113 年專技高考高等考試農藝技師考古題與詳解

Question 1

欲比較某地區 $80$ 年代與 $90$ 年代的降雨量是否有顯著差異，收集降雨量資料如下：

樣品編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$80$ 年代	206	223	235	264	237	217	188	204	182	230
$90$ 年代	228	214	215	260	225	240	239	226	260	248

（一）分別寫出該研究進行試驗的虛無假設與對立假設，並依據上述兩項假設之定義，說明本項檢定之第一型錯誤及第二型錯誤之情境為何？（20 分）

（二）說明以下統計軟體的分析結果，並據以判斷該地區 $80$ 年代與 $90$ 年代的降雨量是否有顯著差異？（10 分）

var.test(x1,x2)

F test to compare two variances

data: x1 and x2
$F=2.1627$ , num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.266

alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1

95 percent confidence interval:

$0.5371854$ $8.7070383$

sample estimates:

ratio of variances

$2.162705$

t.test(x1,x2, var.equal = TRUE)

Two Sample t-test

data: x1 and x2
$t=-1.7929$ , df = 18, p-value = 0.08982

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

$-36.703845$ $2.903845$

sample estimates:

mean of x mean of y

$218.6$ $235.5$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個獨立樣本平均數比較，以及假設檢定中的第一型錯誤與第二型錯誤。依題目提供的 R 輸出，使用的是兩獨立樣本檢定；樣品編號相同不代表同一觀測單位的配對資料。 令 $\mu{80}$、$\mu{90}$ 分別代表該地區 80 年代與 90 年代的平均降雨量。題目問「是否有顯著差異」，故採雙尾檢定： $$ H0:\mu{80}=\mu{90} \qquad	ext{對}\qquad H1:\mu{80}
e\mu{90} $$ 第一型錯誤是 $H0$ 為真卻拒絕 $H0$；在本題中，即兩年代的平均降雨量實際相同，卻判定兩者有顯著差異。第二型錯誤是 $H0$ 為假卻未拒絕 $H0$；即兩年代的平均降雨量實際不同，卻未能判定有顯著差異。 解題方法與結果解讀 先檢定兩母體變異數是否相等，再依檢定結果選擇平均數比較方法。 1. 變異數檢定 變異數檢定的假設為： $$ H0:\sigma{80}^2=\sigma{90}^2 \qquad	ext{對}\qquad H1:\sigma{80}^2
e\sigma{90}^2 $$ 輸出中 $F=2.1627$、$p=0.266$，且 95% 信賴區間為 $(0.5372,\ 8.7070)$，包含變異數比值 $1$。以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷，因 $0.2660.05$，不拒絕變異數相等的虛無假設。因此，接續使用等變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。這表示資料未顯示變異數有顯著差異，並非證明兩母體變異數必定相等。 2. 平均數檢定 題目輸出顯示兩組樣本平均數為： $$ \bar{x}{80}=218.6,\qquad \bar{x}{90}=235.5 $$

Question 2

某研究員預計採用拉丁方格設計比較三種不同甜瓜品種（處理因子）在三種灌溉系統（列區集）與三種播種密度（行區集）下的產量。

（一）說明上述拉丁方格設計應如何進行試驗單位的隨機排列。（10 分）

（二）試驗所得之產量結果如下，請寫出變方分析表中的各變因、自由度、平方和、均方值及 $F$ 值。（30 分）

樣品編號	列區集編號	行區集編號	品種代號	產量
1	1	1	V1	45
2	1	2	V2	37
3	1	3	V3	38
4	2	1	V2	50
5	2	2	V3	53
6	2	3	V1	40
7	3	1	V3	43
8	3	2	V1	41
9	3	3	V2	41

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 $3	imes3$ 拉丁方格設計的隨機化方式與變方分析。三種甜瓜品種為處理，灌溉系統與播種密度分別作為列區集與行區集。拉丁方格要求每一種品種在每一列區集及每一行區集中各出現一次，以同時控制兩個區集變因的影響。 加性模式為： $$ Y{ijk}=\mu+hoi+\gammaj+	auk+\varepsilon{ijk} $$ 其中 $hoi$ 為列區集效應，$\gammaj$ 為行區集效應，$	auk$ 為品種處理效應，$\varepsilon{ijk}$ 為隨機誤差。 解題方法 （一）試驗單位的隨機排列 先建立一個每種品種在每列、每行都恰好出現一次的 $3	imes3$ 拉丁方格。接著，分別隨機排列列區集、行區集及品種代號，使灌溉系統隨機分派至列區集、播種密度隨機分派至行區集，品種代號則隨機分派至方格中的處理位置。如此可確保每個灌溉系統和每個播種密度下，三種品種各出現一次。 本題表中的品種排列為： | 列區集＼行區集 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---| | 1 | V1 | V2 | V3 | | 2 | V2 | V3 | V1 | | 3 | V3 | V1 | V2 | 這個排列符合拉丁方格條件；實際試驗時須依上述方式隨機排列區集與品種，再將處理配置到各試驗單位。 （二）變方分析 令 $G$ 為總和，$N=9$，修正數為： $$ C=\frac{G^2}{N}=\frac{388^2}{9}=16727.111 $$ 各平方和以「各分類總和平方除以每類觀測數，再減修正數」計算。每一列區集、每一行區集及每一品種各有 $3$ 個觀測值。 - 總和：$G=388$；各觀測值平方和為 $16958$。 - 列區集總和：$120,143,125$。 - 行區集總和：$138,131,119$。 - 品種總和：V1=$126$、V2=$128$、V3=$134$。 因此：

Question 3

研究員每天記錄作物生物量（g）持續一週，結果如下： | 天數（$x$） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 生物量（$y$） | 41 | 68 | 99 | 142 | 166 | 211 | 260 | （一）以最小平方方法求天數預測生物量之簡單線性迴歸式。（15 分） （二）求天數預測生物量之迴歸係數 $95\%$ 信賴區間（$t{0.025,5}=2.57$）。（15 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸與斜率的信賴區間。令天數為自變數 $x$，生物量為應變數 $y$，模型為 $$ yi=\beta0+\beta1xi+\varepsiloni $$ 其中 $\beta1$ 表示天數每增加一天，平均生物量的改變量。最小平方法以殘差平方和最小為原則，估計截距 $\hat\beta0$ 與斜率 $\hat\beta1$。 解題方法與計算 共有 $n=7$ 筆資料。先計算平均數與離均差平方和、乘積和： $$ \sum xi=28,\quad \sum yi=987,\quad \bar x=4,\quad \bar y=141 $$ $$ S{xx}=\sum (xi-\bar x)^2=28 $$ $$ S{xy}=\sum (xi-\bar x)(yi-\bar y)=1010 $$ 因此，迴歸斜率與截距為 $$ \hat\beta1=\frac{S{xy}}{S{xx}} =\frac{1010}{28} =36.0714 $$ $$ \hat\beta0=\bar y-\hat\beta1\bar x =141-(36.0714)(4) =-3.2857 $$ 所以最小平方迴歸式為 $$ \hat y=-3.2857+36.0714x $$ 接著求斜率的 $95\%$ 信賴區間。先計算總平方和： $$ S{yy}=\sum (yi-\bar y)^2=36780 $$ 迴歸平方和為 $$ SSR=\frac{S{xy}^2}{S{xx}} =\frac{1010^2}{28} =36432.1429 $$ 故殘差平方和與均方誤差為

113 專技高考高等考試農藝技師試驗設計考古題詳解

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核心觀念

解題方法與結果解讀

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