112 年專技高考高等考試環境工程技師考古題與詳解

Question 1

一個圓板的直徑為 $300\ \mathrm{mm}$，其板面承受一垂直方向的空氣噴流，如圖所示。氣流噴射直徑為 $80\ \mathrm{mm}$，流速為 $40\ \mathrm{m/s}$。氣流通過板面上一個直徑 $20\ \mathrm{mm}$ 的圓孔，通過的氣流速度亦為 $40\ \mathrm{m/s}$。試求維持圓板在水平方向靜止不動的作用力。 空氣密度：$1.23\ \mathrm{kg/m^3}$。 （原卷圖示標示：$40\ \mathrm{m/s}$、$20\ \mathrm{mm}$、$80\ \mathrm{mm}$。）

Accepted Answer

核心觀念 本題使用穩態線動量方程，求空氣噴流對圓板的作用力。噴流沿水平方向撞上圓板後，通過圓孔的部分仍沿水平方向流動；其餘氣流轉為垂直方向，因此垂直流出的氣流沒有水平動量分量。 假設噴流及圓孔流速均為題目所給的 $40\ \mathrm{m/s}$，且各處壓力為大氣壓，則控制體的水平外力為水平動量流率的淨變化。 解題方法 取噴流方向為 $x$ 軸正向。噴流直徑 $Dj=0.08\ \mathrm{m}$，圓孔直徑 $Dh=0.02\ \mathrm{m}$，其截面積分別為 $$ Aj=\frac{\pi}{4}(0.08)^2,\qquad Ah=\frac{\pi}{4}(0.02)^2. $$ 對包含噴流、圓板及流出氣流的控制體套用水平動量方程： $$ \sum Fx =ho\left(\sum{	ext{出口}} VxQ-\sum{	ext{入口}}VxQight). $$

Question 2

連接大管（直徑 $D=0.1\ \mathrm{m}$）的 U 型管兩端，連接大管的形式如下圖所示。U 型管內的液體除大管中的水外，深色液體的密度為 $900\ \mathrm{kg/m^3}$（$=\rhom$）。求大管中的體積流量 $Q$。 其中： - $D=0.1\ \mathrm{m}$ - $h1=2\ \mathrm{m}$ - 水的密度為 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ （圖例僅供參考。原卷圖示標示：$\rhom$、$h1$、$Q$、$D$。）

Accepted Answer

核心觀念 本題是以倒置差壓水柱計量測管內流速。圖中一端連接大管的靜壓孔，另一端連接迎向水流的測壓管，量得的是停滯壓力與靜壓力之差。深色液體密度小於水，因此壓差為 $$ p0-p=\left(\rhow-\rhom\right)g h1 $$ 其中 $p0$ 為停滯壓力、$p$ 為靜壓力，$\rhow$ 為水的密度，$\rhom$ 為深色液體的密度。 再由伯努力方程，停滯壓力與靜壓力之差等於動壓： $$ p0-p=\frac{1}{2}\rhow V^2 $$ 解題方法 由兩式相等，求出大管內平均流速： $$ \frac{1}{2}\rhow V^2 =\left(\rhow-\rhom\right)g h1 $$ $$ V=\sqrt{2g h1\left(1-\frac{\rhom}{\rhow}\right)} $$

Question 3

大管中的液體為水。大管的直徑由 $D1=0.1\ \mathrm{m}$ 縮小為 $D2$。不同管徑上插入的水位計（manometer）形式不同，兩水位計內的水位差為 $0.4\ \mathrm{m}$（$=h$）。試求出管內流量，並以 $D2$ 的函數表示。 （圖例僅供參考。原卷圖示標示：$h$、$D1$、$D2$。）

Accepted Answer

核心觀念

圖中大管處的直立管為測壓管，讀取大管斷面的測壓水頭；小管處彎管的管口迎向水流，為皮托管，讀取小管斷面的總水頭。兩管內都是水，因此水面高程可直接表示相應的水頭。

採用伯努力方程，並假設穩定流、不可壓縮且忽略兩斷面間的能量損失。設大管、小管斷面分別為 1、2。

解題方法

大管測壓管水面高程為

H_1=z_1+\frac{p_1}{\gamma}

小管皮托管水面高程為

H_{0,2}=z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\frac{V_2^2}{2g}

依圖示，皮托管水面比大管測壓管水面高 $h=0.4\ \mathrm{m}$ ，所以

H_{0,2}-H_1=h

伯努力方程為

z_1+\frac{p_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g} = z_2+\frac{p_2}{\gamma}+\frac{V_2^2}{2g}

右側正是小管斷面的皮托管水頭，因此

H_{0,2}-H_1=\frac{V_1^2}{2g}=h

解得大管平均流速：

Question 4

有一個集水區，是由 A、B、C 及 D 四個雨量站的雨量紀錄評估此集水區的降雨量。每小題 4 分，共 20 分。

(一) 此集水區總面積為 $64.6\ \mathrm{km^2}$ 。四個雨量站依據其位置與徐昇多邊形法所評估各站的控制面積百分比如下：

雨量站名	A	B	C	D
控制面積（%）	12	14	48	26

2022 年 6 月 5 日 13 至 19 時，各雨量站的時雨量（ $\mathrm{cm/hr}$ ）紀錄如下：

時間（hr）	14	15	16	17	18
A	0.1	4.0	1.0	0.2	0.1
B	0.2	4.2	2.0	0.5	0.1
C	0.9	5.3	2.0	0.1	0.0
D	1.2	6.0	4.0	0.8	0.3

根據徐昇多邊形法所評估控制面積的分配，計算這場降雨在此集水區的平均總降雨量（ $\mathrm{cm}$ ）。

(二) 該場降雨在本集水區下游河川出口（河口）紀錄的流量如下：

時間（hr）	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
流量（cms）	7	40	67	70	98	120	70	33	16	10	7.6	7

假設基流量為 $7\ \mathrm{cms}$ ，計算本次降雨所造成的直接逕流歷線。

其中， $\mathrm{cms}=\mathrm{m^3/sec}$ 。

(三) 根據(二)所評估的直接逕流歷線，推求此集水區的單位歷線，並計算這場降雨的總有效降雨量（ $\mathrm{cm}$ ）（直接逕流深度）。

(四) 根據(三)所評估的單位歷線，估計本集水區之入滲指數 $\Phi$ 的值，及評估(三)所推求單位歷線的延時（hr）。

(五) 2022 年 8 月 5 日，本集水區發生一場 3 小時的降雨，降雨強度如下表所示，且已經過四個雨量站紀錄的平均。根據(三)的單位歷線及(四)所估計的入滲指數 $\Phi$ ，推求該場降雨在集水區下游河口的流量歷線。基流量如(二)的假設。

時間（hr）	0–1	1–2	2–3
雨量（mm）	20	78	43

Accepted Answer

核心觀念

本題依序使用徐昇多邊形法求流域平均降雨量、扣除基流量取得直接逕流歷線、以直接逕流體積換算有效降雨深度，再將直接逕流歷線除以有效降雨深度，建立單位歷線。最後以 $\Phi$ 指數估算有效降雨，並用單位歷線與有效降雨作離散摺積，推求出口流量歷線。

（一）流域平均總降雨量

依各雨量站控制面積百分比加權，逐時的流域平均雨量為：

時段（hr）	13–14	14–15	15–16	16–17	17–18	18–19
流域平均雨量（cm）	0	0.784	5.172	2.400	0.350	0.104

例如，14–15 時的流域平均雨量為：

0.12(0.1)+0.14(0.2)+0.48(0.9)+0.26(1.2)=0.784\ \mathrm{cm}

因此，這場降雨的平均總降雨量為：

P=0+0.784+5.172+2.400+0.350+0.104 =\boxed{8.810\ \mathrm{cm}}

（二）直接逕流歷線

直接逕流量等於觀測流量扣除基流量 $7\ \mathrm{cms}$ 。負值以零計：

時間（hr）	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
觀測流量（cms）	7	40	67	70	98	120	70	33	16	10	7.6	7
基流量（cms）	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
直接逕流量（cms）	0	33	60	63	91	113	63	26	9	3	0.6	0

（三）單位歷線與總有效降雨量

以每小時為間隔，採梯形法計算直接逕流體積。梯形法的流量時間積分為：

\int Q_d\,dt =\frac{0+0}{2}+33+60+63+91+113+63+26+9+3+0.6 =461.6\ \mathrm{cms\cdot hr}

換算為體積：

V=461.6(3600)=1{,}661{,}760\ \mathrm{m^3}

集水區面積為 $64.6\ \mathrm{km^2}=64.6\times10^6\ \mathrm{m^2}$ ，故總有效降雨深度（直接逕流深度）為：

R_e=\frac{V}{A} =\frac{1{,}661{,}760}{64.6\times10^6} =0.025724\ \mathrm{m} =\boxed{2.5724\ \mathrm{cm}}

單位歷線的定義是：單位深度有效降雨所造成的直接逕流歷線。因此各時刻直接逕流量除以 $2.5724\ \mathrm{cm}$ ，得到每公分有效降雨的單位歷線：

時間（hr）	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
單位歷線（cms/cm）	0	12.83	23.32	24.49	35.38	43.93	24.49	10.11	3.50	1.17	0.23	0

此單位歷線對應的有效降雨延時由（四）求得，為 1 小時。

Question 5

有一個城鎮，面積為 $1\ \mathrm{km^2}$。若區內平均坡度 $S$ 為 $0.005$，現擬重新設計重現期（return period）為 20 年的排水路。根據以往的數據分析，該地區降雨強度—延時—頻率（rainfall intensity-duration-frequency）的關係為 $$ i=\frac{300T^{0.61}}{(t+20)^{0.66}} $$ 其中，$i$ 為降雨強度（$\mathrm{mm/hr}$）；$T$ 為發生頻率（yr）；$t$ 為延時（min）。區內水流的最長距離 $L$ 為 $1200\ \mathrm{m}$。 (一) 使用 $$ tc=0.02\frac{L^{0.77}}{S^{0.385}} $$ 計算集流時間（$tc$），其中 $tc$ 單位為 min；$L$ 單位為 m；$S$ 無因次。（5 分） (二) 根據下表所示土地利用與面積比，評估逕流係數。（5 分） | 土地利用 | 面積（ha） | 逕流係數 | |---|---:|---:| | 道路 | 30 | 0.8 | | 草地 | 20 | 0.4 | | 住宅區 | 50 | 0.3 | (三) 使用合理化公式推算此城鎮 20 年重現期排水路進流口的尖峰流量（設計流量）（$\mathrm{cms}$）。（10 分） $1\ \mathrm{cms}=1\ \mathrm{m^3/sec}$。 $1\ \mathrm{ha}=10^{-2}\ \mathrm{km^2}$。

Accepted Answer

核心觀念

本題使用集流時間估算式、面積加權逕流係數，以及合理化公式計算設計尖峰流量。合理化公式的概念是：降雨延時採集流時間 $t_c$ ，並假設該降雨強度作用於集水區時，流量達到尖峰。

解題方法

（一）計算集流時間

將題目給定的 $L=1200\ \mathrm{m}$ 、 $S=0.005$ 代入：

t_c=0.02\frac{L^{0.77}}{S^{0.385}} =0.02\frac{1200^{0.77}}{0.005^{0.385}} \approx 36.1\ \mathrm{min}

（二）計算加權逕流係數

各土地利用面積合計為 $30+20+50=100\ \mathrm{ha}$ ，加權逕流係數為：

C=\frac{\sum C_jA_j}{\sum A_j} =\frac{(0.8)(30)+(0.4)(20)+(0.3)(50)}{100} =\frac{47}{100} =0.47

（三）計算設計尖峰流量

合理化公式所採降雨延時為集流時間，因此令 $t=t_c=36.1\ \mathrm{min}$ ，重現期 $T=20\ \mathrm{yr}$ 。代入降雨強度—延時—頻率公式：

112 專技高考高等考試環境工程技師流體力學與水文學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

核心觀念

解題方法

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題20 分

核心觀念

（一）流域平均總降雨量

（二）直接逕流歷線

（三）單位歷線與總有效降雨量

第五題20 分

核心觀念

解題方法

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（二）直接逕流歷線

（三）單位歷線與總有效降雨量

第 五 題20 分

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