108 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・農藝技師
試題代碼 試驗設計

第 一 題40 分

大豆（Glycine maxGlycine\ max（L.）Merr.）的種子發芽期與幼苗期需在適宜的土壤持水量下進行生長。今有一大豆業者欲研究三個大豆品種（V1、V2、V3）的平均產量是否有差異，請依據下列情境設計適宜之試驗配置、繪出配置圖，並寫出其變方分析表內之變因及自由度。

（一）隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）：田區的北方有灌溉溝渠，土壤持水量呈梯度變化，探討三個大豆品種（V1、V2、V3）在平均產量上的影響，以三重複方式進行規劃。（10分）

（二）複因子試驗＋完全隨機設計（completely randomized design, CRD）：可調節式滴灌噴嘴系統，探討三種不同滴灌水量（D1、D2、D3）與三個大豆品種（V1、V2、V3）在平均產量上的影響，以三重複方式規劃。（15分）

（三）裂區設計（split-plot design）＋隨機完全區集設計（randomized complete block design, RCBD）：利用田間畦溝灌溉方式，探討三種不同灌溉程度（I1、I2、I3）與三個大豆品種（V1、V2、V3）在平均產量上的影響，以三重複方式規劃。（15分）

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核心觀念

本題考三種試驗設計的配置與變方分析自由度：

  1. 隨機完全區集設計（RCBD）：田區有土壤持水量梯度，以區集控制梯度造成的變異；每個區集都包含全部品種，並在區集內隨機配置。
  2. 複因子試驗＋完全隨機設計（CRD）：同時研究灌溉水量與品種，除了兩個因子的主效應，也要分析交互作用。
  3. 裂區設計＋RCBD：灌溉程度以畦溝施作，較適合配置在較大的主區；品種配置在主區內的副區。主區與副區有不同的誤差項，因此檢定時使用不同的誤差均方。

自由度的基本計算方式是：總自由度為觀測數減一，各來源自由度依設計中可獨立估計的效應數計算。

（一）RCBD：三品種、三區集

配置方法

灌溉溝渠在田區北側，持水量梯度由北向南變化。將每個區集配置成東西向的窄帶，使區集內的田區位置較接近、環境較一致；三個區集沿南北方向排列。每一區集各配置 V1、V2、V3 一次，並在區集內隨機排列。

以下是一種可行的隨機配置示例：

 北：灌溉溝渠
 ↑
區集 1（較北） | V2 | V1 | V3 |
區集 2 | V3 | V2 | V1 |
區集 3（較南） | V1 | V3 | V2 |
 ↓
 南：持水量梯度

每個區集內皆包含三個品種，故總試驗小區數為 3×3=93\times3=9。

變方分析表

令品種數 t=3t=3、區集數 r=3r=3，總小區數為 rt=9rt=9。

變因自由度
區集r−1=2r-1=2
品種t−1=2t-1=2
誤差(r−1)(t−1)=4(r-1)(t-1)=4
總和rt−1=8rt-1=8

（二）複因子試驗＋CRD：三種水量、三品種

配置方法

設灌溉水量為因子 D，品種為因子 V。兩因子各有三個水準，形成 3×3=93\times3=9 個處理組合：

D1V1, D1V2, D1V3, D2V1, D2V2, D2V3, D3V1, D3V2, D3V3D_1V_1,\ D_1V_2,\ D_1V_3,\ D_2V_1,\ D_2V_2,\ D_2V_3,\ D_3V_1,\ D_3V_2,\ D_3V_3

每個處理組合重複三次，共 9×3=279\times3=27 個小區。在適合採完全隨機設計的試驗區內，將 27 個處理小區隨機配置。以下為一種符合每個組合出現三次的配置示例：

小區位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9
第 1 列 D2V1 D1V3 D3V2 D2V3 D1V1 D3V3 D1V2 D2V2 D3V1
第 2 列 D1V1 D3V2 D2V2 D1V3 D3V1 D2V1 D1V2 D3V3 D2V3
第 3 列 D3V1 D2V3 D1V2 D3V3 D2V2 D1V1 D3V2 D1V3 D2V1

解題方法與變方分析表

需分別估計水量主效應、品種主效應及水量與品種的交互作用。令水量水準數 a=3a=3、品種水準數 b=3b=3、每組合重複數 r=3r=3，總觀測數為 abr=27abr=27。

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第 二 題35 分

大豆育種家欲探討「高雄選10號」在沿海地區種植時的性狀表現。今欲針對產量（grain yield, GY）及其構成要素之株高（plant height, PH）性狀進行相關分析及回歸分析，其調查資料如下：

123456
PH（cm）407366628081
GY（kg/ha）197530333263297834573978

試回答下列問題：

（一）經 PROC CORR 之分析結果如下：

Pearson Correlation Coefficients, N = 6PHGY
PH1(a)
GY(a)1
Prob > |r| under H0:ρ=0H_0:\rho=0PHGY
PH0.0058
GY0.0058

試計算（a）之數值為何？並闡述其檢定之結果。（15分）

（二）經 PROC GLM 之分析結果如下：

SourceDFSum of SquaresMean SquareF ValuePr > F
Model11939712193971228.840.0058
Error426901267253.1
Corrected Total52208724
ParameterEstimateStandard Errort ValuePr > |t|
Intercept(b)521.88820500.710.5180
PH(c)7.62741265.370.0058

試計算（b）與（c）之數值為何？並闡述其檢定之結果。（20分）

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核心觀念

本題考查皮爾森相關分析與簡單線性迴歸。以株高 PHPH 為自變數、產量 GYGY 為依變數：

  • 相關係數衡量兩變數線性關聯的方向與強度。
  • 簡單線性迴歸式為 GY^=b0+b1PH\widehat{GY}=b_0+b_1PH，其中 b1b_1 為斜率、b0b_0 為截距。
  • 相關係數檢定與迴歸斜率檢定，在簡單線性迴歸下等價；其虛無假設皆為「母體線性關聯為零」。

（一）相關係數及檢定

先求平均數：

PHˉ=4026=67,GYˉ=186846=3114\bar{PH}=\frac{402}{6}=67,\qquad \bar{GY}=\frac{18684}{6}=3114

以 Sxx=∑(PHi−PHˉ)2S_{xx}=\sum(PH_i-\bar{PH})^2、Syy=∑(GYi−GYˉ)2S_{yy}=\sum(GY_i-\bar{GY})^2、Sxy=∑(PHi−PHˉ)(GYi−GYˉ)S_{xy}=\sum(PH_i-\bar{PH})(GY_i-\bar{GY}) 表示離均差平方和與乘積和。由資料計算：

Sxx=1156,Syy=2208724,Sxy=47353S_{xx}=1156,\qquad S_{yy}=2208724,\qquad S_{xy}=47353

因此皮爾森相關係數為：

r=SxySxxSyy=473531156×2208724≈0.9371r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} =\frac{47353}{\sqrt{1156\times2208724}} \approx 0.9371

故 (a)=0.9371(a)=0.9371。相關係數為正，表示株高較高時，產量傾向較高；其線性關聯程度高。

檢定 H0:ρ=0H_0:\rho=0，對立假設為 H1:ρ≠0H_1:\rho\ne0。樣本數 n=6n=6，自由度為 n−2=4n-2=4。題示雙尾 pp 值為 0.00580.0058，小於 0.050.05，故在 5% 顯著水準下拒絕 H0H_0；亦小於 0.010.01，在 1% 顯著水準下仍拒絕 H0H_0。資料顯示株高與產量有顯著正相關。

（二）迴歸係數及檢定

斜率估計值為：

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第 三 題15 分

育種學者欲針對即將命名的新品種水稻穗長（cm）進行調查。今欲以族群平均值（μ\mu）95%信賴區間的方式估計平均穗長，並且希望信賴區間的寬度不要超過1 cm。因此，先預測性的隨機調查12個小區，每一小區任選3–5叢之全部穗數，調查由穗頸至穗頂（芒不計算）之平均長度（cm）。其結果如下：

編號123456789101112
平均穗長（cm）191819201921151917181618

試問欲達到上述估計的精確度，所需調查的小區數為何？（右尾分布值：Z0.025=1.96Z_{0.025}=1.96）（15分）

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核心觀念

本題考查利用預試資料估計母體標準差，再決定估計族群平均數所需的樣本數。95% 信賴區間的總寬度為

W=2Z0.025sn,W=2Z_{0.025}\frac{s}{\sqrt{n}},

其中 ss 是預試樣本標準差，nn 是調查的小區數。總寬度不得超過 11 cm，故半寬（誤差界限）為 E=0.5E=0.5 cm。

解題方法

先計算 12 個預試小區平均穗長的樣本平均數與樣本標準差：

xˉ=21912=18.25 cm,\bar{x}=\frac{219}{12}=18.25\text{ cm},
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第 四 題10 分

代耕業者欲進行三個品種的水稻產量試驗，試驗以各品種六重複的方式進行，採完全隨機設計（completely randomized design, CRD），其平均千粒重（xˉi\bar{x}_i）及均方（si2s_i^2）分別如下：

品種ABC
平均千粒重（xˉi\bar{x}_i）19.122.326.2
均方（si2s_i^2）11.312.111.7

試完成變方分析表（ANOVA Table），並進行分析結果之闡述。（10分）

FF分布值：α=P(F>Fα=0.05,df1,df2)=0.05\alpha=P(F>F_{\alpha=0.05,df_1,df_2})=0.05

df2\df1df_2\backslash df_123
123.88533.4903
133.80563.4105
143.73893.3439
153.68233.2874
163.63373.2389
173.59153.1968
183.55463.1599
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核心觀念

本題考完全隨機設計（CRD）單因子變方分析。三個品種各有 n=6n=6 次重複，檢定三品種的平均千粒重是否相同：

H0:μA=μB=μC,H1:至少一個品種的平均數不同H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C,\qquad H_1:\text{至少一個品種的平均數不同}

總變異分解為品種間變異與誤差變異：

SS總=SS品種+SS誤差SS_{\text{總}}=SS_{\text{品種}}+SS_{\text{誤差}}

其中，已知各品種的均方 si2s_i^2 為組內樣本變異數，因此誤差平方和為 ∑(n−1)si2\sum (n-1)s_i^2。

解題方法

先求總平均：

xˉ..=19.1+22.3+26.23=22.5333\bar{x}_{..}=\frac{19.1+22.3+26.2}{3}=22.5333

品種間平方和：

SS品種=n∑i=13(xˉi−xˉ..)2SS_{\text{品種}} =n\sum_{i=1}^{3}(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2 =6[(19.1−22.5333)2+(22.3−22.5333)2+(26.2−22.5333)2]=151.72=6\left[(19.1-22.5333)^2+(22.3-22.5333)^2+(26.2-22.5333)^2\right] =151.72

誤差平方和：

SS誤差=∑i=13(n−1)si2=5(11.3+12.1+11.7)=175.50SS_{\text{誤差}} =\sum_{i=1}^{3}(n-1)s_i^2 =5(11.3+12.1+11.7) =175.50

因此：

SS總=151.72+175.50=327.22SS_{\text{總}}=151.72+175.50=327.22

自由度分別為：品種 3−1=23-1=2、誤差 3(6−1)=153(6-1)=15、總計 18−1=1718-1=17。均方與檢定統計量為：

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