112 專技高考高等考試 交通工程技師 研究分析方法 考古題詳解

核心觀念

本題考「運輸問題」的線性規劃建模。令 $x_{ij}$ 表示挖方區 $i$ 運送至填方區 $j$ 的土方量，則總運送成本為各路線「單位運送成本 × 運送量」的總和。

第一小題的總挖方量與總填方需求量相等；第二小題則須先扣除廢土，再依序處理「最大化實際填土量」與「在最大填土量下最小化運送成本」兩個目標。

解題方法

（一）總運送成本最小的線性規劃模式

令 $x_{ij}\geq 0$ 為挖方區 $i\in\{A,B,C\}$ 運至填方區 $j\in\{1,2,3,4\}$ 的土方量。依表列成本，目標函數為：

各挖方區供給量須全數運出，因此列限制式為：

各填方區需求量須全數滿足，因此欄限制式為：

並有非負限制：

本題總供給量為 $200+250+350=800$，總需求量為 $100+150+250+300=800$，兩者相等，故供給與需求均以等式表示。

（二）挖方廢土率為 $20\%$ 時的線性規劃模式

可用挖方量為原挖方量的 $80\%$，因此：

可用土方總量為 $160+200+280=640$，低於填方總需求量 $800$。因此先求最多可運送量，再在該最大運送量下求最低成本。

第一階段：最大化實際填土量

限制式為：

核心觀念

本題考「現金流量圖」及「現值法（Present Worth, PW）」：把各方案在共同分析期間內的成本與效益，按折現率換算到同一基準時點，再比較淨現值。若方案效益已扣除成本，選擇淨現值較大的方案。

分析期間為 4 年。A 方案服務年限為 2 年，因此須假設第 2 年末以相同條件再購置一套設備，讓 A 方案涵蓋完整 4 年；B 方案服務年限為 4 年，使用一套即可。

（一）現金流量圖

以下金額單位均為新臺幣百萬元，採「期初投資發生於年初、每年成本與效益發生於年末」的慣例。向上表示流入，向下表示流出。

A 方案

每年效益為 120、每年成本為 45，故每年淨效益為：

$120-45=75$

A 的設備使用 2 年，第 2 年末再購置一套設備，投資 105；期末殘值為 0。

時間（年末） 0 1 2 3 4
 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑
現金流量 -105 +75 +75 +75 +75
 ↓
 -105

因此第 2 年末同時有第一套設備第 2 年的淨效益 $+75$，以及第二套設備的期初投資 $-105$，合併後該時點淨流量為 $-30$。等價表示如下：

時間（年末） 0 1 2 3 4
淨現金流量 -105 +75 -30 +75 +75

B 方案

每年效益為 120、每年成本為 80，故每年淨效益為：

$120-80=40$

B 的設備可使用 4 年，期末殘值為 0。

時間（年末） 0 1 2 3 4
 ↓ ↑ ↑ ↑ ↑
現金流量 -60 +40 +40 +40 +40

（二）折現率為 10% 時的方案比較

解題方法與假設

採 4 年分析期間的現值法，將所有現金流量折現至第 0 年。假設：

核心觀念

本題考驗兩組平均數的單尾 $t$ 檢定：判斷尖峰時段的平均車流量是否大於離峰時段。題目未說明兩組觀測值是否逐筆配對，以下依兩組獨立樣本、母體變異數相等的常用作法計算。

令 $\mu_1$ 為尖峰時段平均車流量，$\mu_2$ 為離峰時段平均車流量，設定：

顯著水準為 $\alpha=0.05$，採右尾檢定。

解題方法

兩組樣本數皆為 $9$。樣本平均數為：

因此樣本平均數差為：

以各組平均數計算離差平方和，尖峰組為 $61400$，離峰組為 $64000$，故樣本變異數分別為：

合併變異數為：

核心觀念

本題考不確定情況下的決策準則。表中數值是各策略在不同民眾接受程度下的效益：

• 最大利益極大化（maximax）：各策略先取可能的最大效益，再選其中最大者。
• 最小利益極大化（maximin）：各策略先取可能的最小效益，再選其中最大者。
• 最大損失極小化（minimax regret）：逐一計算各情況下「最佳效益減去該策略效益」的後悔值，再選最大後悔值最小的策略。
• 期望值準則：依各情況發生機率加權計算效益，選期望效益最高者。

解題方法

（一）依三種準則選策略

先取各策略的最大效益：

最大值為 $20$，因此 maximax 選 C。

再取各策略的最小效益：

這些最小效益中最大者為 $6$，因此 maximin 選 A。

計算後悔值時，各接受程度下的最佳效益分別為：

• 接受程度高：$\max(8,12,20)=20$
• 接受程度低：$\max(6,5,-8)=6$

後悔值等於該情況最佳效益減去策略效益：

最大後悔值最小的是策略 B 的 $8$，因此 minimax regret 選 B。

（二）依機率 $P$ 選策略

令民眾接受程度為高的機率是 $P$，低的機率是 $1-P$，其中 $0\le P\le1$。各策略的期望效益為：