110 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題比較兩種拉丁方格設計的用途，重點在於辨認它們能控制多少個方向的田間變異，以及增加處理配置後如何改善試驗精度。

拉丁方格設計適用於有 $t$ 個處理、且田間存在兩個主要變異方向的情形。將試驗地劃分為 $t$ 列與 $t$ 行，每個處理在每列及每行各出現一次，可同時控制列、行兩項變異來源。

希臘－拉丁方格設計是在同一個 $t \times t$ 拉丁方格上配置兩套拉丁方格處理，使兩套處理彼此正交：每一個拉丁字母與每一個希臘字母的組合恰好出現一次。它因此可在列、行之外，再控制一項分類因子。

重複拉丁方格設計則是在數個相同階數的拉丁方格中重複試驗處理。其主要目的，是增加處理重複與誤差自由度，改善處理比較的精度；若各方格代表不同地點或區組，也能評估處理效果在不同試驗單位間的一致性。

解題方法

希臘－拉丁方格設計：控制第三項變異來源

田間試驗常有兩個主要方向的土壤肥力或地勢梯度，例如東西向與南北向，因此先以列、行配置控制這兩個方向。若另有一項重要的干擾因子需要控制，且能分成與處理數相同的 $t$ 個類別，就可再配置一套與原拉丁方格正交的處理分類。

以 $t=4$ 為例，拉丁字母代表主要試驗處理，希臘字母代表另一項欲控制的分類因子。每一列、每一行中，各字母及希臘字母都各出現一次；每個拉丁字母與每個希臘字母的配對也各出現一次。因此可將總變異分解為列、行、拉丁處理、希臘處理及誤差等來源，藉由控制額外變異來源降低誤差變異，提高主要處理比較的精度。

核心觀念

本題考完全隨機設計（CRD）的單因子變方分析。三個肥料處理各重複 $4$ 次，總觀測數為 $N=12$。變方分析將總平方和分解為處理平方和與誤差平方和：

各平方和可用校正因子計算：

其中 $G$ 為總和，$T_i$ 為第 $i$ 個處理的總和；均方為平方和除以相應自由度，$F=MS_{\text{處理}}/MS_E$。

解題方法

先計算各處理總和與總平均：

校正因子為：

所有觀測值平方和為：

因此總平方和：

核心觀念

本題是 $2\times2$ 因子試驗，採完全隨機設計（CRD），每個處理組合重複 $3$ 次。兩個因子分別為氮肥用量（$N,n$）與節水措施（$W,w$）。變方分析將處理平方和拆成氮肥主效應、節水主效應及交互作用，再以組內誤差作為檢定基礎。

設 $a=b=2$、每格重複數 $r=3$，總觀測數 $N_{\text{總}}=abr=12$。平衡因子試驗中：

• 總平方和：$SS_T=\sum y_{ijk}^2-G^2/N_{\text{總}}$
• 處理組合平方和：$SS_{\text{處理}}=\sum T_{ij}^2/r-G^2/N_{\text{總}}$
• 氮肥平方和：$SS_N=\sum T_{i..}^2/(br)-G^2/N_{\text{總}}$
• 節水平方和：$SS_W=\sum T_{.j.}^2/(ar)-G^2/N_{\text{總}}$
• 交互作用平方和：$SS_{NW}=SS_{\text{處理}}-SS_N-SS_W$
• 誤差平方和：$SS_E=SS_T-SS_{\text{處理}}$

其中 $G$ 為總和，$T_{ij}$ 為各處理組合總和，$T_{i..}$、$T_{.j.}$ 分別為氮肥與節水水準的邊際總和。

解題方法

先計算各處理組合總和與總和：

因此 $G=4000$，且修正項為

各因子邊際總和為：

• 氮肥 $N$：$1300+900=2200$；氮肥 $n$：$1000+800=1800$
• 節水 $W$：$1300+1000=2300$；節水 $w$：$900+800=1700$

平方和計算

各觀測值平方和為

故總平方和：

處理組合平方和：

核心觀念

這題考簡單線性迴歸中斜率的顯著性檢定，以及決定係數的計算。檢定 $H_0:\beta_1=0$，等同檢定迴歸模型是否能解釋顯著的反應變異。

迴歸 ANOVA 的 $F$ 統計量為

決定係數為

解題方法

由表中讀得 $MS_{\text{model}}=640$、$MS_{\text{error}}=40$，因此

迴歸模型自由度為 $1$，誤差自由度為 $9$，故應使用題目提供的 $F_{0.95,1,9}=5.12$ 作為 $\alpha=0.05$ 的臨界值。

因為

核心觀念

本題考查假設檢定中的兩類錯誤，以及顯著水準的意義。檢定結果可能與母體的真實狀況不一致：

• 第一型錯誤：虛無假設 $H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$，也稱「偽陽性」或「棄真錯誤」。其發生機率記為 $\alpha$。
• 第二型錯誤：虛無假設 $H_0$ 為假，卻未拒絕 $H_0$，也稱「偽陰性」或「納偽錯誤」。其發生機率記為 $\beta$。

顯著水準 $\alpha$ 是事先設定的第一型錯誤機率上限。它與第二型錯誤機率 $\beta$ 不同；檢定力（power）則為 $1-\beta$。

解題方法

先依 $H_0$ 的真實狀態與檢定決策，對照兩種錯誤：