108 公務人員升官等薦任 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量流體力學運動學（Fluid Kinematics）中最基礎的兩大流動描述架構：拉格朗日法（Lagrangian method）與歐拉法（Eulerian method）。

1. 拉格朗日法（質點法／系統法）：源於古典固體力學（質點力學），著眼於「個別流體質點」的運動歷程，追蹤固定質點在空間中隨時間推移的位置、速度與加速度。
2. 歐拉法（場法／控制體法）：流體力學中最常用的描述方式，著眼於「固定空間位置」，觀察不同時間流經該特定空間點之流體質點的速度、壓力、加速度等物理量變化。
3. 兩者之數學連結：透過實質導數（Material derivative 或 Substantial derivative, $\frac{D}{Dt}$），將歐拉場的速度與加速度轉換為作用於特定流體質點的加速度（即局部加速度加上對流加速度），以適用於牛頓第二運動定律與雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, RTT）。

解題方法

本題為觀念申論題，解題切入點應涵蓋「觀念定義」、「數學表示式」、「物理意義與生活類比」以及「優缺點與實務應用」，層次分明地展開論述：

一、拉格朗日法（Lagrangian Method）

1. 核心概念： 選定並識別單一或特定的流體質點，記錄該質點在流場中運動的軌跡與狀態變化。
2. 數學描述： 以流體質點在初始時刻 $t_0$ 的位置向量 $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$ 作為該質點的標籤（識別標記），質點在任意時刻 $t$ 的位置向量表示為： $\vec{r} = \vec{r}(\vec{r}_0, t)$ 質點之速度向量 $\vec{V}$ 與加速度向量 $\vec{a}$ 即為對時間的偏微分（保持質點標籤 $\vec{r}_0$ 固定）： $\vec{V} = \left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial t}\right)_{\vec{r}_0}$ $\vec{a} = \left(\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}\right)_{\vec{r}_0} = \left(\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2}\right)_{\vec{r}_0}$
3. 物理類比： 如同乘坐在某一艘行駛於河流中的小船上，沿途連續記錄這艘船的速度、加速度與軌跡。
4. 特點與適用性：

• 優點：物理概念直觀，直接對應牛頓運動定律與質點動量守恆。
• 缺點：流體由數以億計的連續微小質點組成，流動時伴隨變形與滑移，追蹤每一個質點的軌跡在數學計算與實驗量測上極為困難。
• 應用：常用於追蹤浮標漂流路徑、大氣污染物或泥砂顆粒的軌跡擴散分析（如 Lagrangian Particle Tracking）。

二、歐拉法（Eulerian Method）

1. 核心概念： 將空間中的坐標點視為固定不變之觀測點（空間場），專注於通過該位置的流體流動特性，而非追蹤流體質點本身。
2. 數學描述： 以固定空間坐標 $(x, y, z)$ 與時間 $t$ 為獨立自變數，建立流場的空間速度場： $\vec{V} = \vec{V}(x, y, z, t) = u(x, y, z, t)\hat{i} + v(x, y, z, t)\hat{j} + w(x, y, z, t)\hat{k}$ 在此方法下，通過該位置之流體質點加速度必須利用實質導數表示： $\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)\vec{V}$ 展開至卡氏坐標（Cartesian coordinates）三個分量： $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}$ $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}$ $a_z = \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}$

• 局部加速度（Local acceleration, $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}$）：因時間變化引起之加速度（若為定常流，此項為零）。

核心觀念

本題旨在評量考生對二維不可壓縮理想流場（位能流，Potential Flow）中，**速度勢函數（Velocity Potential Function）與流線函數（Stream Function）**之定義、物理意義及其幾何特性之推導能力。

1. 二維平面非旋性流（Irrotational Flow）與速度勢函數 $\phi$： 流場無旋性（$\nabla \times \vec{V} = 0$）為純量函數 $\phi(x, y)$ 存在之充分必要條件。速度向量 $\vec{V} = u\hat{i} + v\hat{j}$ 與 $\phi$ 之關係定義為： $u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$ 若流體為不可壓縮（Continuity Equation: $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$），代入後即滿足拉普拉斯方程式（Laplace equation）： $\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$

2. 二維不可壓縮流（Incompressible Flow）與流線函數 $\psi$： 二維連續方程式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ 為流線函數 $\psi(x, y)$ 存在之充分必要條件。速度分量與 $\psi$ 之關係定義為： $u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$ 當流場同時為非旋性流（$\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0$），代入後 $\psi$ 亦滿足拉普拉斯方程式： $\nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = 0$

3. 柯西－黎曼條件（Cauchy-Riemann Equations）： 由上述定義可得兩函數之一階偏微分關係： $\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} = u$ $\frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = v$

4. 平面幾何正交條件： 在二維 $xy$ 平面上，兩族曲線互相垂直（正交）的充分必要條件為：

• 斜率法：交點處兩曲線之切線斜率乘積等於 $-1$（即 $m_1 \cdot m_2 = -1$）。
• 向量梯度法：兩曲線族之法向量內積等於 $0$（即 $\nabla\phi \cdot \nabla\psi = 0$）。

解題方法

本題標準推導採用「全微分切線斜率法」，並可輔以「向量梯度法」互相印證。

【方法一：全微分求切線斜率法（國考閱卷標準推導）】

步驟一：求等勢線（Equipotential lines, $\phi = \text{常數}$）之切線斜率 等勢線之定義為函數值為定值之曲線，沿著此曲線 $\mathrm{d}\phi = 0$。 由全微分公式： $\mathrm{d}\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial \phi}{\partial y}\mathrm{d}y = 0$ 將速度分量定義代入（$\frac{\partial \phi}{\partial x} = u$、$\frac{\partial \phi}{\partial y} = v$）： $u\,\mathrm{d}x + v\,\mathrm{d}y = 0$ 在流場中任一點（$v \neq 0$ 且非滯止點時），可求得等勢線的切線斜率 $m_\phi$： $m_\phi = \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{\phi = \text{常數}} = -\frac{u}{v}$

步驟二：求流線（Streamlines, $\psi = \text{常數}$）之切線斜率 流線之定義為函數值為定值之曲線，沿著此曲線 $\mathrm{d}\psi = 0$。 由全微分公式： $\mathrm{d}\psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial \psi}{\partial y}\mathrm{d}y = 0$

核心觀念

曲面所受靜水壓合力可分解為水平分力與垂直分力：

• 水平分力等於曲面在鉛直面上的投影所受靜水壓力。
• 垂直分力等於曲面上方假想水體的重量，方向依受力對象判斷。本題問水對管壁的作用力，因此垂直分力向下。

水的單位重取 $\gamma=9.81\,\mathrm{kN/m^3}$。

解題方法

圖中水面通過圓心 $O$，$AB$ 是半徑 $R$ 的四分之一圓弧，管長 $L=2\,\mathrm{m}$。

水平投影為寬 $L$、高 $R$ 的鉛直矩形，其形心位於水面下 $R/2$，故

水面、半徑 $OA$、半徑 $OB$ 與曲面 $AB$ 圍成四分之一圓柱形的假想水體。其重量為

核心觀念

比重計靜止浮於液面時，浮力等於重量：

所以排開液體的體積為 $V=m/\rho$。液體比重越小，比重計須排開越多液體，浸入就越深。直桿截面積為 $a$ 時，深度改變 $\Delta h$ 對應的排液體積改變量為 $a\Delta h$。

解題方法

以水的密度 $\rho_w=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ 為基準。比重為 $SG$ 的液體密度為 $SG\,\rho_w$，因此相對於水中的深度差為

代入 $m=0.045\,\mathrm{kg}$、$a=290\,\mathrm{mm^2}=290\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$。

核心觀念

本題考查流體力學中的相似律（Similarity Laws）與模型試驗（Model Testing）。

1. 動力相似性（Dynamic Similarity）之判別：

• 潛水艇在水下全潛航行，周圍流場為全浸沒流動（Fully Submerged Flow），無自由液面（Free Surface）存在，因此不產生重力表面波（興波阻力為零），重力效應可忽略。
• 主導此流場流動特性的主要作用力為慣性力（Inertial Force）與黏滯力（Viscous Force）。
• 兩幾何相似系統欲達成動力相似，必須使掌控流場的無因次參數相等，故應依循雷諾相似律（Reynolds Similarity Law）。

2. 雷諾數（Reynolds Number, $\mathrm{Re}$）定義： $\mathrm{Re} = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu}$ 式中：

• $\rho$ 為流體密度（$\mathrm{kg/m^3}$）
• $V$ 為流體或物體之特徵速度（$\mathrm{m/s}$）
• $L$ 為特徵長度（$\mathrm{m}$）
• $\mu$ 為動力黏滯係數（Dynamic Viscosity, $\mathrm{kg/(m\cdot s)}$ 或 $\mathrm{Pa\cdot s}$）
• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為運動黏滯係數（Kinematic Viscosity, $\mathrm{m^2/s}$）

解題方法

步驟一：整理已知條件與下標設定

• 註標說明：原型（Prototype）以小標 $p$ 表示（流體介質為 $15^\circ\mathrm{C}$ 之水）；模型（Model）以小標 $m$ 表示（流體介質為 $25^\circ\mathrm{C}$ 之空氣）。
• 幾何縮尺比例： $\lambda = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{8} \implies \frac{L_p}{L_m} = 8$ （原型尺寸 $L_p = 2.24\,\mathrm{m}$，對應模型尺寸 $L_m = \frac{2.24}{8} = 0.28\,\mathrm{m}$）
• 原型前進速度： $V_p = 0.560\,\mathrm{m/s}$
• 流體物性參數：
• 水（原型）： $\rho_p = 999.1\,\mathrm{kg/m^3},\quad \mu_p = 1.138\times 10^{-3}\,\mathrm{kg/(m\cdot s)}$ 其運動黏滯係數為： $\nu_p = \frac{\mu_p}{\rho_p} = \frac{1.138\times 10^{-3}}{999.1} \approx 1.1390\times 10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}$
• 空氣（模型）： $\rho_m = 1.184\,\mathrm{kg/m^3},\quad \mu_m = 1.849\times 10^{-5}\,\mathrm{kg/(m\cdot s)}$ 其運動黏滯係數為： $\nu_m = \frac{\mu_m}{\rho_m} = \frac{1.849\times 10^{-5}}{1.184} \approx 1.5617\times 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$

步驟二：建立雷諾相似方程式

要達成模型與原型之動力相似，兩者之雷諾數必須相等： $\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p$ $\frac{\rho_m V_m L_m}{\mu_m} = \frac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p}$ 或以運動黏滯係數表示：