108 年公務人員升官等薦任水利工程考古題與詳解

Question 1

某一集水區其洪水量紀錄取對數（log）後所獲得的平均值和標準偏差各為 $3.2\ \mathrm{cms}$ 及 $0.15\ \mathrm{cms}$。試利用對數皮爾遜第三類分布（Log Pearson Type III Distribution）及下表其相關頻率因子之資訊，推估該集水區重現期距為 $10$ 年及 $100$ 年之洪水流量大小（假設滿足該分布的偏態係數為 $0.5$）。 | 重現期 | 偏態係數 | 頻率因子 | |---|---:|---:| | $10$ 年 | $2$ | $1.302$ | | $10$ 年 | $1$ | $1.340$ | | $10$ 年 | $0$ | $1.282$ | | $10$ 年 | $-1$ | $1.128$ | | $10$ 年 | $-2$ | $0.895$ | | $100$ 年 | $2$ | $3.605$ | | $100$ 年 | $1$ | $3.022$ | | $100$ 年 | $0$ | $2.326$ | | $100$ 年 | $-1$ | $1.588$ | | $100$ 年 | $-2$ | $0.990$ |

Accepted Answer

核心觀念

本題考查對數皮爾遜第三類分布（Log Pearson Type III Distribution）的頻率分析。先將洪水流量取對數，再以對數流量的平均值、標準偏差及偏態係數估算指定重現期的對數流量：

\log Q_T=\overline{\log Q}+K_T S_{\log Q}

其中， $Q_T$ 為重現期距 $T$ 的洪水流量， $\overline{\log Q}$ 為對數流量平均值， $S_{\log Q}$ 為對數流量標準偏差， $K_T$ 為依重現期與偏態係數查得的頻率因子。

題目所列 $\log Q$ 的平均值及標準偏差，單位應理解為對數流量的統計量；最後再將 $\log Q_T$ 反對數還原為流量。依題目表列偏態係數，使用 $C_s=0.5$ 時，對 $C_s=0$ 與 $C_s=1$ 的頻率因子作線性內插。

解題方法

給定：

\overline{\log Q}=3.2,\qquad S_{\log Q}=0.15,\qquad C_s=0.5

一、重現期距 $10$ 年

表中 $C_s=0$ 時 $K_{10}=1.282$ ， $C_s=1$ 時 $K_{10}=1.340$ 。因 $C_s=0.5$ 位於兩者中間，線性內插得：

K_{10}=1.282+\frac{0.5-0}{1-0}(1.340-1.282) =1.311

代入頻率分析公式：

\log Q_{10}=3.2+(1.311)(0.15)=3.39665

Question 2

已知某一地下含水層 $x$ 方向的水力傳導係數（Hydraulic Conductivity）為 $K_x=10\ \mathrm{m/day}$ ， $y$ 方向的水力傳導係數為 $K_y=20\ \mathrm{m/day}$ 。其測壓水頭 $h$ （Piezometric Head）的平面與 $x$ 和 $y$ 方向的座標具下列函數關係：

h=8x^3+2x^2+y^3+2y+xy

試計算在 $x=1$ 和 $y=2$ 位置處地下水流之達西速度（Darcy’s Velocity）大小及其方向？如果該含水層孔隙率為 $0.3$ ，試計算在相同位置處其地下水流之真實速度大小及其方向？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查地下水的達西定律，以及達西速度與真實速度（孔隙水流速）的差異。 水力傳導係數在 $x$、$y$ 方向不同，屬於異向性含水層。各方向的達西速度分量分別為 $$ qx=-Kx\frac{\partial h}{\partial x}, \qquad qy=-Ky\frac{\partial h}{\partial y} $$ 負號表示地下水由水頭高處流向水頭低處。達西速度的大小為 $$ |\mathbf q|=\sqrt{qx^2+qy^2} $$ 真實速度是水流在孔隙中的平均流速；在孔隙率 $n$ 均勻且流動方向一致時， $$ \mathbf v=\frac{\mathbf q}{n} $$ 因此真實速度方向與達西速度方向相同，大小為達西速度的 $1/n$ 倍。 解題方法 先對水頭函數分別求 $x$、$y$ 方向偏導數： $$ h=8x^3+2x^2+y^3+2y+xy $$ $$ \frac{\partial h}{\partial x}=24x^2+4x+y, \qquad \frac{\partial h}{\partial y}=3y^2+2+x $$ 代入位置 $(x,y)=(1,2)$： $$ \left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|{(1,2)} =24(1)^2+4(1)+2=30 $$ $$ \left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|{(1,2)} =3(2)^2+2+1=15 $$ 因此達西速度分量為 $$ qx=-10(30)=-300\ \mathrm{m/day} $$ $$ qy=-20(15)=-300\ \mathrm{m/day} $$ 兩分量皆為負，故流向是 $x$、$y$ 座標同時遞減的方向。速度大小為

Question 3

(一) 試解釋何謂 $S$ 歷線（$S$ Hydrograph）？及其平衡流量（Equilibrium Discharge）？ (二) 某集水區延時為 $2$ 小時之單位歷線 $U(2,t)$ 如下表所示： | 時間（hr） | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 流量（cms） | $0$ | $20$ | $50$ | $44$ | $24$ | $15$ | $8$ | $3$ | $0$ | 試利用 $S$ 歷線推導延時為 $1$ 小時之單位歷線 $U(1,t)$？

Accepted Answer

核心觀念 $S$ 歷線（$S$ Hydrograph）是將同一集水區、延時為 $D$ 的單位歷線，依固定間隔 $D$ 小時依序平移並相加所得的流量歷線。它代表集水區受到連續、定率有效降雨時的逕流反應。 當各次降雨所造成的流量歷線全部重疊後，$S$ 歷線會趨於定值，此定值稱為平衡流量（Equilibrium Discharge）。若單位歷線代表單位有效降雨深度 $R$，則平衡流量為 $$ Qe=\frac{R}{D}A $$ 其中 $A$ 為集水區面積；採用一致的單位換算後，$Qe$ 即為固定降雨強度所產生的穩定逕流量。 由延時 $D$ 的單位歷線推求延時 $d$ 的單位歷線，可使用 $$ U(d,t)=\frac{D}{d}\left[S(t)-S(t-d)\right] $$ 本題由 $D=2$ 小時推求 $d=1$ 小時單位歷線，因此 $$ U(1,t)=2\left[S(t)-S(t-1)\right] $$ 解題方法 先依 $2$ 小時的間隔將 $U(2,t)$ 平移相加，求得 $S(t)$。再取相隔 $1$ 小時的兩個 $S$ 歷線流量相減，並乘以 $2/1$，即可得到 $U(1,t)$。 依序累加題目所列的 $U(2,t)$： | 時間 $t$（hr） | $U(2,t)$（cms） | $S(t)$（cms） | |---:|---:|---:| | 0 | 0 | 0 | | 1 | 20 | 20 | | 2 | 50 | $50+0=50$ | | 3 | 44 | $44+20=64$ | | 4 | 24 | $24+50+0=74$ | | 5 | 15 | $15+44+20=79$ | | 6 | 8 | $8+24+50+0=82$ | | 7 | 3 | $3+15+44+20=82$ | | 8 | 0 | $0+8+24+50+0=82$ | | 9 | — | $3+15+44+20=82$ |

Question 4

若某一集水區共有四個雨量站 $A$、$B$、$C$、$D$，某延時為 $24$ 小時之暴雨事件在 $A$、$B$、$C$、$D$ 雨量站所測得的雨量分別為 $50\ \mathrm{cm}$、$60\ \mathrm{cm}$、$60\ \mathrm{cm}$、$50\ \mathrm{cm}$。 假設該集水區地勢高程變化不大，其平均雨量可應用徐昇多邊形法（Thiessen Polygons Method）來估計，而雨量站 $A$、$B$、$C$、$D$ 的對應面積大約為 $3\ \mathrm{km^2}$、$2\ \mathrm{km^2}$、$3\ \mathrm{km^2}$、$2\ \mathrm{km^2}$。 假設該集水區在此暴雨事件產生之平均入滲量及地表逕流量分別為 $2	imes10^4\ \mathrm{m^3/hr}$ 和 $1.8	imes10^5\ \mathrm{m^3/hr}$。若忽略土壤中水分的變化量，試計算在此暴雨事件中之漥蓄、截流及蒸發之總平均損失量（以 $\mathrm{m}$ 表示）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查兩個步驟：先用徐昇多邊形法求集水區的面積平均雨量，再以水量平衡計算漥蓄、截流及蒸發的總平均損失量。

徐昇法的平均雨量為各雨量站雨量乘以其代表面積比例後加總：

\bar P=\frac{\sum_i P_iA_i}{\sum_i A_i}

忽略土壤中水分變化時，降雨量扣除入滲量與地表逕流量後，剩餘的水量即為漥蓄、截流及蒸發的總損失量。

解題方法

四站的代表面積總和為：

A_T=3+2+3+2=10\ \mathrm{km^2}

因此事件平均雨量為：

\bar P =\frac{(50)(3)+(60)(2)+(60)(3)+(50)(2)}{10} =55\ \mathrm{cm} =0.55\ \mathrm{m}

將每小時的入滲量與地表逕流量換算成等效水深。由於 $1\ \mathrm{km^2}=10^6\ \mathrm{m^2}$ ，集水區面積為 $10^7\ \mathrm{m^2}$ ，故：

Question 5

(一) 試說明何謂土壤保水曲線（Water Retention Curve）的遲滯（Hysteresis）現象。 (二) 試說明可能造成此遲滯現象的物理機制。

Accepted Answer

核心觀念

土壤保水曲線表示土壤含水量與基質吸力之間的關係。基質吸力常以壓力水頭表示；在同一基質吸力下，土壤含水量會隨孔隙中的水分變化而改變。

遲滯（hysteresis）是指土壤含水量與基質吸力的關係並非單一、可逆的曲線，而會依土壤先前的濕潤或乾燥歷程而不同。從乾燥狀態逐漸加水所得的曲線稱為濕潤曲線；從飽和或較濕狀態逐漸排水所得的曲線稱為乾燥曲線。通常在相同基質吸力下，乾燥曲線的含水量高於濕潤曲線；反過來說，在相同含水量下，乾燥過程所需的基質吸力通常較小。

解題方法與物理機制

本題分兩部分作答：先指出遲滯在保水曲線上的表現，再說明造成濕潤與乾燥路徑不重合的孔隙尺度機制。

墨水瓶效應與孔隙幾何形狀

土壤孔隙常由較大的孔腔與較狹窄的孔喉連接。乾燥時，水分排出孔隙受到孔喉控制；濕潤時，水分進入孔隙則受孔腔與孔喉的不同幾何條件影響。因此，同一孔隙在排水與進水時的臨界壓力不同，造成兩條曲線不重合，稱為墨水瓶效應（ink-bottle effect）。

接觸角與接觸角遲滯

108 公務人員升官等薦任水利工程水文學考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

一、重現期距 $10$ 年

第二題20 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題20 分

核心觀念

解題方法

第五題20 分

核心觀念

解題方法與物理機制

其他考古題

108 年水利工程的其他科目

水利工程《水文學》其他年度

108 公務人員升官等薦任 水利工程 水文學 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

一、重現期距 101010 年

第 二 題20 分

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法與物理機制

其他考古題

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水利工程《水文學》其他年度

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第一題20 分

一、重現期距 $10$ 年

第二題20 分

第三題20 分

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