110 專技高考高等考試 交通工程技師 研究分析方法 考古題詳解

核心觀念

本題考線性規劃的建模與單體法。決策變數代表兩地建置科技執法的數量；目標函數計算每年可減少的交通事故次數，各項資源限制則表示各地建置所需資源不得超過可使用量。

（一）線性規劃模式

令 $x_A$ 為 A 地區建置數量，$x_B$ 為 B 地區建置數量。每處 A 地區設施每年減少 20 次事故，每處 B 地區設施每年減少 30 次事故，因此目標為：

依序寫出攝影機、人力及建置費限制：

題目要求線性規劃，未另要求整數限制，因此依連續變數的線性規劃模式處理。

（二）單體法求解

加入鬆弛變數 $s_1,s_2,s_3\geq 0$，分別代表攝影機、人力、建置費剩餘量：

初始基底為 $s_1,s_2,s_3$。初始目標列的 $C_j-Z_j$ 中，$x_B$ 為 30，大於 $x_A$ 的 20，因此令 $x_B$ 進入基底。最小比值檢定只計算 $x_B$ 係數為正的列：

故人力限制列的鬆弛變數 $s_2$ 離開基底，樞紐元素為 9。樞紐運算後的單體表可表示為：

核心觀念

本題考查以資料包絡分析法（Data Envelopment Analysis, DEA）評估多個服務單位的相對效率。20 條幸福巴士路線可視為 20 個決策單位（Decision Making Units, DMU），每條路線使用若干投入資源，提供客運服務並產生運量、收入等產出。

DEA 以觀察到的路線資料建立效率前緣，再衡量各路線相對於前緣的效率。它適合多投入、多產出情境，且不必先指定投入與產出的單一價格或權重；但評估結果是相對效率，不是路線的絕對績效，也不代表效率較低的路線必須停駛。

解題方法

1. 界定決策單位與投入、產出

每條路線作為一個 DMU，確保各路線所提供的服務性質與資料期間具有可比較性，並選擇適當的投入及產出變數。

• 投入變數可包括營運里程、班次數、使用車輛數；座位數可代表運能投入，但須避免與其他高度重複的運能指標同時納入。
• 產出變數可包括上下車人次、旅客延人公里（或總旅次長度所反映的旅客運送量）及票箱收入。

題目所列「每站上下車人數」可彙整為路線的總上下車人次；「每旅次長度」須先確認指的是旅客搭乘距離、路線長度或其他指標，再決定其投入或產出定義。投入與產出的方向應依其實際意義設定，避免把資源投入誤當成服務產出。

2. 選擇 DEA 模式

可先採用投入導向 CCR 模式，在產出至少維持現有水準下，衡量各路線可按比例減少多少投入。CCR 假設規模報酬固定；若各路線規模差異明顯，且規模報酬不一定固定，則採用投入導向 BCC 模式，允許規模報酬變動。

對路線 $o$，投入導向 CCR 的乘數型線性規劃可寫為：

其中，$x_{ij}$ 是路線 $j$ 的第 $i$ 項投入，$y_{rj}$ 是其第 $r$ 項產出；$u_r$、$v_i$ 為由模型求得的產出與投入權重，$\varepsilon$ 是極小正數。

核心觀念

本題考查母體平均數的樣本數估計。已知母體標準差 $\sigma=2$ 公里，要求在信賴係數 $0.95$ 下，估計母體平均數的誤差不超過 $E=0.2$ 公里，因此使用已知母體標準差時的樣本數公式：

解題方法

信賴係數為 $0.95$，所以雙尾檢定的顯著水準為 $\alpha=1-0.95=0.05$，每一尾面積為 $0.025$。標準常態分配表列的是從 $0$ 到 $z$ 的面積，因此查表目標為：

核心觀念

本題要檢定「管制措施使旅行時間平均至少減少 2 分鐘」，也就是檢定實施前後的母體平均旅行時間差是否大於 2 分鐘。因題目未提供逐日配對資料，以下假設實施前、後是兩組互相獨立的樣本，兩組旅行時間皆近似常態分配，且母體變異數相等。

令 $\mu_{\text{前}}$、$\mu_{\text{後}}$ 分別為實施前、後的平均旅行時間，定義平均減少時間為

採用右尾檢定：

只有在檢定結果足以拒絕 $H_0$ 時，才能在顯著水準 $0.05$ 下支持「平均至少減少 2 分鐘」的結論。

解題方法

兩組樣本數皆為 $n_1=n_2=11$，樣本平均數分別為 $\bar{x}_{\text{前}}=85$、$\bar{x}_{\text{後}}=81$，樣本標準差分別為 $s_{\text{前}}=4$、$s_{\text{後}}=5$。樣本觀察到的平均減少時間為

在兩組母體變異數相等的假設下，合併變異數為

因此，平均數差的標準誤為