109 專技高考高等考試 環境工程技師 流體力學與水文學 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・環境工程技師
試題代碼 流體力學與水文學

第 一 題30 分

今有一個都市供水管網系統，由兩根平行的鑄鐵管並聯形成此一系統（如圖一所示）。其中甲管的尺寸為直徑 4040 公分、長度 16001600 公尺；乙管尺寸為直徑 5050 公分、長度為 25002500 公尺。

假設在此兩根並聯鑄鐵管（甲管及乙管）內的流況為完全紊流，並忽略所有次要損失（minor loss）。今若乙管的體積流率是 0.50.5 立方公尺／每秒，求甲管的體積流率，並請寫出管網系統分析時所依據的兩個基本理論。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖一】

鑄鐵管的表面粗糙度 ε=0.00026\varepsilon=0.00026 公尺。在水溫 15∘C15^\circ\mathrm{C} 時，水的密度 ρ=999.1\rho=999.1 公斤／每立方公尺，水的動力黏滯係數 μ=1.138×10−3\mu=1.138\times10^{-3} 公斤／（每公尺・每秒）。

Colebrook 方程式：

1f=−2.0log⁡(ε/D3.7+2.51Ref)\frac{1}{\sqrt{f}}=-2.0\log\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right)
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核心觀念

並聯管路分析依據兩個基本原理：

  1. 連續方程（質量守恆）：分流點的總流量等於各支管流量之和，故 Q總=Q甲+Q乙Q_{\text{總}}=Q_{\text{甲}}+Q_{\text{乙}}。
  2. 能量方程（伯努力方程）：兩支管連接相同的上、下游節點，且忽略次要損失，因此兩支管的沿程水頭損失相同，hf,甲=hf,乙h_{f,\text{甲}}=h_{f,\text{乙}}。

沿程水頭損失採 Darcy–Weisbach 式：

hf=fLDV22gh_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}

其中 Darcy 摩擦因子 ff 由題目提供的 Colebrook 方程式求得；雷諾數為 Re=ρVD/μ\mathrm{Re}=\rho VD/\mu，流速則由 V=Q/AV=Q/A 求得。

解題方法

先由已知的乙管流量求出乙管的流速、雷諾數與摩擦因子，再算出乙管水頭損失。因兩管並聯，甲管水頭損失等於此值；配合 Colebrook 方程式求甲管流速與流量。

乙管直徑 D乙=0.50 mD_{\text{乙}}=0.50\ \mathrm{m}，截面積為

A乙=πD乙24=π(0.50)24=0.19635 m2A_{\text{乙}}=\frac{\pi D_{\text{乙}}^2}{4} =\frac{\pi(0.50)^2}{4} =0.19635\ \mathrm{m^2}

乙管流速：

V乙=Q乙A乙=0.50.19635=2.546 m/sV_{\text{乙}}=\frac{Q_{\text{乙}}}{A_{\text{乙}}} =\frac{0.5}{0.19635} =2.546\ \mathrm{m/s}

乙管雷諾數：

Re乙=ρV乙D乙μ=999.1(2.546)(0.50)1.138×10−3≈1.118×106\mathrm{Re}_{\text{乙}} =\frac{\rho V_{\text{乙}}D_{\text{乙}}}{\mu} =\frac{999.1(2.546)(0.50)}{1.138\times10^{-3}} \approx 1.118\times10^6

將 ε/D乙=0.00026/0.50\varepsilon/D_{\text{乙}}=0.00026/0.50 與 Re乙\mathrm{Re}_{\text{乙}} 代入 Colebrook 方程式迭代，得到

f乙≈0.01729f_{\text{乙}}\approx 0.01729

因此乙管沿程水頭損失為

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第 二 題20 分

在氣候變遷影響下，國內某一個雨量站 6060 年內量測到所有降雨事件的降雨強度依序排列如下表：

降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）降雨事件編號降雨強度 II（mm/hr）
1159191113785556873539125
2148201093884566874519223
3146211073983576875499320
4142221064082586976479417
5139231044181596677469513
6137241034279606578459612
7136251024379616579439711
81312698447862648042989
91282797457663638141993
1012628964676646282401002
111252995477665618338
121243094487466598437
131223193497367588536
141203290507368578633
151193389517269578732
161163488527070568831
171133588536971558929
181123686546972549028

試計算此雨量站過去 6060 年降雨事件的相對頻率（以每 1010 mm 為一區間，並以中間值代表該區間的降雨事件降雨強度），並計算超越降雨事件的累積頻率，並繪製相對頻率組體圖及累積超越頻率組體圖。

今若要在當地設計一個水工結構物，其能承受的降雨強度為 135135 mm/hr，試計算此降雨強度的迴歸期限（return period）。

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核心觀念

本題考查降雨事件資料的分組相對頻率、累積超越頻率，以及迴歸期限。題目提供 6060 年內共 100100 筆降雨事件資料，因此：

  • 第 ii 組相對頻率：fi=ni/Nf_i=n_i/N。
  • 第 ii 組累積超越頻率：由該組向較高強度各組累加。
  • 超越頻率為 PeP_e 時，平均迴歸期限為 T=1/λT=1/\lambda；若觀測期間為 LL 年、超越事件共 mm 次，則 λ=m/L\lambda=m/L，故 T=L/mT=L/m。

解題方法

依題意以每 10 mm/hr10\ \text{mm/hr} 為一組，並以組中點代表該組強度。各組事件數除以 100100，即得相對頻率；累積超越頻率則從高強度組往低強度組累加。

強度區間（mm/hr）組中點事件數相對頻率累積超越事件數累積超越頻率
00–10105533%100100%
1010–2020151544%9797%
2020–3030252555%9393%
3030–4040353566%8888%
4040–5050454588%8282%
5050–6060555599%7474%
6060–707065651313%6565%
7070–808075751111%5252%
8080–9090858599%4141%
9090–100100959577%3232%
100100–11011010510566%2525%
110110–12012011511555%1919%
120120–13013012512566%1414%
130130–14014013513544%88%
140140–15015014514533%44%
150150–16016015515511%11%
合計100100%

例如，6060–70 mm/hr70\ \text{mm/hr} 組有 1313 筆，因此相對頻率為 13/100=13%13/100=13\%。130130–140 mm/hr140\ \text{mm/hr} 組及其以上各組共有 4+3+1=84+3+1=8 筆，故該組中點 135 mm/hr135\ \text{mm/hr} 的累積超越頻率為 8/100=8%8/100=8\%。

相對頻率組體圖

以下以每個「█」代表 1%1\%，橫軸為組中點：

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第 三 題20 分

已知有一土柱實驗，其土柱長 2020 公分。當實驗達到穩態階段時，土柱上沿的柱水槽水深為 55 公分，下游的出水口處連接到一個 U 型管壓力計，量到的 U 型管內水位高與出水口的高程相同。

同時，在土柱出水口往上 1515 公分及 55 公分處，各有一個 U 型管壓力計，量測該兩不同高程處的穩態壓力。在 1515 公分處的 U 型管壓力計內，其水位高出該量測點位置高程 3.753.75 公分，而 55 公分處的 U 型管壓力計內的水位高出該量測點高程 1.251.25 公分。上述各項參數，標示如圖二所示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖二】

試以圖二右邊的水頭 hh 及高程 ZZ 直角坐標系統中，繪出此土柱實驗的高程水頭、壓力水頭及總水頭三條水頭變化線，並標註各重要高程點處的壓力水頭、位置水頭的數值。

（假設此實驗的雷諾數（RR）小於 1010。）

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核心觀念

本題考查高程水頭、壓力水頭與總水頭的關係：

H=z+pγ=z+hpH=z+\frac{p}{\gamma}=z+h_p

其中 zz 為位置水頭，hp=p/γh_p=p/\gamma 為壓力水頭，HH 為總水頭。依題意以土柱出水口為高程基準，令出水口 z=0z=0。

雷諾數小於 1010，土柱內為層流，可用達西定律描述穩態流動；均質土柱內的總水頭沿流向呈線性變化。

解題方法

土柱底部出水口的壓力計水位與出水口同高，因此：

z=0:hp=0,H=0z=0:\quad h_p=0,\qquad H=0

兩個量測點的壓力水頭為：

z=5:hp=1.25 cmz=5:\quad h_p=1.25\text{ cm} z=15:hp=3.75 cmz=15:\quad h_p=3.75\text{ cm}

兩點均符合 hp=0.25zh_p=0.25z，且出口處也符合此關係。因此土柱內壓力水頭線為：

hp=0.25zh_p=0.25z

土柱內總水頭為：

H=z+hp=1.25zH=z+h_p=1.25z

土柱頂端高程為 z=20z=20 cm，上方水深為 55 cm，所以水面高程及水面總水頭均為 2525 cm。土柱頂端的壓力水頭為 55 cm，總水頭為 20+5=2520+5=25 cm，與土柱內總水頭線相接。

作圖數值

下表列出各重要高程處的位置水頭與壓力水頭；作圖時，水平座標取水頭值 hh，垂直座標取高程 ZZ。

高程 ZZ（cm）位置水頭 zz（cm）壓力水頭 hph_p（cm）總水頭 HH（cm）
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第 四 題30 分

圖三為一個極寬的明渠流，從上游陡坡到緩坡。若上游水面自點 aa 開始，請繪出漸變流況下，此明渠的可能水面線，並說明水面線可能的剖面種類。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖三】

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核心觀念

本題考明渠漸變流的水面線分類。極寬明渠可視為矩形渠道，其單位寬流量為 q=Q/Bq=Q/B，臨界水深與福祿數為

yc=(q2g)1/3,Fr=Vgy.y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3},\qquad Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}}.

其中 ycy_c 由流量決定；正常水深 yny_n 則由流量、渠道糙度及渠底坡度決定。陡坡上 yn<ycy_n<y_c，緩坡上 yn>ycy_n>y_c。圖中點 aa 位於上游陡坡的 yny_n 與 ycy_c 之間，因此水流為超臨界流。

解題方法與水面線

沿流向依序比較水深與當地的 yn、ycy_n、y_c，即可判定水面線區段：

陡坡 S2 ⟶ 緩坡 M3 ⟶ 水躍 ⟶ 緩坡 M1 或 M2\boxed{\text{陡坡 S2} \ \longrightarrow\ \text{緩坡 M3} \ \longrightarrow\ \text{水躍} \ \longrightarrow\ \text{緩坡 M1 或 M2}}

可將剖面示意如下；圖示表示水深相對於當地渠底的關係：

流向 →
陡坡： yc（上）
 a ● ── S2：水深沿流向降低 ──
 yn（下）
 坡度轉緩
緩坡： yn（上）
 ── M3：水深沿流向增加 ── 水躍 ── M1 或 M2
 yc（下）
  1. 上游陡坡 S2：點 aa 的水深滿足 yn<y<ycy_n<y<y_c，屬於 S2 區，水流為超臨界流。由點 aa 向下游，水深逐漸降低，朝上游陡坡的正常水深靠近。
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