109 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

平均的標準誤差（standard error of the mean，簡稱 $SE$ 或 $SEM$）是指「樣本平均數的抽樣分配之標準差」。它描述從同一母群體反覆抽取相同樣本數的樣本時，各次樣本平均數之間的變異程度；因此，平均的標準誤差衡量的是樣本平均數估計母群體平均數的精確度。

解題方法與公式

設母群體標準差為 $\sigma$，每次抽取的樣本數為 $n$，樣本平均數為 $\bar{X}$。若觀測值彼此獨立且來自同一母群體，則：

$$\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}$$

所以樣本平均數的標準差，也就是平均的標準誤差，為：

$$SE(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

實際研究中，母群體標準差通常未知，會以樣本標準差 $s$ 估計：

$$\widehat{SE}(\bar{X})=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

核心觀念

本題考查「母體比例的樣本數估計」。在信賴水準為 $95\%$ 時，雙尾顯著水準為 $\alpha=0.05$，因此使用標準常態分配臨界值 $Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96$。

估計母體比例 $p$ 所需的樣本數公式為：

$$n=\frac{Z_{\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{d^2}$$

其中 $p$ 是預估比例，$d$ 是可容許的最大估計誤差。

解題方法

題目給定預估比例最多為 $22\%$，所以取 $p=0.22$；其補數為 $1-p=0.78$。最大誤差 $2.5\%=0.025$，信賴水準 $95\%$ 對應 $Z_{0.025}=1.96$。代入公式：

核心觀念

本題考點是點估計與區間估計所傳達資訊的差異。兩者都用樣本資料推論母體平均數 $\mu$，但提供的資訊不同：

• 點估計：以一個數值估計母體參數。樣本平均數 $\bar{x}$ 是母體平均數 $\mu$ 的常用點估計量；取得樣本後算出的具體數值，稱為點估計值。
• 區間估計：以一段數值範圍估計母體參數，並附上信賴水準，呈現估計的不確定性。區間通常寫成「信賴區間」，例如 95% 信賴區間。

因此，點估計簡潔地指出估計中心；區間估計則同時表達估計範圍及其信賴程度。

解題方法與例子

假設研究者抽取某品種的 $n=25$ 株水稻，測得每株產量的樣本平均數為 $\bar{x}=6.0$ 公斤、樣本標準差為 $s=1.0$ 公斤，並假設母體近似常態且母體變異數未知。

**點估計：**以樣本平均數估計母體平均產量：

$$\hat{\mu}=\bar{x}=6.0\text{ 公斤}$$

這只提供一個估計值，沒有直接呈現抽樣誤差的大小。

**區間估計：**以 $t$ 分配建立母體平均數的 95% 信賴區間：

$$\bar{x}\pm t_{0.975,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

核心觀念

本題考已知母體標準差時，母體平均數的信賴區間與最大誤差。母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數為 $n=40$，因此使用標準常態分配的臨界值 $Z_{\alpha/2}$。

信賴區間的最大誤差（誤差界限）為：

$$E=Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

解題方法

$99\%$ 信賴水準代表 $\alpha=1-0.99=0.01$。由於是雙尾信賴區間，每一尾的機率為 $\alpha/2=0.005$，故使用題目提供的 $Z_{0.005}=2.58$。

代入 $\sigma=3.2\ \mathrm{mm}$、$n=40$：

$$E=2.58\times\frac{3.2}{\sqrt{40}}$$ $$E\approx 2.58\times 0.50596 \approx 1.305\ \mathrm{mm}$$

核心觀念

相關係數 $r$ 用來描述兩個變數之間「線性關聯」的方向與程度，其值介於 $-1$ 與 $1$ 之間：

• $r>0$：正線性關聯；一個變數增加時，另一個變數傾向增加。
• $r<0$：負線性關聯；一個變數增加時，另一個變數傾向減少。
• $|r|$ 越接近 $1$，線性關聯越強；越接近 $0$，線性關聯越弱。

相關係數大不代表因果關係強。相關描述變數如何共同變動，不能單憑相關係數判定一個變數造成另一個變數變化；共同原因、反向因果或偶然關聯，都可能產生相關。要建立因果關係，須仰賴適當的研究設計與因果推論證據。

解題方法

本題將「關係強度」理解為線性關聯強度，須比較相關係數的絕對值。若題目採用常見的「相關程度平方」作為強度指標，則以決定係數 $r^2$ 比較；在一元線性關係中，$r^2$ 表示線性模型可解釋的變異比例。

題目給定 $r_A=0.41$、$r_B=0.29$，兩者皆為正值，因此比較絕對值與比較原值相同：

$$\frac{|r_A|}{|r_B|} =\frac{0.41}{0.29} \approx 1.414$$

若以決定係數衡量關係強度，則：

$$r_A^2=(0.41)^2=0.1681$$

核心觀念

本題採隨機完全區集設計（RCBD），有 $t=3$ 種處理、$b=5$ 個區集，共 $N=15$ 筆觀測。RCBD 將總變異分解為處理、區集與誤差三部分：

$$SS_{\text{總}}=SS_{\text{處理}}+SS_{\text{區集}}+SS_{\text{誤差}}.$$

各自由度為：處理 $t-1=2$、區集 $b-1=4$、誤差 $(t-1)(b-1)=8$、總計 $tb-1=14$。檢定處理效果與區集效果時，均以誤差均方 $MS_E$ 作為分母計算 $F$ 值。

解題方法與計算

令 $y_{ij}$ 為第 $i$ 區集接受第 $j$ 種處理的觀測值。處理總和為

$$T_1=5.55,\qquad T_2=4.96,\qquad T_3=2.15,$$

區集總和為

$$B_1=1.55,\quad B_2=1.82,\quad B_3=2.01,\quad B_4=3.47,\quad B_5=3.81.$$

總和 $G=12.66$，平方和校正項為

$$C=\frac{G^2}{N}=\frac{12.66^2}{15}=10.68504.$$

由原始資料計算得 $\sum y_{ij}^2=13.44360$，故總平方和為

$$SS_{\text{總}}=\sum y_{ij}^2-C =13.44360-10.68504=2.75856.$$

處理平方和與區集平方和分別為

$$SS_{\text{處理}} =\frac{\sum_{j=1}^{3}T_j^2}{b}-C =\frac{5.55^2+4.96^2+2.15^2}{5}-10.68504 =1.32028,$$ $$SS_{\text{區集}} =\frac{\sum_{i=1}^{5}B_i^2}{t}-C =\frac{1.55^2+1.82^2+2.01^2+3.47^2+3.81^2}{3}-10.68504 =1.41896.$$

因此

$$SS_E=SS_{\text{總}}-SS_{\text{處理}}-SS_{\text{區集}} =2.75856-1.32028-1.41896=0.01932.$$

（一）變方分析表

變異來源	自由度	平方和	均方	$F$ 值
處理	2	1.32028	0.66014	273.35
區集	4	1.41896	0.35474	146.89
誤差	8	0.01932	0.002415	—
總計	14	2.75856	—	—

其中 $F_{\text{處理}}=0.66014/0.002415=273.35$，$F_{\text{區集}}=0.35474/0.002415=146.89$。

（二）處理平均數是否有差異

假說為

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3, \qquad H_A:\text{至少有一個處理平均數不同}.$$

在 $\alpha=0.05$ 下，拒絕域為 $F>F(0.95;2;8)=4.46$。本題 $F_{\text{處理}}=273.35>4.46$，故拒絕 $H_0$。

**結論：**在顯著水準 $0.05$ 下，三種處理的平均重金屬含量有顯著差異。此整體檢定指出至少一個平均數不同，但不單獨指出是哪幾組不同。

（三）Bonferroni 同時信賴區間