114 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查三處理完全隨機設計（CRD）的平均數比較、整體變方分析（ANOVA），以及整體檢定顯著後的多重比較策略。

若以多次兩兩獨立 $t$ 檢定取代整體檢定，會增加至少一次錯誤拒絕虛無假設的機率，也就是第一類錯誤率（familywise error rate）。因此，先以單因子 ANOVA 檢定三個氮肥等級的平均產量是否全相等；若整體檢定顯著，再使用適當的多重比較方法辨認差異所在。

ANOVA 的虛無假設與對立假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_A:\text{至少一個氮肥等級的平均產量不同}$$

（一）兩兩獨立 $t$ 檢定是否恰當？

不恰當。三個氮肥等級共有

$$\binom{3}{2}=3$$

組兩兩比較。若每次檢定都以 $\alpha=0.05$ 判斷，整體錯誤率會高於 $0.05$。在各檢定相互獨立的簡化情況下，三次檢定至少犯一次第一類錯誤的機率為：

$$1-(1-0.05)^3=0.1426$$

實際上各比較共用觀測資料，檢定結果未必獨立，但不校正地重複檢定仍會膨脹整體第一類錯誤率。因此應先進行整體 ANOVA；整體檢定顯著後，再採用 Tukey HSD、Bonferroni 等能控制多重比較錯誤率的方法。

（二）適當的檢定方法、流程與前提假設

檢定方法與流程

本題為一個因子（氮肥等級）、三個處理、每處理五次重複的 CRD，適合使用單因子 ANOVA。

1. 設定假設 $H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$，$H_A$ 為至少一個處理平均數不同。
2. 以 $\alpha=0.05$ 建立 ANOVA 表，計算處理平方和、誤差平方和、均方與 $F$ 統計量。
3. 若整體 $F$ 檢定不顯著，則沒有充分證據指出氮肥等級間平均產量不同。
4. 若整體 $F$ 檢定顯著，進行多重比較，判定哪些氮肥等級彼此不同。可使用 Tukey HSD 控制所有成對比較的整體錯誤率；也可使用 Bonferroni 校正。

前提假設

單因子 ANOVA 的主要假設為：

• 獨立性：各試驗單位的誤差彼此獨立，且處理分派符合 CRD。
• 常態性：各處理組的誤差近似常態分布。
• 變異數同質性：各氮肥等級的誤差變異數相同。
• 模型適切性：觀測值可表示為處理平均數加上隨機誤差。

若變異數同質性不成立，可考慮 Welch ANOVA；若常態性偏離嚴重且樣本條件合適，可考慮 Kruskal–Wallis 檢定。

（三）ANOVA 表與分析

平方和計算

各組樣本數均為 $5$，總樣本數 $N=15$。各處理平均數為 $4.6$、$5.6$、$6.3$ ton/ha，因此總平均數為：

$$\bar y_{\cdot\cdot} =\frac{5(4.6)+5(5.6)+5(6.3)}{15} =5.5$$

處理平方和：

$$SS_{\text{處理}} =\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar y_i-\bar y_{\cdot\cdot})^2$$

核心觀念

試驗設計三原則為重複、隨機化、區集（局部控制）。三者分別處理試驗誤差的不同來源：重複使誤差變方得以估計並降低處理平均數的抽樣變異；隨機化避免系統性偏差，並使誤差項具有適當的機率基礎；區集則將可辨識的環境差異自誤差中分離，降低試驗誤差變方。

分析時須區分：

• 試驗誤差：觀測值與其所代表之真值的差異，來源包括土壤肥力、地勢、微氣候、操作、量測及偶然因素等。
• 處理效果：處理真值相對於總平均的差異，是研究欲比較的效果，不應誤列為試驗誤差。
• 誤差變方：在模型假設成立時，反映同一處理下觀測值未被模型解釋部分的變異程度，通常以均方誤差估計。

解題方法：依三原則處理誤差及估計變方

一、重複：提供誤差估計並提高處理比較精確性

同一處理配置於多個試驗單位，可避免只以單一觀測值代表處理效果；同時使處理內的變異可用來估計誤差變方。若以完全隨機設計為例，模型為

$$Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij},$$

其中 $\mu$ 為總平均、$\tau_i$ 為第 $i$ 個處理效果，$\varepsilon_{ij}$ 為隨機誤差，通常假設彼此獨立、平均數為零且變方為 $\sigma^2$。

令第 $i$ 處理有 $r_i$ 次重複，總觀測數 $N=\sum_i r_i$。處理內平方和及誤差均方為

$$SS_E=\sum_i\sum_j(Y_{ij}-\bar Y_{i\cdot})^2,\qquad MS_E=\frac{SS_E}{N-t},$$

其中 $t$ 為處理數。$MS_E$ 是誤差變方 $\sigma^2$ 的估計量。處理平均數的變異數為 $\sigma^2/r_i$；在各處理重複數相同為 $r$ 時，平均數標準誤為 $\sqrt{MS_E/r}$。因此，適當增加重複可提高處理平均數估計精確性，但不會改變試驗單位本身的誤差變方。

二、隨機化：避免偏差，確立誤差估計的統計基礎

核心觀念

本題考查描述資料分散程度的標準差（standard deviation, SD），以及樣本平均數估計精確度的標準誤（standard error, SE）。兩者用途不同：SD 描述單株觀測值彼此的變異；SE 描述樣本平均數的不確定程度。

設某品系調查 $n=12$ 株，單株穗重為 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，平均數為 $\bar{x}$。樣本標準差為：

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

標準誤為：

$$SE(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

因此本題中，每個品系的 $SE=s/\sqrt{12}$。若將 $12$ 株視為該品系的全部個體而非樣本，描述整體變異時使用母體標準差公式，分母為 $n$；一般試驗調查是由樣本推論品系平均表現，故採用樣本標準差。

解題方法

先判斷統計量要描述的對象：若關心各株穗重相對於品系平均值的散布程度，使用 SD；若關心樣本平均穗重作為品系平均表現估計值有多精確，使用 SE。兩者的關係由 $SE=s/\sqrt{n}$ 得出；樣本數固定時，SD 愈大，SE 也愈大。樣本數增加時，即使個體變異不變，平均數的 SE 仍會下降。

（一）SD 與 SE 的意義及計算

• SD：表示單株穗重通常偏離該品系樣本平均值的幅度，反映單株間的變異。以樣本計算時，先求平均數，再計算各觀測值與平均數之差的平方和，除以 $n-1$ 後開根號。
• SE：表示樣本平均數估計品系母體平均數的抽樣誤差尺度，反映平均數估計的精確度。以樣本標準差除以樣本數平方根計算。

（二）統計分析闡述上的用途

• SD 用於描述材料本身的變異：比較品系內單株穗重的一致性或分散程度。SD 大，表示單株穗重差異較大；SD 小，表示觀測值較集中。
• SE 用於描述平均數估計的精確度：SE 小，表示樣本平均數較精確地估計品系平均表現；SE 大，表示平均數的不確定性較高。SE 常用於呈現平均數的不確定程度，並可作為建構信賴區間的依據，例如在適當分配假設下以 $\bar{x}\pm t_{\alpha/2,n-1}SE$ 表示信賴區間。

SE 不是單株觀測值的散布程度，因此不能用 SE 取代 SD 來說明品系內個體差異。

（三）SD 大但 SE 小的可能原因

核心觀念

本題考查兩個連續變數的皮爾森積差相關係數，以及以 $X$ 預測 $Y$ 的簡單線性迴歸。

相關係數描述兩變數線性關聯的方向與強度：

$$r=\frac{\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)} {\sqrt{\sum (X_i-\bar X)^2\sum (Y_i-\bar Y)^2}}$$

簡單線性迴歸方程式為：

$$\hat Y=a+bX$$

其中斜率與截距分別為：

$$b=\frac{\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)} {\sum (X_i-\bar X)^2}, \qquad a=\bar Y-b\bar X$$

解題方法與計算

共有 $n=6$ 組觀測值。先計算平均數：

$$\bar X=\frac{36+31+27+24+30+26}{6}=29$$ $$\bar Y=\frac{1.4+1.9+2.2+2.7+1.7+2.3}{6}=2.0333$$

整理各觀測值相對平均數的離差：

$X_i$	$Y_i$	$X_i-\bar X$	$Y_i-\bar Y$	$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$	$(X_i-\bar X)^2$	$(Y_i-\bar Y)^2$
36	1.4	7	-0.6333	-4.4333	49	0.4011
31	1.9	2	-0.1333	-0.2667	4	0.0178
27	2.2	-2	0.1667	-0.3333	4	0.0278
24	2.7	-5	0.6667	-3.3333	25	0.4444
30	1.7	1	-0.3333	-0.3333	1	0.1111
26	2.3	-3	0.2667	-0.8000	9	0.0711