109 專技高考高等考試 交通工程技師 研究分析方法 考古題詳解

核心觀念

本題評量**資料前處理（Data Preprocessing）與探索性資料分析（EDA）**中，針對不同維度資料的「離群值（Outliers）診斷指標」及後續的「處理策略」。

1. 離群值定義：在樣本中顯著偏離其他大部分觀測值的極端數據點。在交通工程領域，可能源於車流偵測器設備故障（如微波/環路偵測器通訊雜訊）、人工抄錄錯誤、抽樣誤差，或是偶發的特殊交通事件（如重大車禍、道路施工）。
2. 維度與關聯性考量：

• 單變量（Univariate）：僅檢視單一指標分佈的極端性（如某路段單點瞬時車速是否異常）。
• 雙變量（Bivariate）：檢視兩變數間的關聯結構是否偏離（如交通量與車速的散佈關係偏離巨觀流率基本圖）。
• 多變量（Multivariate）：考慮多個變數之共變異數結構（Covariance Structure）與幾何距離，單一維度未超標的點在高維空間中可能呈現孤立。

解題方法

一、單變量、雙變量與多變量離群值判斷方法（各列舉一項）

1. 單變量判斷方法：四分位距法（IQR 法／箱形圖法則，Tukey's Fences）

• 原理與公式： 計算第一四分位數（$Q_1$，第 25 百分位數）與第三四分位數（$Q_3$，第 75 百分位數），定義四分位距（Interquartile Range, $\text{IQR}$）為： $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$
• 判定準則： 建立資料之內籬（Inner Fences）： $\text{邊界} = [Q_1 - 1.5 \times \text{IQR},\ Q_3 + 1.5 \times \text{IQR}]$
• 若數值落於外籬 $[Q_1 - 3 \times \text{IQR},\ Q_3 + 3 \times \text{IQR}]$ 與內籬之間，判定為「溫和離群值（Mild Outlier）」。
• 若數值小於 $Q_1 - 3 \times \text{IQR}$ 或大於 $Q_3 + 3 \times \text{IQR}$，判定為「極端離群值（Extreme Outlier）」。
• 特點：以中位數與分位數為基礎，不受極端值影響，無須滿足常態分配假設，具高度穩健性（Robustness）。

2. 雙變量判斷方法：學生化殘差分析法（Studentized Residuals）

• 原理與公式： 建立兩變數間的雙變量迴歸模型 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$，計算觀測值與迴歸預測值之殘差 $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$。考慮各點槓桿值（Leverage Value, $h_{ii}$）後，計算內學生化殘差（Studentized Residual）： $r_i = \frac{e_i}{s \sqrt{1 - h_{ii}}}$ 其中 $s$ 為迴歸均方誤差的平方根（$\sqrt{\text{MSE}}$），$h_{ii}$ 為帽子矩陣（Hat Matrix）的對角線元素。
• 判定準則： 若 $|r_i| > 2$（顯著水準約 $\alpha = 0.05$）或 $|r_i| > 3$（顯著水準約 $\alpha = 0.001$），表示該觀測點顯著偏離兩變數間的關聯趨勢線，判定為雙變量離群值。
• 特點：能有效校正個別點因槓桿值過大而造成的殘差低估現象，精確捕捉二維平面上的偏離點。

3. 多變量判斷方法：馬氏距離法（Mahalanobis Distance, MD）

• 原理與公式： 設資料矩陣包含 $p$ 個變數，向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_p]^T$，其樣本平均數向量為 $\boldsymbol{\mu}$，共變異數矩陣為 $\boldsymbol{\Sigma}$。個別觀測點至質心的馬氏距離平方定義為： $D^2 = (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})$
• 判定準則：

核心觀念

本題考查有向加權路網的最短路徑。節線箭頭表示行進方向，節線上的數字是路段長度；路徑長度為沿途各節線長度總和。

Dijkstra 法逐步確定由起點到各節點的最短距離。Yen 法則先求最短路徑，再逐一改變該路徑上的分岔點，移除已採用的節線並求替代路徑，依路徑長度排序以找出第二短路徑。

解題方法

先將起點節點 1 的暫定距離設為 $0$，其餘節點設為 $\infty$。每次選取暫定距離最小且尚未確定的節點，更新其相鄰節點距離。

因此，Dijkstra 法得到的最短路徑為

核心觀念

層級分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）由美國運籌學家托馬斯·薩蒂（Thomas L. Saaty）於 1970 年代提出，為交通工程與運輸規劃領域中處理「多準則決策（Multi-Criteria Decision Making, MCDM）」最經典的方法之一（常用於路網改善方案評選、大眾運輸路廊選線、交控策略優先順序等）。

AHP 在數理推導與問卷評估上，奠基於 Saaty 所定義的四大核心公理（Axioms）與運算假設條件：

1. 互反性假設（Reciprocal Axiom / Property）：成對比較之相對偏好具倒數關係。
2. 同質性假設（Homogeneity Axiom）：受比較的元素必須處於同一數量級與可比尺度內。
3. 獨立性假設（Independence Axiom）：包含同階層準則間之內部獨立（Inner-independence）及準則與方案間之外部獨立（Outer-dependence）。
4. 期望與一致性假設（Expectations and Consistency Axiom）：階層結構具完整性，且決策者的主觀判斷應具備邏輯遞移性與數值一致性。

解題方法

本題為標準的觀念型申論題，命題邏輯為「先定義公理假設 $\rightarrow$ 說明實務違背情境 $\rightarrow$ 提出理論與操作層面的修正策略」。答題時切忌僅列出「一致性檢驗」，而忽略了更根本的「獨立性」與「同質性」。

作答架構採用「成對對照法」，將「假設條件」與「違反時之處理方式」以一對一的結構清楚分層論述：

• 確立四大假設的數理或結構定義。
• 逐一剖析違反假設的具體徵狀（如次序反轉、矩陣發散、$CR > 0.1$、準則耦合等）。
• 提出具體因應對策（如問卷設計防呆、分群設層、改採 ANP、一致性反覆修正等）。

選項分析（各項假設條件與違反處理之逐項剖析）

本題為國家考試專業科目申論題，非選擇題。以下依據 Saaty 規範之 AHP 四大假設條件，逐點詳細解析其內涵與違反時之處理手段：

一、互反性假設（Reciprocal Axiom）

• 假設內涵： 設 $a_{ij}$ 為元素 $i$ 相對元素 $j$ 的重要度強度，則元素 $j$ 相對元素 $i$ 的重要度必定互為倒數，即滿足： $a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}}, \quad \forall i, j \quad (\text{且 } a_{ii} = 1)$
• 違反情境： 填表專家因主觀認知混淆，在直接問卷中填寫矛盾的成對比較（例如：認為「方案 A 比方案 B 重要 3 倍」，卻同時在另一格填寫「方案 B 比方案 A 重要 2 倍」）。
• 違反時之處理方式：

1. 問卷機制防呆：在問卷設計與成對比較矩陣建置時，僅要求填答者填寫上三角矩陣，下三角矩陣元素由系統自動設定為 $a_{ji} = 1/a_{ij}$，對角線一律鎖定為 1，從機制上徹底杜絕違反互反性。
2. 群體決策整合：若整合多位專家意見，應採用**幾何平均法（Geometric Mean Method）**合成群體矩陣，因幾何平均能嚴格維持倒數關係，若採用算術平均則會破壞互反性。

二、同質性假設（Homogeneity Axiom）

• 假設內涵： 同一母節點下所比較的各項子準則或方案，其屬性、尺度與重要性差距必須具備同質性，不可相差過大。Saaty 訂定的成對比較評分尺度限定在 1 至 9（1：同等重要；9：絕對重要），代表人類心理物理學上能有效辨識的相對比率上限為 9 倍。
• 違反情境： 將差距過度懸殊的項目放在同一個矩陣直接比較（例如：在交通安全改善方案中，將「數百萬元的號誌建置費用」與「數十億元的高架立體化工程費」，或將「千分之一機率之輕微擦撞」與「重大群體傷亡事件」置於同一層級比較），導致評估尺度超出 1 至 9 的極限。
• 違反時之處理方式：

1. 建立群集中間層（Clustering）：在階層結構中增設中介層級（Sub-criteria / Clusters）。將性質或規模相近的元素先歸為同組進行同質比較，再逐層往上乘算權重合成。
2. 數值標準化轉換：若屬客觀量化指標（如工程造價、容量），可先透過效用函數（Utility Function）或對數尺度（Logarithmic Scale）進行標準化正規處理，壓縮尺度極端差異後再行評比。

三、獨立性假設（Independence Axiom）

• 假設內涵：

1. 內部獨立（Inner-independence）：同階層內的各準則彼此互不相依、無回饋作用。
2. 外部獨立（Outer-dependence）：下層元素僅受直接上層元素支配；準則權重獨立於替代方案，不得因新增或刪除方案而改變準則的相對權重偏好。

• 違反情境：

1. 實務上準則間常存在互制或因果關係（例如：交通工程中「車流通行速率」與「行人通行安全」往往互相牽制）。
2. 引入新方案或刪除次要方案時，發生次序反轉現象（Rank Reversal），導致最佳方案順序顛倒。

• 違反時之處理方式：

核心觀念

本題考查折現現金流量分析，包括益本比（B/C）、淨現值（NPV）及內部報酬率（IRR）。

折現率為 $i=5\%$，第 $t$ 年的現值係數為 $\frac{1}{(1+i)^t}$。本題第 3 至第 10 年，每年效益與成本相同，均可用 8 期年金現值因子計算：

各指標定義如下：

IRR 是使計畫淨現值等於零的折現率。

解題方法與計算

一、交通建設 A 的益本比

A 的效益只發生於第 3 至第 10 年，每年為 1,000：

A 的成本現值為：

因此：

二、交通建設 A 的淨現值

A 的 NPV 為正，表示以 5% 折現率評估，A 可帶來約 604.90 的淨效益。

三、交通建設 A 的內部報酬率