114 專技高考高等考試 環境工程技師 流體力學與水文學 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・環境工程技師
試題代碼 流體力學與水文學

第 一 題15 分

在 25∘C25^\circ\mathrm{C} 的環境中，三個大薄板（銅板、塑膠板與鐵板）之間以水與煤油（kerosene）隔離，如圖所示。已測出銅板與塑膠板，以及塑膠板與鐵板的間隔距離分別為 0.05 cm0.05\ \mathrm{cm} 及 0.1 cm0.1\ \mathrm{cm}。

若頂端薄板（銅板）以 4 m/s4\ \mathrm{m/s} 的速率向右移動，試問下端薄板（鐵板）應保持的移動速率及方向，方能使中間的薄板（塑膠板）保持靜止狀態。請說明分析過程中的假設條件。

提示：水與煤油於 25∘C25^\circ\mathrm{C} 的黏滯係數分別為 8.67×10−4 N⋅s/m28.67\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot s/m^2} 及 1.64×10−3 N⋅s/m21.64\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}。

圖示：上方為銅板，中間為塑膠板，下方為鐵板；銅板與塑膠板之間為水，塑膠板與鐵板之間為煤油。

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核心觀念

本題考的是牛頓流體在兩平行薄板間的庫埃特流（Couette flow）。在穩定、充分發展且無壓力梯度的情況下，流體速度在板間呈線性分布，剪應力大小為

τ=μΔuΔy\tau=\mu\frac{\Delta u}{\Delta y}

其中 μ\mu 為動力黏滯係數，Δu\Delta u 為兩側板面的速度差，Δy\Delta y 為板間距。

塑膠板保持靜止，表示其所受的水平剪力必須平衡。

解題方法

設向右為正方向。銅板以 uc=4 m/su_c=4\ \mathrm{m/s} 向右移動，塑膠板速度為零；銅板與塑膠板之間是水，間距為

hw=0.05 cm=5.0×10−4 mh_w=0.05\ \mathrm{cm}=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{m}

水對塑膠板產生向右的剪應力，其大小為

τw=μwuc−0hw=(8.67×10−4)45.0×10−4=6.936 N/m2\tau_w=\mu_w\frac{u_c-0}{h_w} =\left(8.67\times10^{-4}\right) \frac{4}{5.0\times10^{-4}} =6.936\ \mathrm{N/m^2}

塑膠板與鐵板間是煤油，間距為

hk=0.1 cm=1.0×10−3 mh_k=0.1\ \mathrm{cm}=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{m}
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第 二 題15 分

使用馬達自湖中抽取 20∘C20^\circ\mathrm{C} 的水作為洗滌使用，如圖所示。已知 H1=6 mH_1=6\ \mathrm{m}、H2=3 mH_2=3\ \mathrm{m}、H3=10 mH_3=10\ \mathrm{m}。

其中主要能量損失（major loss）的摩擦係數 ff 假設為 0.020.02；次要損失（minor loss）包括入管口的損失（損失係數 KL=0.8K_L=0.8）及 90∘90^\circ 肘管（elbow）損失（損失係數 KL=1.5K_L=1.5）。水管管徑為 6 cm6\ \mathrm{cm}。

為了不致發生穴蝕（cavitation），管內可容許的最大流量為何？

提示：20∘C20^\circ\mathrm{C} 水蒸氣壓為 2340 N/m22340\ \mathrm{N/m^2}（絕對壓力，abs）；一大氣壓力為 101300 N/m2101300\ \mathrm{N/m^2}（abs）。

圖示包含湖泊、馬達、管線、90∘90^\circ 肘管及流量 QQ，並標示高度 H1H_1、H2H_2、H3H_3。

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核心觀念

本題考查水庫自由液面至抽水管最高點的伯努力方程，以及避免穴蝕的壓力條件。穴蝕臨界時，泵浦吸入口的絕對壓力等於水的蒸氣壓；管路損失包括入口損失、肘管損失與沿程摩擦損失。

解題方法

由圖示，泵浦吸入口高於湖面 H2=3 mH_2=3\ \mathrm{m}；吸水管全長為

L=H1+H2+H3=6+3+10=19 m.L=H_1+H_2+H_3=6+3+10=19\ \mathrm{m}.

取湖面為上游點、泵浦吸入口為下游點。湖面流速可視為零，湖面壓力為大氣壓。穴蝕臨界時，吸入口壓力為蒸氣壓 pvp_v。伯努力方程寫成

patmρg=pvρg+H2+(1+K入口+K肘管+fLD)V22g.\frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g} = \frac{p_v}{\rho g} +H_2 +\left(1+K_{\mathrm{入口}}+K_{\mathrm{肘管}}+f\frac{L}{D}\right)\frac{V^2}{2g}.

式中的 11 是吸入口管內的速度水頭；H2H_2 是吸入口相對湖面的高程；其餘項為管路損失。代入

D=0.06 m,K入口=0.8,K肘管=1.5,f=0.02D=0.06\ \mathrm{m},\quad K_{\mathrm{入口}}=0.8,\quad K_{\mathrm{肘管}}=1.5,\quad f=0.02

可得總係數

1+0.8+1.5+0.02190.06=9.633.1+0.8+1.5+0.02\frac{19}{0.06}=9.633.
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第 三 題20 分

流體通過兩平行、靜止不動的平板之間，並在其間形成穩定的層流（steady, laminar flow）。兩平板間的距離為 2h2h，層流流動距離為 ll。假設流體壓力減少為固定值 Δp\Delta p，並假設流體與平板接觸點為無滑動邊界（no-slip），流體的動力黏滯係數（dynamic viscosity）為 μ\mu。

請推導：

(一) 兩平板間流體流動產生的流速 uu 在 yy 方向的變化。（8 分）

(二) 沿 zz 方向（垂直 xx-yy 平面）單位寬度的流量 qq。（8 分）

(三) 平板間最大流速 Vmax⁡V_{\max} 與平均流速 VV 的關係。（4 分）

以上各項以 Δp\Delta p、ll、hh 及 μ\mu 表示。

圖示：兩平板分別位於 y=hy=h 與 y=−hy=-h，流動方向為 xx 軸，yy 軸垂直於平板，zz 軸垂直 xx-yy 平面。

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核心觀念

本題考察兩固定平行平板間的平行板 Poiseuille 流。流體為穩定層流，流動沿 xx 方向，速度只有 xx 分量 u=u(y)u=u(y)；因充分發展，速度不隨 xx 改變。xx 方向的動量方程因此簡化為壓力梯度與黏滯剪應力平衡：

0=−dpdx+μd2udy2.0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}.

兩板位於 y=±hy=\pm h，無滑動邊界條件為 u(±h)=0u(\pm h)=0。壓力沿流動方向降低 Δp\Delta p，故

dpdx=−Δpl.\frac{dp}{dx}=-\frac{\Delta p}{l}.

解題方法與推導

將壓力梯度代入動量方程：

μd2udy2=−Δpl.\mu\frac{d^2u}{dy^2}=-\frac{\Delta p}{l}.

對 yy 積分兩次：

u(y)=−Δp2μly2+C1y+C2.u(y)=-\frac{\Delta p}{2\mu l}y^2+C_1y+C_2.

上下平板與壓力條件對稱，速度分布以 y=0y=0 為對稱面，因此 C1=0C_1=0。再由 u(h)=0u(h)=0 得

C2=Δph22μl.C_2=\frac{\Delta p h^2}{2\mu l}.

(一) 速度分布

u(y)=Δp2μl(h2−y2),−h≤y≤h\boxed{u(y)=\frac{\Delta p}{2\mu l}(h^2-y^2),\qquad -h\le y\le h}

速度分布為拋物線；兩板表面速度為零，中心線速度最大。

(二) 沿 zz 方向單位寬度的流量

單位寬度流量為速度對兩板間距的積分：

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第 四 題20 分

水利法出流管制計畫書中，有關有效降雨量是以美國水土保持局（Soil Conservation Service，以下簡稱 SCS）之曲線號碼法（Curve Number method，以下簡稱 CN）計算。

SCS 法將降雨總量 PP 區分為初期降雨損失量 IaI_a、有效降雨總量 PeP_e 及入滲總量 FF 三部分，並依如下假設：

FS=PeP−Ia\frac{F}{S}=\frac{P_e}{P-I_a}

上式中，SS 為集水區最大蓄水量，其與 IaI_a 的關係為：

Ia=0.2SI_a=0.2S

而 SS 與 CNCN 的關係為：

S=25.4(1000CN−10)S=25.4\left(\frac{1000}{CN}-10\right)

其中 SS 的單位為 mm\mathrm{mm}（毫米）。

某小集水區的平均 CNCN 值為 9090，發生如下表的降雨事件。請依 SCS 法計算：

(一) 各小時的入滲率（mm/hr\mathrm{mm/hr}）。（10 分）

(二) 各小時的有效累積降雨量（mm\mathrm{mm}）。（10 分）

降雨資料如下：

時間（hr）0–11–22–33–44–55–66–77–8
降雨量（mm）3101530602041
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核心觀念

本題考 SCS 曲線號碼法如何將降雨分為初期損失、入滲與有效降雨。先由 CNCN 求最大蓄水量 SS，再對每個時段的累積降雨量計算累積入滲量 FF 與累積有效降雨量 PeP_e，最後以相鄰時段的累積入滲量差求該小時平均入滲率。

依民國 114 年命題所列設定：

FS=PeP−Ia,Ia=0.2S,S=25.4(1000CN−10)\frac{F}{S}=\frac{P_e}{P-I_a},\qquad I_a=0.2S,\qquad S=25.4\left(\frac{1000}{CN}-10\right)

又因 P=Ia+F+PeP=I_a+F+P_e，可得：

Pe={0,P≤Ia(P−Ia)2P−Ia+S,P>IaF={0,P≤IaS(P−Ia)P−Ia+S,P>IaP_e= \begin{cases} 0, & P\le I_a\\[2mm] \dfrac{(P-I_a)^2}{P-I_a+S}, & P>I_a \end{cases} \qquad F= \begin{cases} 0, & P\le I_a\\[2mm] \dfrac{S(P-I_a)}{P-I_a+S}, & P>I_a \end{cases}

解題方法

先代入 CN=90CN=90：

S=25.4(100090−10)=28.222 mmS=25.4\left(\frac{1000}{90}-10\right)=28.222\ \mathrm{mm} Ia=0.2S=5.644 mmI_a=0.2S=5.644\ \mathrm{mm}

將每小時降雨量累加，得到各時段末的累積降雨量 PP。若 P≤IaP\le I_a，則 F=Pe=0F=P_e=0；若 P>IaP>I_a，使用上式求累積 FF 與累積 PeP_e。

每一時段長度均為 11 小時，因此第 ii 小時的平均入滲率為：

fi=Fi−Fi−11 hrf_i=\frac{F_i-F_{i-1}}{1\ \mathrm{hr}}

計算結果

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第 五 題15 分

水滲流經過一個土堤，在其內形成一個非拘限含水層。含水層長度為 500 m500\ \mathrm{m}（=L=L），含水層的水力傳導係數估計為 0.1 m/day0.1\ \mathrm{m/day}，並具有均質與等向性。

土堤表面上方有均勻的補助量進入含水層內，此補助量評估為 20 mm/year20\ \mathrm{mm/year}（=W=W）。緊鄰土堤左方與右方水塘的水位分別為 15 m15\ \mathrm{m}（=h1=h_1）與 12 m12\ \mathrm{m}（=h2=h_2）。

假設土堤內的滲流為水平一維定常（穩態）流，依據上述資料推求：

(一) 土堤內的最高水位及其位置。（10 分）

(二) 由土堤滲入右方水塘、單位寬度的滲流量。（5 分）

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核心觀念

本題考非拘限含水層在均勻補注下的一維穩態滲流，採用 Dupuit 假設：滲流近似水平，水力坡降由水位面坡度表示。以單位堤寬計，流量與水位的關係為

q(x)=−Khdhdx=−K2d(h2)dxq(x)=-Kh\frac{dh}{dx}=-\frac K2\frac{d(h^2)}{dx}

其中 qq 為每單位寬度的流量，KK 為水力傳導係數，hh 為含水層水位高程。均勻補注量為 WW 時，穩態連續方程為

dqdx=W\frac{dq}{dx}=W

解題方法

先將補注量換成與 KK 一致的日單位：

W=20 mm/year=0.020 m/year=0.020365=5.4795×10−5 m/dayW=20\ \mathrm{mm/year}=0.020\ \mathrm{m/year} =\frac{0.020}{365}=5.4795\times10^{-5}\ \mathrm{m/day}

由 q=−K2d(h2)dxq=-\frac K2\frac{d(h^2)}{dx} 與 dqdx=W\frac{dq}{dx}=W，可得

d2(h2)dx2=−2WK\frac{d^2(h^2)}{dx^2}=-\frac{2W}{K}

積分後，令 h(0)=h1=15 mh(0)=h_1=15\ \mathrm m、h(L)=h2=12 mh(L)=h_2=12\ \mathrm m，得到

h2(x)=h12+Cx−WKx2h^2(x)=h_1^2+Cx-\frac WKx^2

其中

C=h22−h12+(W/K)L2LC=\frac{h_2^2-h_1^2+(W/K)L^2}{L}

代入 L=500 mL=500\ \mathrm m、K=0.1 m/dayK=0.1\ \mathrm{m/day}：

C=122−152+(5.4795×10−50.1)(500)2500=0.11197 mC=\frac{12^2-15^2+ \left(\frac{5.4795\times10^{-5}}{0.1}\right)(500)^2}{500} =0.11197\ \mathrm m

（一）最高水位及其位置

最高水位位於 h2(x)h^2(x) 的頂點。令其對 xx 的導數為零：

d(h2)dx=C−2WKx=0\frac{d(h^2)}{dx}=C-\frac{2W}{K}x=0

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第 六 題15 分

說明馬斯金更法（Muskingum method）使用於河川洪水演算的主要原理、假設與基本計算公式，並說明其洪水演算的步驟。

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核心觀念

馬斯金更法（Muskingum method）是河川洪水演算的集總式河段演算方法，以河段上、下游流量的變化推算洪水波通過河段後的流量歷線。它結合連續方程與一個描述河段蓄水量的經驗關係，主要表現洪水波在河段中的平移與削減。

基本假設與公式

將河段蓄水量 SS 表示為入流量 II 與出流量 QQ 的加權函數：

S=K[xI+(1−x)Q]S=K\left[xI+(1-x)Q\right]

其中 KK 為河段蓄水時間常數，量綱為時間；xx 為無因次權重係數，通常介於 00 與 0.50.5 之間。xx 越小，蓄水關係越偏重出流，洪峰削減通常越明顯。KK 與 xx 需由河段特性及觀測資料率定。

此法假設河段可用單一集總蓄水關係代表，KK 與 xx 在演算期間固定，且以河段總入流、出流描述蓄水變化。若河段有側向入流，應將其納入總入流或另行處理。

河段連續方程為：

dSdt=I−Q\frac{dS}{dt}=I-Q

以時間間隔 Δt\Delta t 對連續方程積分，並以梯形法近似時間區間內的平均入流與出流：

S2−S1=Δt2[(I1+I2)−(Q1+Q2)]S_2-S_1=\frac{\Delta t}{2}\left[(I_1+I_2)-(Q_1+Q_2)\right]

將 S=K[xI+(1−x)Q]S=K[xI+(1-x)Q] 代入並整理，可得逐時段演算公式：

Q2=C0I2+C1I1+C2Q1Q_2=C_0I_2+C_1I_1+C_2Q_1

其中：

C0=Δt2−KxK(1−x)+Δt2C_0=\frac{\frac{\Delta t}{2}-Kx}{K(1-x)+\frac{\Delta t}{2}} C1=Δt2+KxK(1−x)+Δt2C_1=\frac{\frac{\Delta t}{2}+Kx}{K(1-x)+\frac{\Delta t}{2}}
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