108 國軍退除役轉任公務人員三等 衛生行政 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題以英國兒童平均每晚看電視時間 $\mu_0=196$ 分鐘作為比較基準，檢定臺灣兒童的母體平均時間是否與之不同，屬於單一母體平均數檢定。母體標準差未知，且樣本數 $n=20$，使用單一樣本 $t$ 檢定，自由度為 $n-1=19$。

第二小題要求估計臺灣兒童母體平均時間的 95% 信賴區間，同樣因母體標準差未知而使用 $t$ 分配。

解題方法

（一）臺灣與英國兒童每晚看電視時間是否有差異

題目問「是否有差異」，採雙尾檢定：

已知 $\bar{x}=166$、$s=29$、$n=20$，檢定統計量為：

在顯著水準 $\alpha=0.05$、自由度 $19$ 下，雙尾臨界值為：

因為 $|-4.63|>2.093$，故拒絕虛無假設。臺灣兒童每晚看電視的平均時間與英國兒童有顯著差異；由樣本平均數可知，臺灣樣本平均時間較短。

（二）臺灣兒童每晚看電視平均時間的 95% 信賴區間

母體平均數的 $t$ 信賴區間為：

核心觀念

本題考驗兩母體比例差的信賴區間。令城市居民贊成比例為 $p_1$，鄉村居民贊成比例為 $p_2$，欲估計的差值為 $p_1-p_2$。

兩組為獨立隨機樣本，且樣本數足夠大，可使用兩母體比例差的常態近似信賴區間：

其中 $\hat p_1,\hat p_2$ 是各組樣本比例；95% 信賴區間使用 $z_{0.025}=1.96$。估計兩比例差的信賴區間時，標準誤以兩組各自的樣本比例計算，不使用檢定虛無假設下的合併比例。

解題方法

城市樣本比例為：

鄉村樣本比例為：

因此，樣本比例差為：

標準誤為：

核心觀念

本題比較三組互相獨立學生的期末成績平均數，且三組樣本數相同，應採用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

檢定假設為：

顯著水準為 $\alpha=0.05$。ANOVA 以組間變異與組內變異的比值作為檢定統計量：

若各組平均數相等，組間變異相對於組內變異不應過大；$F$ 值越大，越有證據反對 $H_0$。

解題方法與計算

共有 $k=3$ 組、每組 $n_i=11$ 人，因此總樣本數 $N=33$。各組樣本變異數為標準差平方：

1. 計算總平均數

各組樣本數相同，總平均數為三組平均數的平均：

2. 計算組間平方和

代入各組數據：

核心觀念

本題考單一母體平均數的假設檢定。全國工人因呼吸道疾病請假的平均天數為 $\mu_0=12$ 天，標準差已知為 $\sigma=7.5$ 天；抽樣資料為 $n=100$ 位工人，樣本平均數 $\bar{x}=15$ 天。

題目問工廠工人的平均請假天數是否「高於」全國平均，因此採用右尾單尾檢定。母體標準差已知，且樣本數為 100，可使用標準常態 $Z$ 檢定。

解題方法

設定虛無假設與對立假設：

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，右尾檢定的臨界值為 $z_{0.95}=1.645$。檢定統計量為：

核心觀念

本題是同一批民眾在辯論會前、後各回答一次投票意願，屬於成對類別資料，不能將前後兩次回答視為互相獨立的兩組樣本。應使用 McNemar 檢定，檢驗二分類結果在配對前後是否改變。

設「支持民主黨」為一類、「支持共和黨」為另一類，列成配對四格表：

McNemar 檢定只使用前後答案不一致的兩格：

• $b=55$：民主黨改為共和黨
• $c=27$：共和黨改為民主黨

前後答案一致的 28 人與 27 人不提供「改變方向是否平衡」的檢定資訊。

解題方法

設定虛無與對立假設：

在 $H_0$ 下，前後改變方向相同；在 $H_1$ 下，改變方向不相同。題目問「是否有改變」，採雙尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。

未作連續性修正的 McNemar 檢定統計量為：