111 專技高考高等考試 環境工程技師 流體力學與水文學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於水文學中「降雨逕流關係」與「土壤入滲分析」的經典計算題，涉及以下核心觀念與水文公式：

1. 集水區水平衡與有效降雨： 在不考慮截留、窪蓄與蒸發散等次要損失之情況下，總降雨量（$P$）等於總直接逕流深（$R$）與累積入滲深度（$F$）之和： $P = R + F \implies F = P - R$ 其中，直接逕流深 $R$ 為直接逕流體積（$V_d$）除以集水區面積（$A$）。

2. 霍頓入滲公式（Horton's Infiltration Equation）： 當降雨強度大於土壤入滲能力時，土壤之入滲率隨時間呈指數遞減，其瞬時入滲率 $f(t)$ 定義為： $f(t) = f_c + (f_0 - f_c)e^{-Kt}$

• $f_0$：起始入滲率（Initial infiltration rate, $\mathrm{mm/hr}$）
• $f_c$：最終穩定入滲率（Final / Ultimate infiltration capacity, $\mathrm{mm/hr}$）
• $K$：入滲衰減係數（Decay constant, $\mathrm{hr^{-1}}$）
• $t$：降雨延時（$\mathrm{hr}$）

3. 累積入滲深度（Cumulative Infiltration Depth, $F(t)$）： 對瞬時入滲率於時間區間 $[0, t]$ 進行積分： $F(t) = \int_0^t f(\tau) d\tau = \int_0^t \left[ f_c + (f_0 - f_c)e^{-K\tau} \right] d\tau = f_c t + \frac{f_0 - f_c}{K}\left(1 - e^{-Kt}\right)$

解題方法

(一) 推算該地的最終入滲係數 $f_c$

1. 計算直接逕流深 $R$： 集水區面積 $A = 30\ \mathrm{km^2} = 30 \times 10^6\ \mathrm{m^2}$ 直接逕流體積 $V_d = 9 \times 10^6\ \mathrm{m^3}$ $R = \frac{V_d}{A} = \frac{9 \times 10^6\ \mathrm{m^3}}{30 \times 10^6\ \mathrm{m^2}} = 0.3\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{mm}$

2. 計算降雨 10 小時之累積入滲深度 $F(10)$： 觀測總降雨量 $P = 328\ \mathrm{mm}$，依水平衡原理： $F(10) = P - R = 328\ \mathrm{mm} - 300\ \mathrm{mm} = 28\ \mathrm{mm}$

3. 代入 Horton 累積入滲公式求 $f_c$： 已知 $K = 0.125\ \mathrm{hr^{-1}}$、$f_0 = 4.6\ \mathrm{mm/hr}$、$t = 10\ \mathrm{hr}$： $F(10) = 10f_c + \frac{4.6 - f_c}{0.125}\left(1 - e^{-0.125 \times 10}\right)$ 計算指數與常數項： $e^{-1.25} \approx 0.2865$ $1 - e^{-1.25} = 1 - 0.2865 = 0.7135$ $\frac{1 - e^{-1.25}}{0.125} = \frac{0.7135}{0.125} = 5.708\ \mathrm{hr}$ 展開方程式： $28 = 10f_c + (4.6 - f_c) \times 5.708$ $28 = 10f_c + 26.257 - 5.708f_c$ $4.292 f_c = 1.743$

核心觀念

1. 單位歷線（Unit Hydrograph, UH）定義與體積守恆： 單位歷線係指集水區在特定降雨延時（Duration, $D = 2\ \mathrm{hr}$）內，因均勻分佈之 $1$ 單位（本題為 $1\ \mathrm{cm}$）有效降雨（超額降雨）所產生之直接逕流歷線。 直接逕流總體積 $V$ 等於單位歷線曲線下所圍之面積，亦等於有效降雨水深 $R_e$ 乘上集水區面積 $A$： $V = \int Q\, dt = A \times R_e$

2. 線性系統理論（比例性與可加性）： 單位歷線法基於線性非時變系統假設：

• 比例性（Proportionality）：有效雨量為 $P_e\ \mathrm{cm}$ 時，所產生的直接逕流流量為單位歷線流量的 $P_e$ 倍（$Q(t) = P_e \cdot U(t)$）。
• 可加性（Superposition）：多場連續降雨所產生的逕流歷線，等於各場降雨所對應之逕流歷線按發生時間平移後之線性相加。

解題方法

(一) 計算集水區面積

1. 計算 $1\ \mathrm{cm}$ 單位歷線之直接逕流總體積 $V$： 已知單位歷線為三角形，基期 $T_b = 10\ \mathrm{hr}$，洪峰流量 $q_p = 24\ \mathrm{cms} = 24\ \mathrm{m^3/s}$。 三角形面積即為逕流總體積： $V = \frac{1}{2} \times T_b \times q_p$ 將時間單位換算為秒（$1\ \mathrm{hr} = 3,600\ \mathrm{s}$）： $V = \frac{1}{2} \times (10 \times 3,600\ \mathrm{s}) \times 24\ \mathrm{m^3/s} = 432,000\ \mathrm{m^3}$

2. 依水深與面積關係推算集水區面積 $A$： 有效降雨深 $R_e = 1\ \mathrm{cm} = 0.01\ \mathrm{m}$。 $V = A \times R_e \implies A = \frac{V}{R_e}$ $A = \frac{432,000\ \mathrm{m^3}}{0.01\ \mathrm{m}} = 43,200,000\ \mathrm{m^2} = 43.2\ \mathrm{km^2}$

(二) 推算連續暴雨之洪峰流量與發生時間

1. 建立三角形單位歷線方程式 $U(t)$：

• 起點：$t = 0\ \mathrm{hr},\ U(0) = 0\ \mathrm{cms}$
• 頂點（洪峰）：$t = 4\ \mathrm{hr},\ U(4) = 24\ \mathrm{cms}$
• 終點：$t = 10\ \mathrm{hr},\ U(10) = 0\ \mathrm{cms}$

數學分段函數為：

• 上升段（$0 \le t \le 4\ \mathrm{hr}$）： $U(t) = \frac{24 - 0}{4 - 0} \cdot t = 6t$
• 退水段（$4 \le t \le 10\ \mathrm{hr}$）： $U(t) = 24 - \frac{24 - 0}{10 - 4} \cdot (t - 4) = 24 - 4(t - 4) = 40 - 4t$
• 其餘時間（$t < 0$ 或 $t > 10\ \mathrm{hr}$）：$U(t) = 0$

2. 各場降雨之逕流歷線疊加： 連續三場 $2$ 小時延時之有效降雨分別為：

• 第 1 場（發生於 $t = 0\ \mathrm{hr}$）：$P_{e1} = 1.0\ \mathrm{cm}$，逕流為 $Q_1(t) = 1.0 \times U(t)$
• 第 2 場（發生於 $t = 2\ \mathrm{hr}$）：$P_{e2} = 2.0\ \mathrm{cm}$，逕流為 $Q_2(t) = 2.0 \times U(t - 2)$
• 第 3 場（發生於 $t = 4\ \mathrm{hr}$）：$P_{e3} = 1.5\ \mathrm{cm}$，逕流為 $Q_3(t) = 1.5 \times U(t - 4)$

總逕流歷線 $Q(t) = Q_1(t) + Q_2(t) + Q_3(t)$。

核心觀念

本題旨在評量考生在水文統計與集水區排水設計中，運用**降雨強度—延時—頻率公式（IDF）推估逕流量，以及應用交替組體圖法（Alternative Block Method）**設計暴雨雨型的能力。

1. 法規依據與設計手冊： 以命題當年（民國 111 年）法規為準，依經濟部水利署《水利法》授權訂定之《出流管制計畫書與規劃書編製技術規範》及《出流管制技術手冊》，出流管制設施之設計暴雨雨型應優先採交替組體圖法建立，降雨延時與強度關係式常採 Horner 型公式。
2. Horner 降雨強度公式： $I = \frac{a}{(t+b)^c}$ 其中 $I$ 為降雨強度（$\mathrm{mm/hr}$），$t$ 為降雨延時（$\mathrm{min}$），$a, b, c$ 為當地水文降雨特性常數。
3. 逕流體積基本定義： 集水區於降雨延時 $t$ 內所產生之理論水體積為： $V = C \times P \times A$ 式中，$V$ 為逕流體積（$\mathrm{m^3}$），$C$ 為逕流係數（無因次），$P$ 為累積降雨深度（$\mathrm{m}$），$A$ 為集水區面積（$\mathrm{m^2}$）。若未特別扣除入滲及窪蓄等損失（即視為全逕流，取最保守之 $C = 1.0$），則逕流體積即等於總降雨體積。
4. 交替組體圖法（Alternative Block Method）原理：

• 依設計時間間隔 $\Delta t$（本題為 $20\text{ min}$）將總降雨延時 $T$（本題為 $180\text{ min}$）分割為 $N = T / \Delta t$ 個連續時段。
• 計算各累積時間 $t$ 之累積雨深 $P(t) = I(t) \times \frac{t}{60}$，並求得相鄰時段之增量雨深 $\Delta P$。
• 將增量雨深由大至小排序，最大增量雨深置於中央時段（第 $\frac{N+1}{2}$ 時段），其餘增量依序交替排列於兩側，形成對稱且峰值集中的設計降雨組體圖。

解題方法

(一) 計算該地 $40\text{ 分鐘}$暴雨產生的逕流體積（$\mathrm{m^3}$）

1. 計算 $40\text{ 分鐘}$之降雨強度 $I$： 將延時 $t = 40\text{ min}$ 代入題目所給之雨量公式： $I = \frac{400}{(40 + 21)^{0.67}} = \frac{400}{(61)^{0.67}}$ 經計算 $(61)^{0.67} \approx 15.710$，得： $I = \frac{400}{15.710} \approx 25.46\text{ mm/hr}$

2. 計算 $40\text{ 分鐘}$之累積降雨深度 $P$： $P = I \times \frac{t}{60} = 25.46\text{ mm/hr} \times \frac{40}{60}\text{ hr} \approx 16.97\text{ mm} = 0.01697\text{ m}$

3. 集水區面積換算： A = 30\text{ 公頃} = 30 \times 10{,}000\text{ m^2} = 300{,}000\text{ m^2}

4. 計算逕流體積 $V$： 題目未給定集水區之逕流係數 $C$（或土壤入滲參數），水利工程出流管制與滯洪池安全容量之最保守估計係假設無入滲損失（即 $C = 1.0$）： V = C \times P \times A = 1.0 \times 0.01697\text{ m} \times 300{,}000\text{ m^2} = 5{,}091\text{ m^3} \quad (\text{以未截斷數值精算約為 } 5{,}092.4\text{ m^3}) 若集水區具有特定逕流係數 $C$（$0 < C \le 1$），則逕流體積通式為： V = 5{,}092.4 \times C\text{ m^3}

(二) 以 $20\text{ 分鐘}$為間隔，採交替組體圖法繪出 $3\text{ 小時}$延時的降雨組體圖

1. 基本參數設定：

• 總延時 $T = 3\text{ 小時} = 180\text{ 分鐘}$。
• 時段間隔 $\Delta t = 20\text{ 分鐘}$。
• 總時段數 $N = \frac{180}{20} = 9$ 個時段。
• 中央時段位置為第 $\frac{9 + 1}{2} = 5$ 時段（即 $80 \sim 100\text{ 分鐘}$）。

2. 計算各延時之累積雨深與增量雨深： 依公式 $I(t) = \frac{400}{(t+21)^{0.67}}$ 與 $P(t) = I(t) \times \frac{t}{60}$（單位：$t$ 為 $\mathrm{min}$，$I$ 為 $\mathrm{mm/hr}$，$P$ 為 $\mathrm{mm}$）：

• $t = 20\text{ min} \implies I = \frac{400}{(41)^{0.67}} \approx 33.23\text{ mm/hr} \implies P = 33.23 \times \frac{20}{60} = 11.08\text{ mm}$
• $t = 40\text{ min} \implies I = \frac{400}{(61)^{0.67}} \approx 25.46\text{ mm/hr} \implies P = 25.46 \times \frac{40}{60} = 16.97\text{ mm}$
• $t = 60\text{ min} \implies I = \frac{400}{(81)^{0.67}} \approx 21.06\text{ mm/hr} \implies P = 21.06 \times \frac{60}{60} = 21.06\text{ mm}$
• $t = 80\text{ min} \implies I = \frac{400}{(101)^{0.67}} \approx 18.16\text{ mm/hr} \implies P = 18.16 \times \frac{80}{60} = 24.22\text{ mm}$
• $t = 100\text{ min} \implies I = \frac{400}{(121)^{0.67}} \approx 16.09\text{ mm/hr} \implies P = 16.09 \times \frac{100}{60} = 26.82\text{ mm}$
• $t = 120\text{ min} \implies I = \frac{400}{(141)^{0.67}} \approx 14.52\text{ mm/hr} \implies P = 14.52 \times \frac{120}{60} = 29.05\text{ mm}$
• $t = 140\text{ min} \implies I = \frac{400}{(161)^{0.67}} \approx 13.29\text{ mm/hr} \implies P = 13.29 \times \frac{140}{60} = 31.01\text{ mm}$
• $t = 160\text{ min} \implies I = \frac{400}{(181)^{0.67}} \approx 12.29\text{ mm/hr} \implies P = 12.29 \times \frac{160}{60} = 32.76\text{ mm}$
• $t = 180\text{ min} \implies I = \frac{400}{(201)^{0.67}} \approx 11.45\text{ mm/hr} \implies P = 11.45 \times \frac{180}{60} = 34.36\text{ mm}$

各區間雨量增量 $\Delta P_i = P(t_i) - P(t_{i-1})$ 及排序：

• 增量 1（$0 \sim 20\text{ min}$）：$\Delta P = 11.08 - 0 = 11.08\text{ mm}$（順位 1，最大）
• 增量 2（$20 \sim 40\text{ min}$）：$\Delta P = 16.97 - 11.08 = 5.89\text{ mm}$（順位 2）

核心觀念

本題評量明渠水力學（Open Channel Hydraulics）中的均勻流計算、流態判別及表面重力波（水面擾動）傳遞特性，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 寬廣河道（Wide Channel）水力特性： 當矩形渠道寬度 $B$ 遠大於水深 $y$（通常 $B/y > 10$）時，濕周 $P = B + 2y \approx B$，水力半徑可簡化為： $R = \frac{A}{P} = \frac{B y}{B + 2y} \approx y$
2. 曼寧公式（Manning's Formula）： 在公制單位（SI）下，均勻流速 $V$ 及單位寬度流量 $q$ 為： $V = \frac{1}{n} R^{2/3} S_0^{1/2} = \frac{1}{n} y^{2/3} S_0^{1/2}$ $q = \frac{Q}{B} = V y = \frac{1}{n} y^{5/3} S_0^{1/2}$ 其中 $n$ 為曼寧糙率係數，$S_0$ 為底床坡度。
3. 弗勞德數（Froude Number, $Fr$）與流態判別： 弗勞德數定義為慣性力與重力之比值的平方根，物理意義為水流流速 $V$ 與微小重力表面波波速（Wave Celerity, $c = \sqrt{gy}$）之比值： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gy}} = \frac{V}{c}$

• $Fr < 1$（$y > y_c$ 或 $V < c$）：亞臨界流（Subcritical flow，緩流）。
• $Fr = 1$（$y = y_c$ 或 $V = c$）：臨界流（Critical flow）。
• $Fr > 1$（$y < y_c$ 或 $V > c$）：超臨界流（Supercritical flow，急流）。

4. 表面波傳遞與控制特性： 水面擾動（漣漪）在靜水中的傳播速度為 $c = \sqrt{gy}$。在流水中，相對於岸邊的向上游傳播速度為 $c - V$。當流速 $V > c$（超臨界流）時，淨速度小於零，擾動無法逆流向向傳至上游。

解題方法

(一) 計算穩態均勻流水深與流速

1. 求水深 $y$： 在寬廣河道均勻流條件下，將已知條件帶入單位寬度流量之曼寧公式：

• 單位寬度流量 $q = 6.78\ \mathrm{m^3/s/m}$
• 曼寧係數 $n = 0.02$
• 底床坡度 $S_0 = 0.01$ $q = \frac{1}{n} y^{5/3} S_0^{1/2}$ $6.78 = \frac{1}{0.02} \times y^{5/3} \times (0.01)^{1/2}$ $6.78 = 50 \times y^{5/3} \times 0.1 = 5 y^{5/3}$ $y^{5/3} = \frac{6.78}{5} = 1.356$ 解指數方程式： $y = (1.356)^{3/5} = (1.356)^{0.6} \approx 1.20\ \mathrm{m}$

2. 求流速 $V$： 根據連續方程式 $q = V y$： $V = \frac{q}{y} = \frac{6.78}{1.20} = 5.65\ \mathrm{m/s}$

(二) 判斷流態（亞臨界流、臨界流或超臨界流）

取重力加速度 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，計算弗勞德數 $Fr$： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gy}} = \frac{5.65}{\sqrt{9.81 \times 1.20}} = \frac{5.65}{\sqrt{11.772}} = \frac{5.65}{3.431} \approx 1.65$

亦可由臨界水深 $y_c$ 驗證： $y_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3} = \left(\frac{6.78^2}{9.81}\right)^{1/3} = \left(\frac{45.9684}{9.81}\right)^{1/3} \approx (4.6859)^{1/3} \approx 1.67\ \mathrm{m}$

因水深 $y = 1.20\ \mathrm{m} < y_c = 1.67\ \mathrm{m}$，且 $Fr = 1.65 > 1.0$，此水流為**超臨界流*

核心觀念

本題考核管網水力分析中**並聯管路（Parallel Pipes）之流量分配原理，以及達西－威斯巴哈方程式（Darcy-Weisbach Equation）**的應用。

1. 並聯管路水力平衡： 幹管繞行園區外圍分流為甲、乙兩管並聯，兩管之起點與終點節點水頭相同，因此兩管之摩擦水頭損失（Head Loss）必然相等： $h_{L1} = h_{L2}$
2. 達西－威斯巴哈方程式： 圓管之摩擦水頭損失為： $h_L = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$ 結合連續方程式 $Q = AV = \frac{\pi}{4} D^2 V$，可將水頭損失表示為流量 $Q$ 之函數： $h_L = \frac{8 f L Q^2}{\pi^2 g D^5}$
3. 完全紊流區（Fully Turbulent Flow）： 在完全紊流（粗糙紊流區）下，摩擦因子 $f$ 僅為相對粗糙度之函數；題目已明確給定兩管之摩擦因子 $f$ 相同且管徑相同。

解題方法

1. 建立水頭損失平衡式： 管路甲與管路乙並聯，忽略次要損失（局部損失），其摩擦水頭損失相等： $h_{L1} = h_{L2}$ 代入達西－威斯巴哈方程式： $\frac{8 f_1 L_1 Q_1^2}{\pi^2 g D_1^5} = \frac{8 f_2 L_2 Q_2^2}{\pi^2 g D_2^5}$

2. 化簡比例關係： 已知兩管條件如下：

• 管徑相同：$D_1 = D_2$
• 摩擦因子相同：$f_1 = f_2$
• 重力加速度 $g$ 及常數項相同

將兩側相同之物理量消去，可得簡化關係式： $L_1 Q_1^2 = L_2 Q_2^2$

核心觀念

本題為流體力學中典型的虹吸管（Siphon）水力分析與負壓穴蝕（Cavitation）臨界限制計算題，主要涵蓋以下四項核心觀念與公式：

1. 白努利方程式（Bernoulli's Equation）： 在理想流體（忽略摩擦損失與局部損失）且不可壓縮的穩態流動下，管路中任兩點滿足總水頭守恆： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g}$ 式中 $p$ 為絕對壓力、$\gamma = \rho g$ 為水的單位體積重、$z$ 為位置水頭、$v$ 為流速、$g$ 為重力加速度。
2. 連續方程式（Continuity Equation）： 水管為等斷面積硬管（$A = \text{常數}$），不可壓縮流體在管內各處流速必相等： $Q = A \cdot v \implies v_{\text{管內}} = v_S = v_2$
3. 托里切利定理（Torricelli's Law）： 定水頭水箱自由液面面積遠大於管截面積，液面流速可視為零（$v_1 \approx 0$）。水箱水面與出口大氣壓力相同，出流速度完全由總落差水頭決定： $v_2 = \sqrt{2g \Delta z}$
4. 穴蝕臨界條件（Cavitation Limit）： 虹吸管安裝最高點（駝峰處）為管內絕對壓力最低處。水流不發生穴蝕之安全準則為管內任一點絕對壓力不得低於水之飽和蒸氣壓 $p_v$： $p_S \ge p_v$ 極限不發生穴蝕時取臨界值 $p_S = p_v$。

解題方法

1. 座標與基準面設定

設定水箱底面為高程基準面（$z = 0\ \mathrm{m}$）：

• 截面 1（水箱自由液面）：
• 位置水頭：$z_1 = Y_1 = 3.5\ \mathrm{m}$
• 絕對壓力：$p_1 = p_{\text{atm}} = 100.5\ \mathrm{kPa} = 100500\ \mathrm{N/m^2}$
• 流速水頭：大水箱水面下降極慢，$v_1 \approx 0$
• 截面 2（虹吸管出水口）：
• 位置水頭：出水處位於箱底下方 $Y_2 = 4.5\ \mathrm{m}$，故 $z_2 = -4.5\ \mathrm{m}$
• 總落差定水頭：$\Delta z = z_1 - z_2 = 3.5 - (-4.5) = 8.0\ \mathrm{m}$
• 絕對壓力：排入大氣，$p_2 = p_{\text{atm}} = 100.5\ \mathrm{kPa}$
• 截面 S（水管安裝最高點／峰頂）：
• 位置水頭：設距水箱底面高度為 $z_S = H$
• 臨界壓力：不發生穴蝕之極限狀態 $p_S = p_v = 2.5\ \mathrm{kPa} = 2500\ \mathrm{N/m^2}$
• 流速水頭：管徑均勻，故 $v_S = v_2$

水的物理性質取標準值：密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$，重力加速度取國家考試工科慣用之 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（單位體積重 $\gamma = 9.8\ \mathrm{kN/m^3} = 9800\ \mathrm{N/m^3}$；若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 亦一併列出）。

2. 計算子題 (二)：該水頭之流量（$\mathrm{liter/min}$）

• 優先計算出流速度與流量，可直接為子題 (一) 提供速度水頭數值。

由截面 1（自由液面）至截面 2（出水口）列白努利方程式： $\frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g}$

因 $p_1 = p_2 = p_{\text{atm}}$ 且 $v_1 \approx 0$： $z_1 - z_2 = \frac{v_2^2}{2g} \implies \frac{v_2^2}{2g} = 8.0\ \mathrm{m}$

解出管流流速： $v_2 = \sqrt{2g(z_1 - z_2)} = \sqrt{2 \times 9.8\ \mathrm{m/s^2} \times 8.0\ \mathrm{m}} = \sqrt{156.8} \approx 12.522\ \mathrm{m/s}$ （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $v_2 = \sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.528\ \mathrm{m/s}$）