引模式校正困難。
2. 調查執行成本極高：中籤家戶分散於全規劃區各處，訪查員交通往返時間長、差旅與調查動員成本龐大。
3. 抽樣底冊取得不易：若缺乏完整更新的家戶名冊，即無法有效落實隨機抽樣。

2. 分層抽樣（Stratified Sampling）

• 具體作法：

1. 定義分層標準：依據運輸規劃需求，將全區母體依特定屬性劃分為互斥且周延的 $L$ 個層（Strata）。實務上常依交通分析分區（TAZ）為空間分層，或依家戶所得、自有車輛數、家戶規模等關鍵社經變數進行交叉分層。
2. 分層建立底冊：各層獨立建立家戶名冊，母體總數為 $N = \sum_{h=1}^L N_h$。
3. 決定樣本配置比例：

• 比例配置法（Proportional Allocation）：各層樣本數 $n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}$。
• 最佳配置法（Neyman Allocation）：考慮各層內變異數 $S_h$ 與調查成本 $C_h$，配置 $n_h \propto \frac{N_h S_h}{\sqrt{C_h}}$，於變異大或成本低的層配置較多樣本。

4. 層內隨機抽樣：於各層中各自獨立採用簡單隨機抽樣抽出指定樣本數 $n_h$，最後合併執行家訪問卷。

• 優點：

1. 估計精確度顯著提升：若分層達到「層內同質（Homogeneous within strata）、層間異質（Heterogeneous between strata）」之原則，能有效降低總體估計變異數，在相同樣本數下較 SRS 具備更高的統計精度。
2. 確保空間與少數族群代表性：可確保每個 TAZ 或特定重要群體（如高收入戶、無車戶）皆有充分的樣本數進行分區模式校準。
3. 便於調查管理與組織作業：各層可依行政區或分區獨立派案調查，便於監督與進度控管。

• 缺點：

1. 前置作業複雜度高：調查前必須掌握母體各家戶的分層輔助資訊（如各戶所在分區、車輛登記或所得級距），若無此先驗資訊則無法分層。