112 專技高考高等考試 農藝技師 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題考完全隨機設計（CRD）單因子固定效果模式下，總平均、處理效應與誤差均方的估計。

在含截距的單因子模式中，最小平方法估計的總平均 $\hat{\mu}$ 是全體觀測值的總平均；處理效應估計 $\hat{\tau}_i$ 是第 $i$ 品種平均數與總平均的差。採用此參數化時，需滿足識別限制 $\sum_{i=1}^{3}\hat{\tau}_i=0$。

誤差均方為組內平方和除以誤差自由度：

其中 $a=3$ 個品種、每品種重複 $n_i=4$ 次，總觀測數 $N=12$。

解題方法

各品種重複次數相同，因此總平均是三個品種平均數的平均：

各處理效應估計為品種平均數減去總平均：

檢查識別限制：

核心觀念

本題考查拉丁方格設計（Latin square design, LSD）的隨機化方式，以及處理平方和與試驗誤差的自由度配置。

拉丁方格設計適用於有兩個區組方向的情形：列與行各代表一個干擾來源，處理則以拉丁方格方式安排，使每個處理在每一列、每一行都恰好出現一次。若有 $t$ 個處理，設計需有 $t$ 列、$t$ 行，共 $t^2$ 個試驗單位；本題有 $2\times2=4$ 個處理組合，因此 $t=4$。

品種與密度是兩個二水準因子，四個處理組合可表示為：

隨機排列方法

先將田區劃分為 $4$ 列與 $4$ 行，形成 $16$ 個試驗小區。列與行分別用來控制兩個方向的田間變異。

接著依下列步驟隨機化：

1. **選定一個標準拉丁方格。**例如：

此配置中，每個處理在每列及每行均恰好出現一次。

2. **隨機排列處理代號。**將 $A、B、C、D$ 隨機對應至四個標準符號。完成後，四個處理組合各出現四次，且仍符合每列、每行各出現一次的限制。

3. **隨機排列列與行。**分別隨機排列四列的順序與四行的順序，再依排列後的格局配置田間小區。列、行的排列應彼此獨立。

因此，隨機化包含處理代號、列次序及行次序三部分；排列後仍須維持每種處理在每列、每行各出現一次。

變方分析與自由度

設觀測值模型為

核心觀念

本題考察**巢式分類（nested classification）**的統計模式與變方分析自由度。每個大豆品種中各取 4 個部位，而不同品種的部位是各自取樣、彼此不對應，因此「部位」巢套於「品種」之內，記為部位（品種）。

每一個「品種 × 部位」組合再取 3 個樣品進行化學分析；這 3 個樣品是該組合內的重複觀測。

解題方法

令 $i=1,2,3$ 表示大豆品種，$j=1,2,3,4$ 表示品種 $i$ 內的部位，$k=1,2,3$ 表示該品種部位組合內的樣品。採用巢式隨機效應模式：

其中 $Y_{ijk}$ 為化學成分含量，$\mu$ 為全體平均數；$V_i$ 為品種效應；$P_{j(i)}$ 為品種 $i$ 內第 $j$ 個部位的效應；$\varepsilon_{k(ij)}$ 為樣品層級的隨機誤差。

依題意，可將品種、品種內部位及樣品誤差視為隨機效應，且假設各效應彼此獨立、平均數為 0，變異數分別為 $\sigma_V^2$、$\sigma_P^2$ 與 $\sigma^2$。若題目欲將品種視為固定處理，模式中的 $V_i$ 可改作固定效應；變方分析的自由度不變。

各變因自由度推導

總觀測數為：

因此總自由度為 $N-1=35$。

核心觀念

本題考查試驗設計的三個基本原則：重複（replication）、隨機化（randomization）與局部控制（local control），以及如何透過三者控制田間異質性與試驗誤差，取得準確、精確的結果。

• 準確性：試驗估計值接近真實處理效果的程度，重點在減少系統性偏差。
• 精確性：估計值的變異大小，重點在降低隨機誤差、提高估計的穩定性。

三原則分別發揮不同作用：隨機化避免處理配置與環境差異混淆；重複提供誤差估計並提升處理平均數的精確度；局部控制利用區組等方式，將田間較均勻的單位編組，以降低誤差變異。

解題方法：依三原則說明田間應用與效果

1. 重複：讓每種處理在多個試驗單位上接受試驗

將每一處理配置到數個獨立小區，而非只配置一次。重複可用以估計試驗誤差，並據以進行變異數分析、標準誤估計及處理差異檢定。若各小區誤差大致獨立、變異相同，處理平均數的變異約隨重複數 $r$ 增加而下降：

$\operatorname{Var}(\bar{Y})=\frac{\sigma^2}{r}$

因此適當增加重複，能提高處理平均數及處理差異估計的精確度，也增加檢出真實處理差異的能力。田間試驗的重複必須是獨立試驗單位；同一小區內多株植株的測量，通常屬於小區內取樣，不能直接當成多個獨立重複。

2. 隨機化：以隨機方式分派處理至試驗單位

在符合試驗設計限制的前提下，以隨機方式決定各處理配置在哪些小區。例如完全隨機設計中，將處理隨機分派至各小區；隨機完全區集設計中，則在每一區集內隨機排列處理。

田間常有地力、坡度、排水、日照或土壤水分差異。若依固定順序配置處理，處理效果可能與這些環境梯度混淆，造成偏差。隨機化使處理配置不受主觀選擇或固定方向支配，讓未控制的差異有機會平均分散於各處理間，並使統計推論建立在合理的隨機誤差基礎上。隨機化不能消除田間差異，但能降低系統性配置偏差，支持有效的誤差估計與檢定。

3. 局部控制：將環境較相近的小區組成區集