110 專技高考高等考試 環境工程技師 流體力學與水文學 考古題詳解

核心觀念

本題以合理化公式估算設計流量：

$$Q=CiA$$

其中 $Q$ 為尖峰流量，$C$ 為逕流係數，$i$ 為設計降雨強度，$A$ 為集水區面積。計算前須先依題目公式求集流時間 $t_c$，再代入降雨強度公式。單位換算是本題關鍵：題示公式要求 $L$ 用公尺、$t_c$ 用小時；合理化公式則須將面積換成平方公尺，並將降雨強度換成公尺／秒。

解題方法

1. 求集流時間

河長為 $L=3.6\ \mathrm{km}=3600\ \mathrm{m}$，坡度 $S=0.03$：

$$t_c=0.9\left(\frac{L}{\sqrt S}\right)^{0.46} =0.9\left(\frac{3600}{\sqrt{0.03}}\right)^{0.46} \approx 80.85\ \mathrm{min}$$

換算為小時：

$$t_c=\frac{80.85}{60}\approx 1.348\ \mathrm{hr}$$

2. 求 10 年與 50 年重現期的降雨強度

依題給公式

$$i=\frac{T^{0.45}}{t_c^{0.35}}$$

其中 $t_c$ 以小時代入。

$T=10\ \mathrm{yr}$ 時：

$$i_{10}=\frac{10^{0.45}}{1.348^{0.35}} \approx 2.383\ \mathrm{mm/hr}$$

$T=50\ \mathrm{yr}$ 時：

$$i_{50}=\frac{50^{0.45}}{1.348^{0.35}} \approx 4.612\ \mathrm{mm/hr}$$

3. 代入合理化公式求流量

集水區面積：

核心觀念

本題考甘保氏第一類極端值分布（Gumbel）與威伯法的應用。

威伯法以洪水紀錄的排序位置估計重現期距。若有 $n$ 年資料，將洪水量由大至小排序，序位為 $m$ 的洪水量，其重現期距為

$$T=\frac{n+1}{m}$$

最大洪水的序位為 $m=1$，故其重現期距為 $T=51$ 年。洪水量的年超越機率為 $p=1/T$；設施使用 $L$ 年期間的風險度為

$$R=1-(1-p)^L =1-\left(1-\frac{1}{T}\right)^L$$

解題方法

先由風險度求設計洪水的重現期距。代入 $R=0.10$、使用年限 $L=5$：

$$0.10=1-\left(1-\frac{1}{T}\right)^5$$ $$T=\frac{1}{1-(1-0.10)^{1/5}} \approx 47.97\text{ 年}$$

再以威伯法將 50 年紀錄中的洪水量轉換為重現期距。最大洪水 $8000\ \mathrm{cms}$ 的重現期距為

$$T_{\max}=\frac{50+1}{1}=51\text{ 年}$$

最小洪水 $3000\ \mathrm{cms}$ 的序位為 $m=50$，其重現期距為

$$T_{\min}=\frac{50+1}{50}=1.02\text{ 年}$$

對 Gumbel 分布，洪水量與重現期距的關係可寫為

$$Q=a+yS$$

其中 $a$、$S$ 為分布參數，$y$ 為頻率因子。重現期距 $T$ 對應的頻率因子為

$$y=-\ln\left[-\ln\left(1-\frac{1}{T}\right)\right]$$

因此，先以最大、最小洪水紀錄求出分布參數，再計算設計洪水量。

最大洪水對應的頻率因子：

核心觀念

本題考查速度場的勢流條件、無重力下的歐拉運動方程式，以及速度向量在指定直線方向上的投影分量。

若流場為勢流，速度可由速度勢函數 $\phi$ 表示，且須滿足無旋條件：

$$\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$$

無重力、定密度的勢流，其非定常伯努力方程式為：

$$\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}=C(t)$$

本題速度場沒有時間變數，視為定常流，因此取梯度可得：

$$\nabla p=-\rho\nabla\left(\frac{V^2}{2}\right)$$

其中 $V^2=u^2+v^2$。

解題方法

（一）位置 $(2,3)$ 的壓力梯度

先確認速度場是否符合勢流條件：

$$\frac{\partial v}{\partial x}=-2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y$$

兩者相等，因此流場無旋，符合勢流條件。

由定常伯努力方程式，

$$\nabla p=-\rho\nabla\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right)$$

分別對 $x,y$ 微分：

$$\frac{\partial p}{\partial x} =-\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$ $$\frac{\partial p}{\partial y} =-\rho\left(u\frac{\partial u}{\partial y} +v\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$

速度場及所需偏導數為：

$$u=x^2-y^2+x,\qquad v=-2xy-y$$ $$u_x=2x+1,\quad u_y=-2y,\quad v_x=-2y,\quad v_y=-2x-1$$

在 $(x,y)=(2,3)$：

$$u=2^2-3^2+2=-3,\qquad v=-(2\cdot2\cdot3+3)=-15$$ $$u_x=5,\quad u_y=-6,\quad v_x=-6,\quad v_y=-5$$

故

$$\frac{\partial p}{\partial x} =-\rho\left[(-3)(5)+(-15)(-6)\right] =-75\rho$$

核心觀念

本題考查傾斜平面上穩定層流的速度分布。沿坡面方向的重力分量 $\rho g\sin\theta$ 由黏滯剪力平衡，因此速度對垂直坡面的距離 $y$ 呈二次分布。

題目給出

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2}=-\rho g\sin\theta$$

並指出穩定水深為 $h$。由於未明示邊界條件，採用自由薄層流的標準假設：$y=0$ 為固定、無滑移的坡面，$y=h$ 為與空氣接觸的自由液面，空氣剪力可忽略。

解題方法

將控制方程式除以黏滯度 $\mu$：

$$\frac{d^2u}{dy^2}=-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}$$

對 $y$ 積分一次：

$$\frac{du}{dy}=-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}y+C_1$$

自由液面剪應力為零；牛頓流體的剪應力 $\tau=\mu\,du/dy$，故

$$\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h}=0$$

代入得

$$0=-\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}h+C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}h$$

因此

$$\frac{du}{dy}=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}(h-y)$$

再積分一次：

核心觀念

位移厚度 $\delta^*$ 表示：若把邊界層內因流速低於外部均勻流速而減少的流量，換算成外部流速 $U$ 下的等效厚度，該厚度即為位移厚度。其定義為

$$\delta^*=\int_0^\infty\left(1-\frac{u}{U}\right)\,dy.$$

本題的速度分布只適用於邊界層內 $0\le y\le\delta$；在邊界層外 $y\ge\delta$，流速為 $U$，因此積分至無限遠可化為只積分到 $\delta$。

解題方法

令無因次座標 $\eta=y/\delta$，則 $dy=\delta\,d\eta$，且 $\eta$ 的積分範圍為 $0$ 至 $1$：

$$\frac{\delta^*}{\delta} =\int_0^1\left(1-\frac{u}{U}\right)d\eta.$$

代入題示速度分布：