113 專技高考高等考試 環境工程技師 流體力學與水文學 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・環境工程技師
試題代碼 流體力學與水文學

第 一 題20 分

考慮如圖所示內盛不可壓縮液體之二維容器，其截面積為 A1A_1，並與截面積為 A2A_2、管長為 LL 之圓管連接，且初始容器內液體高度為 hh。圓管一開始被閥件關閉，若開啟此閥件致流動產生，請使用因次分析，找出圓管出口截面之平均流速 VV，其與 hh、LL、A1A_1、A2A_2、重力加速度 gg 及時間 tt 有關。

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核心觀念

本題考 Buckingham Π\Pi 因次分析定理：若物理量間有關係，且涉及 nn 個變數、基本因次矩陣的秩為 rr，則可整理成 n−rn-r 個無因次群之間的關係。

本題變數為 V,h,L,A1,A2,g,tV,h,L,A_1,A_2,g,t，共 77 個。它們只涉及長度 LL 與時間 TT，因此基本因次矩陣的秩為 22，可組成 7−2=57-2=5 個無因次群。

解題方法

各物理量的因次為

[V]=LT−1,[h]=[L]=L,[A1]=[A2]=L2,[g]=LT−2,[t]=T.[V]=LT^{-1},\quad [h]=[L]=L,\quad [A_1]=[A_2]=L^2,\quad [g]=LT^{-2},\quad [t]=T.

選取 hh 與 gg 作為重複變數，兩者分別包含長度與時間因次。對其餘變數逐一組成無因次群：

Π1=Vhagb.\Pi_1=Vh^a g^b.

令因次指數為零，可得 a=−12, b=−12a=-\frac12,\ b=-\frac12，所以

Π1=Vgh.\Pi_1=\frac{V}{\sqrt{gh}}.

同理，其餘無因次群為

Π2=Lh,Π3=A1h2,Π4=A2h2,Π5=tgh.\Pi_2=\frac{L}{h},\qquad \Pi_3=\frac{A_1}{h^2},\qquad \Pi_4=\frac{A_2}{h^2},\qquad \Pi_5=t\sqrt{\frac{g}{h}}.

因此，無因次關係可寫成

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第 二 題20 分

考慮圖示之水體於漸縮管流動；1 點與 2 點間水靜壓力差可經倒置壓力計量測。其內液體比重 γo\gamma_o 為水之比重的 0.60.6 倍，水的密度為 1000 kg/m31000\ \mathrm{kg/m^3}。

若水於 2 點速度為 0.7 m/s0.7\ \mathrm{m/s}，1 點與 2 點管直徑分別為 d1=40d_1=40 公分與 d2=10d_2=10 公分，請找出壓力計讀數 hh。

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核心觀念

本題結合連續方程式、伯努力方程式與倒置差壓計的液柱平衡。假設水為穩定、不可壓縮流動，且兩點間忽略能量損失。倒置壓力計中的液體比水輕，其比重為 SGo=0.6SG_o=0.6。

解題方法

先由連續方程式求 1 點流速：

A1V1=A2V2⇒V1=V2(d2d1)2=0.7(0.100.40)2=0.04375 m/sA_1V_1=A_2V_2 \quad\Rightarrow\quad V_1=V_2\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 =0.7\left(\frac{0.10}{0.40}\right)^2 =0.04375\ \mathrm{m/s}

由兩點間的伯努力方程式：

p1−p2=ρ2(V22−V12)+ρg(z2−z1)p_1-p_2 =\frac{\rho}{2}(V_2^2-V_1^2)+\rho g(z_2-z_1)

倒置差壓計的液柱平衡式為：

p1−p2=ρg(z2−z1)+(ρ−ρo)ghp_1-p_2 =\rho g(z_2-z_1)+(\rho-\rho_o)gh
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第 三 題20 分

考慮如圖所示之垂直紙面寬度為 10 m10\ \mathrm{m} 之矩形閘門，其經繩索與滑輪與具質量 M=1000 kgM=1000\ \mathrm{kg} 之質量塊相連，閘門同時與密度為 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3} 之水體接觸。

若閘門長度 L=10 mL=10\ \mathrm{m}、水體高度 d=1 md=1\ \mathrm{m}，請找出維持閘門於圖示之靜平衡狀態所需平衡角 θ\theta。

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核心觀念

本題考查傾斜平面閘門的靜水壓合力、合力作用位置，以及以鉸鏈為力矩中心的靜力平衡。

圖中繩索方向未標示角度或直角記號。以下依圖示將閘門頂端的繩段視為與閘門垂直；若不是垂直，還需提供繩段與閘門的夾角，才能唯一決定平衡角。

解題方法

設閘門寬度為 b=10 mb=10\ \mathrm{m}，閘門與水平面的夾角為 θ\theta。水深為 d=1 md=1\ \mathrm{m}，所以水接觸閘門的斜長為

a=dsin⁡θ.a=\frac{d}{\sin\theta}.

以鉸鏈為力矩中心。沿閘門自鉸鏈向上取距離 ss，該處水深為 d−ssin⁡θd-s\sin\theta，微小水壓力為

dF=ρg(d−ssin⁡θ)b ds.\mathrm{d}F=\rho g(d-s\sin\theta)b\,\mathrm{d}s.

微小壓力作用方向垂直閘門，對鉸鏈的力矩大小為 s dFs\,\mathrm{d}F。因此水壓力矩為

M水=ρgb∫0d/sin⁡θ(d−ssin⁡θ)s ds=ρgbd36sin⁡2θ.M_{\mathrm{水}} =\rho gb\int_0^{d/\sin\theta}(d-s\sin\theta)s\,\mathrm{d}s =\frac{\rho gb d^3}{6\sin^2\theta}.

水壓使閘門順時針轉動。質量塊靜止時繩索張力為 T=MgT=Mg；依上述垂直繩段假設，張力對鉸鏈的力矩大小為

M繩=MgL,M_{\mathrm{繩}}=MgL,
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第 四 題20 分

請詳述何謂絕對濕度（Absolute humidity）、相對濕度（Relative humidity）、比濕度（Specific humidity）及露點溫度（Dew point）。

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核心觀念

本題考查大氣中水氣含量的幾種表示方式，以及空氣冷卻至飽和時的露點溫度。必須區分「單位體積所含水氣質量」、「實際水氣壓與飽和水氣壓之比」及「水氣質量與濕空氣總質量之比」。

解題方法與定義

  1. 絕對濕度（Absolute humidity）

絕對濕度是單位體積濕空氣中所含水氣的質量，常以 ρv\rho_v 表示：

ρv=mvV\rho_v=\frac{m_v}{V}

其中 mvm_v 為水氣質量，VV 為濕空氣體積。常用單位為 kg/m3\mathrm{kg/m^3} 或 g/m3\mathrm{g/m^3}。它表示水氣的體積濃度；在水氣質量不變而空氣體積改變時，絕對濕度也會隨之改變。

  1. 相對濕度（Relative humidity）

相對濕度是同一溫度下，空氣實際水氣分壓與飽和水氣分壓的比值，通常以百分比表示：

ϕ=ees(T)×100%\phi=\frac{e}{e_s(T)}\times100\%

其中 ee 為實際水氣分壓，es(T)e_s(T) 為溫度 TT 下的飽和水氣壓。相對濕度反映空氣距離飽和的程度；當 ϕ=100%\phi=100\% 時，空氣達飽和。

  1. 比濕度（Specific humidity）

比濕度是濕空氣中水氣質量占濕空氣總質量的比例，常以 qq 表示：

q=mvmv+mdq=\frac{m_v}{m_v+m_d}

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第 五 題20 分

請詳述影響逕流（runoff）之可能因素。

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核心觀念

逕流是降水落在集水區後，未滲入土壤或被截留、蒸發的水分，經地表或地下流動，最後到達河川、湖泊或集水區出口的水量。水文分析常將逕流分為：

  • 地表逕流：降水超過入滲能力後，沿地表流向河道的水。
  • 壤中流：水分入滲後，沿土壤表層或較淺土層側向流動的水。
  • 地下水逕流（基流）：入滲至地下水層後，緩慢補注河川的水。

影響逕流的因素，可依「降雨特性、集水區地形、土壤與地質、地表覆蓋與土地利用，以及前期水文狀況」分類說明。逕流量可用水量平衡概念表示為：

P=Q+F+I+E+ΔSP = Q + F + I + E + \Delta S

其中 PP 為降水量、QQ 為逕流量、FF 為入滲量、II 為截留量、EE 為蒸發散量，ΔS\Delta S 為集水區蓄水量變化。此式表示在其他條件相近時，入滲、截留、蒸發散或蓄水增加，通常會減少短期流出集水區的逕流量。

解題方法

本題為申論題，宜先建立分類架構，再逐項說明因素如何影響逕流的總量、發生時間與洪峰大小。作答時不只列出因素，也要交代其作用方向與原因。

一、降雨特性

  • 降雨量與降雨深度：在其他條件相同時，降雨量愈大，超過入滲與蓄水能力的水量愈多，逕流量通常愈大。
  • 降雨強度：降雨強度若超過土壤入滲能力，容易形成地表逕流；強度愈大，洪峰流量通常愈高。
  • 降雨延時：短延時強降雨常造成尖銳洪峰；長延時降雨則可能使土壤逐漸飽和、蓄水空間減少，增加後續逕流。
  • 降雨時空分布：雨帶若集中於集水區較大或較靠近出口的區域，洪峰與到達時間會不同；若多處支流洪峰同時匯流，出口洪峰可能增大。
  • 降雨型態與季節：雨、雪或融雪的發生方式不同，會改變水分進入河道的時間與速率。

二、集水區地形與河道特性

  • 集水區面積與形狀：面積愈大，總逕流量通常愈大；形狀較圓或支流長度、匯流時間相近時，洪峰較容易集中。狹長集水區的逕流到達出口時間較分散，洪峰通常較緩。
  • 坡度與地表起伏：坡度較陡時，地表水流速度較快、停留與入滲時間較短，通常使洪峰提早且增大；平坦地區則較易蓄水或滯留。
  • 河網密度、河道長度與坡度：河網密度高、河道輸水迅速時，水較快匯集至出口，會影響洪峰大小與到達時間。
  • 窪地與湖泊：窪地、湖泊及蓄洪空間可暫存水量，使洪峰延後並削減；其蓄滿後，削峰效果會降低。

三、土壤與地質條件

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