111 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量常態母體平均數區間估計與**樣本數決定（Sample Size Determination）**之應用。主要涵蓋以下統計學與試驗設計原理：

1. 抽樣分配性質： 母體服從常態分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且母體標準差 $\sigma$ 已知。自母體中隨機抽取容量為 $n$ 之樣本，樣本平均數 $\bar{X}$ 服從常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

2. 母體平均數之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間： $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 最大容許誤差（Margin of Error, $E$）： 信賴區間半寬度即為估計誤差界限： $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 欲使誤差控制在指定界限 $E$ 之內，所需樣本數 $n$ 滿足： $n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$

4. 樣本數取整原則： 樣本數必須為正整數。為確保實際誤差不超過容許界限（即達到至少 95% 之精準度），計算結果只要含有小數點，一律採取無條件進位（Ceiling function, $\lceil \cdot \rceil$），不可四捨五入。

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解題方法

1. 整理題目已知條件

• 母體標準差：$\sigma = 1000$（公斤／公頃）
• 信賴水準：$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$
• 臨界值（臨限值）：依題意註記，$z_{0.025} = 1.96$
• 容許誤差界限：信賴區間落在 $\pm 500$ 範圍之內，即 $E = 500$（公斤／公頃）

2. 建立樣本數推導式

由容許誤差公式出發： $E \ge z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

兩邊同乘以 $\sqrt{n}$ 並除以 $E$： $\sqrt{n} \ge \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$

兩邊平方得樣本數不等式： $n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$

3. 數值代入與計算

$n \ge \left( \frac{1.96 \times 1000}{500} \right)^2$

核心觀念

本題評量複因子田間試驗設計的基礎架構與實務應用，核心考核重點包含：

1. 處理結構（Treatment Structure）：

• 因子 A（栽培模式）：慣行栽培、低碳栽培，共 $a = 2$ 個水準。
• 因子 B（商業品種）：品種 1、品種 2、品種 3，共 $b = 3$ 個水準。
• 處理組合數（Treatment combinations）：$a \times b = 2 \times 3 = 6$ 種。
• 重複數（Replications）：$r = 2$ 重複。

2. 試驗單位（Experimental Unit, EU）之定義：接受單一處理或處理組合獨立分派的最小實體（田間通常為單一獨立小區，Plot）。在多層次設計（如裂區設計）中，試驗單位具有不同層級。
3. 田間隨機分派（Randomization）原則：如何依據局部控制（Local control）的設定，將處理隨機分派至試驗單位。
4. 設計之適用情境：依據環境均一度、農事機具操作限制、因子主次重要性等條件選擇適宜設計。

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解題方法

針對題目所問的三種設計，分別由「試驗單位定義」、「試驗單位數量」、「隨機排列步驟」及「適用情境」四個維度逐一詳解：

一、完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）

1. 試驗單位為何： 單一獨立田間小區（Plot）。每個小區獨立接受一種「栽培模式 $\times$ 品種」的處理組合。
2. 應使用多少試驗單位： $\text{總試驗單位數} = a \times b \times r = 2 \times 3 \times 2 = 12 \text{ 個小區}$
3. 隨機排列步驟：

• 將整個試驗田區劃分為大小均一、環境條件一致的 12 個小區，編號 1 至 12 號。
• 6 種處理組合各重複 2 次，形成 12 個處理籤。
• 採「完全限制不加」的隨機抽籤法或隨機號碼表，將 12 個處理籤完全隨機分派到 1 至 12 號小區中，小區位置不受任何區集或排列限制。

4. 適用情境：

• 試驗環境高度均一（Homogeneous），小區間環境差異極小，如人工氣候室、溫室盆栽、生育箱，或土壤質地、肥力高度均勻的平整田區。
• 試驗材料均質，或試驗過程中允許單一小區因不可抗力遺失而不破壞正交結構的情境。

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二、隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）

1. 試驗單位為何： 區集（Block）內接受單一處理組合的獨立田間小區（Plot）。
2. 應使用多少試驗單位： 設置 2 個區集（$r = 2$），每個區集內劃分 6 個小區，完整容納 6 種處理組合： $\text{總試驗單位數} = r \times (a \times b) = 2 \times 6 = 12 \text{ 個小區}$ （另含 2 個區集作為局部控制單位）。
3. 隨機排列步驟：

• 依田區單一已知環境變異梯度（如肥力梯度、排水方向、坡度或日照方向），垂直於變異方向劃分出 2 個相對均質的區集（Block 1 與 Block 2）。
• 在各區集內部，分別劃分出 6 個均等小區。
• 分開獨立隨機：在 Block 1 內部，將 6 個處理組合隨機分派至 6 個小區；在 Block 2 內部，重新獨立進行一次隨機分派，各區集間之排列互不干涉。

4. 適用情境：

• 田間存在單一方向的明顯環境變異梯度（如由東向西土壤肥力遞減、或單向排水坡度）。
• 區集內環境高度均一，而區集間存在異質性，透過劃分區集能有效將田間單向空間變異自機差中剔除，提高試驗精密度。

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三、裂區設計（Split-Plot Design, SPD）

1. 試驗單位為何： 裂區設計具備兩層不同大小的試驗單位：

• 主區試驗單位（Main-plot unit）：接受「栽培模式」處理的大區，用以容納需大面積操作之農事管理因子。
• 副區試驗單位（Sub-plot unit / Split-plot unit）：在主區內進一步細分、接受「商業品種」處理的小區，為最終測定產量之最小實體單位。

2. 應使用多少試驗單位：

• 主區試驗單位數：2 個區集 $\times$ 2 種栽培模式 $= 4$ 個主區。
• 副區試驗單位數：4 個主區 $\times$ 3 個品種 $= 12$ 個副區（最終觀測小區總數）。

3. 隨機排列步驟：

• 第一階段（區集與主區分派）：將試驗地劃分為 2 個區集。各區集內劃分成 2 個主區。在每一區集內，將「慣行栽培」與「低碳栽培」2 種模式隨機分派至 2 個主區。
• 第二階段（副區分派）：在每一個主區內部，再細劃分為 3 個副區。

核心觀念

本題考查單因子完全逢機設計（Completely Randomized Design, CRD）之變方分析（ANOVA），重點在於從各處理的樣本平均數與樣本標準差回推變方分析表各項平方和，並利用 $P$ 值進行統計假設檢定。

1. 試驗結構與參數：

• 處理數（光照強度水準數）：$k = 3$（未遮蔭、半遮蔭、全遮蔭）。
• 各處理重複數：$r = 3$（等重複設計）。
• 總觀測值個數：$N = k \times r = 3 \times 3 = 9$。

2. 自由度（Degrees of Freedom, $df$）公式：

• 處理自由度：$df_{Trt} = k - 1$
• 誤差自由度：$df_E = k(r - 1) = N - k$
• 總自由度：$df_T = N - 1$

3. 平方和（Sum of Squares, $SS$）回推公式：

• 處理平方和（$SS_{Trt}$）： $SS_{Trt} = r \sum_{i=1}^{k} (\bar{y}_i - \bar{y}_{\cdot\cdot})^2 = r \left[ \sum_{i=1}^{k} \bar{y}_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^k \bar{y}_i)^2}{k} \right]$
• 誤差平方和（$SS_E$）： 由各處理樣本變異數 $s_i^2 = \frac{\sum_{j=1}^r (y_{ij} - \bar{y}_i)^2}{r - 1}$ 可知，各組內平方和為 $(r - 1)s_i^2$。加總即為誤差平方和（Pooled SS）： $SS_E = \sum_{i=1}^k (r - 1) s_i^2 = (r - 1) \sum_{i=1}^k s_i^2$
• 總平方和（$SS_T$）： $SS_T = SS_{Trt} + SS_E$

4. 均方（Mean Square, $MS$）與檢定統計量（$F$）：

• 處理均方：$MS_{Trt} = \frac{SS_{Trt}}{df_{Trt}}$
• 誤差均方：$MS_E = \frac{SS_E}{df_E}$
• $F$ 統計量：$F = \frac{MS_{Trt}}{MS_E}$

5. 假設檢定決策準則：

• 虛無假說 $H_0$：三種光照處理之母體平均數相等（$\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$）。
• 對立假說 $H_a$：至少有兩種光照處理之母體平均數不相等。
• 決策法則：給定顯著水準 $\alpha = 0.05$。若 $P\text{-value} \le \alpha$，拒絕 $H_0$；若 $P\text{-value} > \alpha$，不拒絕 $H_0$。

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解題方法

步驟一：計算自由度（$df$）

• （1）光照強度自由度：$df_{Trt} = k - 1 = 3 - 1 = 2$
• （2）誤差自由度：$df_E = k(r - 1) = 3 \times (3 - 1) = 6$
• （3）總和自由度：$df_T = N - 1 = 9 - 1 = 8$

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步驟二：計算各項平方和（$SS$）

1. 計算光照強度平方和（$SS_{Trt}$）： 三組樣本平均值分別為 $\bar{y}_1 = 78.2$、$\bar{y}_2 = 109.8$、$\bar{y}_3 = 124.7$。

• 總平均值： $\bar{y}_{\cdot\cdot} = \frac{78.2 + 109.8 + 124.7}{3} = \frac{312.7}{3} \approx 104.2333\text{ g}$
• 利用展開式計算： $\sum_{i=1}^3 \bar{y}_i^2 = (78.2)^2 + (109.8)^2 + (124.7)^2 = 6115.24 + 12056.04 + 15550.09 = 33721.37$ $\frac{(\sum \bar{y}_i)^2}{3} = \frac{(312.7)^2}{3} = \frac{97781.29}{3} \approx 32593.7633$
• 帶入公式求 $SS_{Trt}$： $SS_{Trt} = 3 \times \left( 33721.37 - 32593.7633 \right) = 3 \times 1127.6067 = 3382.82$
• 故 （4）$= 3382.82$。

2. 計算誤差平方和（$SS_E$）： 三組樣本標準差分別為 $s_1 = 24.2$、$s_2 = 20.8$、$s_3 = 23.2$。

• 計算各組樣本變異數： $s_1^2 = (24.2)^2 = 585.64$

核心觀念

本題旨在評量農藝與農業試驗中**簡單直線迴歸（Simple Linear Regression）**之模式建立與參數估計能力。核心概念與公式如下：

1. 理論統計模式（Theoretical Statistical Model）： $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$ 其中：

• $x_i$：自變數（獨立變數／預測變數），此處為累積有效溫度。
• $y_i$：依變數（應變數／反應變數），此處為生長葉片數。
• $\beta_0$：模式截距（Intercept），為未知的母體參數。
• $\beta_1$：模式斜率（Slope，迴歸係數），為未知的母體參數。
• $\varepsilon_i$：逢機誤差項（Random error），基本假設為獨立且常態分佈，即 $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$。

2. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）參數估計式： 透過使殘差平方和最小化，求得母體參數之不偏估計量：

• 斜率估計值： $\hat{\beta}_1 = b_1 = \frac{SP_{xy}}{SS_x} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$
• 截距估計值： $\hat{\beta}_0 = b_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
• 樣本統計量與離差平方和之關係： $SS_x = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = (n - 1) s_x^2$

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解題方法

步驟一：整理已知數據與樣本摘要統計量

• 樣本數 $n = 7$。
• 自變數平均值 $\bar{x} = 515.57$，變方 $s_x^2 = 9745.62$。
• 依變數平均值 $\bar{y} = 6.44$，變方 $s_y^2 = 2.74$。

步驟二：計算自變數平方和（$SS_x$）

利用題目已給定之樣品變方 $s_x^2$： $SS_x = (n - 1) s_x^2 = (7 - 1) \times 9745.62 = 6 \times 9745.62 = 58473.72$

步驟三：計算交叉乘積和與離差積和（$SP_{xy}$）

根據原始試驗數據，逐項計算各對數據之乘積：

• 紀錄 1：$337 \times 3.0 = 1011.0$
• 紀錄 2：$446 \times 6.0 = 2676.0$
• 紀錄 3：$522 \times 6.5 = 3393.0$
• 紀錄 4：$526 \times 6.8 = 3576.8$
• 紀錄 5：$553 \times 7.3 = 4036.9$
• 紀錄 6：$586 \times 7.5 = 4395.0$
• 紀錄 7：$639 \times 8.0 = 5112.0$

求和得： $\sum_{i=1}^7 x_i = 3609, \quad \sum_{i=1}^7 y_i = 45.1, \quad \sum_{i=1}^7 x_i y_i = 24200.7$

計算離差積和 $SP_{xy}$：