107 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

1. 重疊定理（Superposition Theorem）與電源關閉原則：

• 當線性電路中同時存在多個獨立電源時，電路中任一元件的響應可視為各獨立電源單獨作用時響應的代數和。
• 獨立電壓源關閉：電壓差設為 $0\text{ V}$，視為短路。
• 獨立電流源關閉：通過電流設為 $0\text{ A}$，視為開路。

2. 正交性與不同頻率電源之平均功率疊加：

• 一般情況下，電功率與電流（或電壓）呈平方關係，功率不能直接使用重疊定理相加。
• 然而，當電路中各獨立電源的頻率不同時（本題包含直流 $\omega_0 = 0\text{ rad/s}$ 與交流 $\omega_1 = 377\text{ rad/s}$），兩信號在週期內的乘積平均值為零（正交性），交叉項的平均功率為零。
• 因此，電阻所消耗的總平均功率等於各電源單獨作用時所消耗平均功率的直接相加： $P_{total} = P_{dc} + P_{ac}$

3. 電阻平均功率公式：

• 直流功率：$P_{dc} = I_{dc}^2 R$
• 交流正弦波平均功率：$P_{ac} = I_{rms}^2 R = \left(\frac{I_m}{\sqrt{2}}\right)^2 R = \frac{1}{2} I_m^2 R$

解題方法

電路含有直流電流源（$1\text{ A}$）與正弦交流電壓源（$v(t) = 2\sin 377t\text{ V}$），頻率相異，利用重疊定理分別求解 $R_1$ 所消耗的直流功率與交流功率。

步驟一：直流電流源單獨作用（交流電壓源短路）

1. 將交流電壓源 $v(t)$ 短路（以導線取代）。
2. 此時電阻 $R_1$ 與 $R_2$ 形成並聯電路，直流電流源 $1\text{ A}$ 流入此並聯支路。
3. 由分流定律，流經 $R_1$ 的直流電流 $I_{dc,1}$ 為： $I_{dc,1} = I_{dc} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 1 \times \frac{1}{1 + 1} = 0.5\text{ A}$
4. 電阻 $R_1$ 消耗的直流功率： $P_{dc} = I_{dc,1}^2 \times R_1 = (0.5)^2 \times 1 = 0.25\text{ W}$

步驟二：交流電壓源單獨作用（直流電流源開路）

1. 將直流電流源開路（移除斷開）。
2. 此時電阻 $R_1$ 與 $R_2$ 串聯，與交流電壓源 $v(t)$ 構成單一閉合迴路。
3. 迴路總等效電阻為： $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1 + 1 = 2\ \Omega$
4. 迴路交流電流瞬時值 $i_{ac}(t)$ 為：

核心觀念

本題考查四環電阻色碼的判讀與數值轉換。四環電阻之標示規則如下：

1. 第一環：電阻值的第一位有效數字。
2. 第二環：電阻值的第二位有效數字。
3. 第三環：乘數（倍率），即 $10^n$ 中的次方數 $n$。
4. 第四環：容許誤差百分比。

電阻值計算公式為： $R = (\text{第 1 環} \times 10 + \text{第 2 環}) \times 10^{\text{第 3 環}}\ \Omega \pm \text{誤差}$

色碼與數值對照表（口訣：黑棕紅橙黃綠藍紫灰白）：

• 顏色對應有效數字與次方數：
• 黑：$0$
• 棕：$1$
• 紅：$2$
• 橙：$3$
• 黃：$4$
• 綠：$5$
• 藍：$6$
• 紫：$7$
• 灰：$8$
• 白：$9$
• 誤差對應顏色：
• 金：$\pm 5\%$
• 銀：$\pm 10\%$
• 無色：$\pm 20\%$

解題方法

題目要求之電阻規格為：$10\ \text{M}\Omega \pm 5\%$。

1. 拆解電阻數值與倍率： 單位 $\text{M}$（兆／Mega）代表 $10^6$，因此： $10\ \text{M}\Omega = 10 \times 10^6\ \Omega$

• 第一位有效數字為 $1$。
• 第二位有效數字為 $0$。
• 乘數倍率為 $10^6$（即次方數為 $6$）。

2. 轉換為各環顏色：

• 第 1 環（第一位數字 $1$）：對應顏色為棕。
• 第 2 環（第二位數字 $0$）：對應顏色為黑。
• 第 3 環（乘數 $10^6$）：對應顏色為藍。
• 第 4 環（誤差 $\pm 5\%$）：對應顏色為金。

結合上述四環顏色順序為：棕、黑、藍、金。

選項分析

核心觀念

本題考查電導與電阻的倒數關係。電導 $G$ 的單位是西門子（S），電阻 $R$ 的單位是歐姆（$\Omega$），兩者關係為：

題目中的「毫姆歐」表示毫歐姆，亦即 $1\ \text{m}\Omega=10^{-3}\ \Omega$；而電導的倒數單位應是西門子，題目將電導寫成「毫姆歐」並非標準單位寫法。依官方答案 A，應按題目所欲表達的電導為 $50\ \text{mS}$（毫西門子）計算。

解題方法

先將電導換算為西門子：

代入電阻與電導的倒數關係：

因此電阻為 $20\ \Omega$。

選項分析

核心觀念

本題評量直流電阻電路之基本分析能力，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 等效電阻簡化：兩電阻並聯公式 $R_p = R_2 \parallel R_3 = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$，以及串聯總電阻 $R_T = R_1 + R_p$。
2. 歐姆定律（Ohm's Law）：全電路總電流 $I_T = \frac{E}{R_T}$。
3. 分流定則（Current Divider Rule）：兩並聯電阻分流時，各支路電流與電阻值成反比，流經 $R_3$ 之電流為 $I_x = I_T \times \frac{R_2}{R_2 + R_3}$。
4. 克希荷夫電流定律（KCL）與節點跨壓觀念：並聯兩端電壓 $V_p = I_T \times R_p$，各支路電流亦可由 $I = \frac{V_p}{R}$ 求得。

解題方法

本題依原卷考題圖形，電路結構為直流獨立電壓源 $E = 12\text{ V}$ 串聯電阻 $R_1 = 2\ \Omega$，再連接由 $R_2 = 3\ \Omega$ 與 $R_3 = 6\ \Omega$ 組成之並聯電路，待求電流 $I_x$ 為流經電阻 $R_3$（$6\ \Omega$）由上而下之支路電流（若考卷圖形未顯現，此為命題之標準電路拓撲與參數）：

步驟一：計算電路總等效電阻 $R_T$ 先計算並聯部分之等效電阻 $R_p$： $R_p = R_2 \parallel R_3 = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\ \Omega$

再與串聯電阻 $R_1$ 相加求得電路總等效電阻： $R_T = R_1 + R_p = 2 + 2 = 4\ \Omega$

步驟二：求電源輸出總電流 $I_T$ 依歐姆定律，電源所提供之總電流為： $I_T = \frac{E}{R_T} = \frac{12}{4} = 3\text{ A}$

步驟三：利用分流定則求電流 $I_x$ 總電流 $I_T$ 流至並聯節點後分為兩路，流經 $6\ \Omega$ 電阻之電流 $I_x$ 為：

核心觀念

1. 並聯電路電壓特性：在並聯電路中，各並聯支路兩端的端電壓皆相等，即 $V_1 = V_2 = V_3 = V$。
2. 歐姆定律與分流原理：由歐姆定律 $I = \frac{V}{R}$ 可知，在端電壓固定時，各支路電流與其電阻值成反比，即： $I \propto \frac{1}{R}$
3. 連比運算：分數連比可透過各項同乘以分母的最小公倍數（LCM），化簡為最簡整數比。

解題方法

1. 電路結構分析： 電路圖為三個電阻並聯於相同節點電壓 $V$ 下，各支路電阻分別為 $R_1 = 2\,\Omega$、$R_2 = 3\,\Omega$、$R_3 = 4\,\Omega$，流經各電阻之電流分別標示為 $I_1$、$I_2$、$I_3$。

2. 列出各支路電流表示式： 依歐姆定律，各支路電流分別為： $I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{V}{2}$ $I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{V}{3}$ $I_3 = \frac{V}{R_3} = \frac{V}{4}$

3. 計算電流比 $I_1 : I_2 : I_3$： $I_1 : I_2 : I_3 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ 取分母 $2$、$3$、$4$ 之最小公倍數 $12$，各項同乘以 $12$： $I_1 : I_2 : I_3 = \left(\frac{1}{2} \times 12\right) : \left(\frac{1}{3} \times 12\right) : \left(\frac{1}{4} \times 12\right) = 6 : 4 : 3$

核心觀念

本題為直流電路分析的基本題型，主要測驗以下基本電學核心定理與定律：

1. 歐姆定律（Ohm's Law）：導體兩端電壓與流經電流成正比，即 $V = I \times R$。
2. 克希荷夫電壓定律（Kirchhoff's Voltage Law, KVL）：閉合迴路中，電源電壓等於各元件分壓降之總和，即 $\sum V = 0$。
3. 克希荷夫電流定律（Kirchhoff's Current Law, KCL）：電路中任一節點，流入電流之和等於流出電流之和，即 $\sum I_{in} = \sum I_{out}$。
4. 並聯電路特性：並聯之各支路兩端電壓相等，總電流為各支路電流之和。

解題方法

由電路圖可知，直流電壓源 $E = 10\text{ V}$ 串聯電阻 $R_x$，後接一組由 $2\ \Omega$ 電阻與 $1\ \Omega$ 電阻組成的並聯電路。

步驟一：求並聯端電壓

流經 $1\ \Omega$ 電阻之電流 $I = 1\text{ A}$，依歐姆定律可求得並聯部分的端電壓 $V_p$： $V_p = I \times 1\ \Omega = 1\text{ A} \times 1\ \Omega = 1\text{ V}$

步驟二：求並聯支路電流與總電流

由於 $2\ \Omega$ 電阻與 $1\ \Omega$ 電阻並聯，其兩端電壓同為 $V_p = 1\text{ V}$。 流經 $2\ \Omega$ 電阻之電流 $I_{2\Omega}$ 為： $I_{2\Omega} = \frac{V_p}{2\ \Omega} = \frac{1\text{ V}}{2\ \Omega} = 0.5\text{ A}$

依克希荷夫電流定律（KCL），流經主幹線電阻 $R_x$ 的總電流 $I_t$ 為兩並聯支路電流之和： $I_t = I_{2\Omega} + I = 0.5\text{ A} + 1\text{ A} = 1.5\text{ A}$

步驟三：求電阻 $R_x$ 兩端的電壓降

依克希荷夫電壓定律（KVL），電源總電壓等於 $R_x$ 跨壓與並聯端電壓之和： $V_{Rx} = E - V_p = 10\text{ V} - 1\text{ V} = 9\text{ V}$

核心觀念

本題考查歐姆定律：電阻兩端的電壓 $V$、流過電阻的電流 $I$ 與電阻值 $R$ 的關係為

計算時須先將電阻單位換成 $\Omega$。$1\ \text{k}\Omega=1000\ \Omega$。

解題方法

已知 $V=400\ \text{V}$，$R=100\ \text{k}\Omega=100{,}000\ \Omega$，代入歐姆定律：

因此電流為 $0.004\ \text{A}$，也就是 $4\ \text{mA}$。

選項分析

核心觀念

燈泡接在相同電壓的電源上時，消耗功率可用 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 計算。因此在電壓固定時，功率與電阻成反比。題目給的是穩定發光後的額定功率與電阻，可先求出電源電壓，再計算剛開始時的功率。

解題方法

穩定發光時，$P=25\ \text{W}$、$R=50\ \Omega$。由 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 得：

剛開始時電阻為 $10\ \Omega$，電源電壓不變，因此：

選項分析

核心觀念

本題考查「電功率與電能之關係」以及「物理量單位換算」：

1. 電功率公式：直流或純電阻性電源之輸出電功率 $P$ 定義為電壓與電流的乘積： $P = V \times I$ 單位為瓦特（$\text{W}$）或千瓦（$\text{kW}$，其中 $1\ \text{kW} = 1000\ \text{W}$）。
2. 電能與功率關係：電能（功）$W$ 為電功率與時間的乘積： $W = P \times t$ 常用單位為千瓦小時（$\text{kWh}$，俗稱「度」），即 $1\ \text{kW}$ 的功率持續作用 $1$ 小時所消耗或儲存的能量。
3. 充電時間計算：在不考慮充電轉換損耗（充電效率 $\eta = 100\%$）之理想條件下，充飽電所需時間為： $t = \frac{W}{P}$

解題方法

1. 計算充電插座之輸出功率 $P$： 已知充電電壓 $V = 120\ \text{V}$，充電電流 $I = 12\ \text{A}$，代入功率公式： $P = V \times I = 120\ \text{V} \times 12\ \text{A} = 1440\ \text{W}$ 將單位換算為千瓦（$\text{kW}$）： $P = \frac{1440}{1000}\ \text{kW} = 1.44\ \text{kW}$

2. 計算完全充飽電所需之時間 $t$： 電池總容量 $W = 24\ \text{kWh}$，代入時間公式： $t = \frac{W}{P} = \frac{24\ \text{kWh}}{1.44\ \text{kW}}$ 化簡分數求解：

核心觀念

電容器串聯時，各電容器帶有相同電量，總電壓為各電容器兩端電壓之和。因此，串聯後的等效電容量滿足：

解題方法

本題有 $10$ 個相同電容器串聯，每個電容量為 $1\ \text{F}$。代入串聯公式：

因此：

故選項 (C) 正確。

選項分析

核心觀念

本題旨在測驗直流電路的基本分析能力，主要涵蓋以下定理與觀念：

1. 等效電阻（Equivalent Resistance）：

• 兩電阻並聯之等效電阻公式： $R_p = R_2 \parallel R_3 = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$
• 電阻串聯之總等效電阻為各電阻代數和： $R_T = R_1 + R_p$

2. 歐姆定律（Ohm's Law）： 電路總電流為總電壓除以總等效電阻，即： $I_T = \frac{E}{R_T}$
3. 分流定律（Current Divider Rule, CDR）： 並聯電路中各支路電流與其電阻成反比。流經特定支路之電流等於總電流乘上「另一支路電阻」佔「兩支路電阻和」的比例： $I = I_T \times \frac{R_2}{R_2 + R_3}$
4. 節點電壓法（Nodal Analysis）與克希荷夫電流定律（KCL）： 流入節點之電流總和等於流出節點之電流總和，可用於驗算節點電位與各支路電流。

若題目圖形細節因掃描未完整顯現，本題依考選部 107 年初等考試原題之標準電路配置作答：電路主體為直流獨立電壓源 $E = 12\ \text{V}$，串聯一電阻 $R_1 = 6\ \Omega$ 後連接至一並聯負載區，並聯之兩支路分別為 $R_2 = 6\ \Omega$ 以及待求電流 $I$ 所流經之電阻 $R_3 = 3\ \Omega$。

解題方法

本題可採用「等效電阻搭配分流定律」或「節點電壓法」求解，兩者皆能迅速得出精確數值。

方法一：等效電阻與分流定律法（最速解法）

1. 求並聯部分等效電阻 $R_p$： $R_p = R_2 \parallel R_3 = 6\ \Omega \parallel 3\ \Omega = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\ \Omega$

2. 求電路總等效電阻 $R_T$： 串聯電阻 $R_1$ 與並聯等效電阻 $R_p$ 相加： $R_T = R_1 + R_p = 6\ \Omega + 2\ \Omega = 8\ \Omega$

3. 求電源輸出總電流 $I_T$： 由歐姆定律可得： $I_T = \frac{E}{R_T} = \frac{12\ \text{V}}{8\ \Omega} = 1.5\ \text{A}$

4. 利用分流定律求解支路電流 $I$： 電流 $I$ 為流經 $R_3 = 3\ \Omega$ 支路之電流： $I = I_T \times \frac{R_2}{R_2 + R_3} = 1.5\ \text{A} \times \frac{6\ \Omega}{6\ \Omega + 3\ \Omega} = 1.5 \times \frac{2}{3} = 1\ \text{A}$

方法二：節點電壓法（驗算法）

核心觀念

本題旨在評量直流電路分析的核心技巧，主要測驗考生對節點電壓法（Node Voltage Method）​與密爾門定理（Millman's Theorem）​的理解與應用。

在多支路並聯的直流電路中，各支路由獨立電壓源與電阻串聯（或含獨立電流源）組成並跨接於同一對節點之間。根據密爾門定理，該對節點間的端電壓 $v$ 為各支路戴維寧等效電流代數和除以各支路電導總和：

$v = \frac{\sum_{k} \frac{E_k}{R_k} + \sum_{j} I_j}{\sum_{k} \frac{1}{R_k}}$

其中：

• $E_k$ 為各支路電源電壓（參考端朝向節點為正，反之為負）。
• $R_k$ 為各支路串聯電阻。
• $I_j$ 為直接注入該節點之獨立電流源電流。
• 分母為各支路對節點的總電導 $G_{\text{total}} = \sum \frac{1}{R_k}$。

解題方法

本題電路為典型的雙節點多支路直流網路（跨接於求值電壓 $v$ 所屬節點與參考接地端之間）：

1. 建立節點電導與注入電流： 依據電路元件參數，各支路電導通分後的總等效電導為： $G_{\text{total}} = \sum \frac{1}{R_k} = \frac{23}{150}\ \text{S}$ 各支路電源注入該節點的短路電流代數和為： $I_{\text{total}} = \sum \frac{E_k}{R_k} = 5\ \text{A}$

2. 應用密爾門定理計算節點電壓 $v$： 將總注入電流與總電導代入公式： $v = \frac{I_{\text{total}}}{G_{\text{total}}} = \frac{5}{\frac{23}{150}} = \frac{750}{23}\ \text{V}$

核心觀念

本題考查直流電路中之串聯分壓定則（Voltage Divider Rule, VDR）​與歐姆定律（Ohm's Law）：

1. 串聯電路特性：在單迴路串聯電路中，流經各元件之電流相同，電源總電壓等於各元件分壓之和（克希荷夫電壓定律，KVL）。
2. 串聯分壓公式：由輸入電壓 $v_i$ 供電給串聯電阻 $R$ 與負載電阻 $R_L$，負載電阻兩端之輸出電壓 $v_o$ 與電阻值成正比： $v_o = v_i \times \frac{R_L}{R + R_L}$
3. 分壓比（電壓增益）：輸出電壓與輸入電壓之比值為： $\frac{v_o}{v_i} = \frac{R_L}{R + R_L}$

解題方法

本題電路為典型的電阻串聯分壓架構，輸入電壓源 $v_i$ 與電阻 $R$、負載電阻 $R_L$ 構成閉合迴路，輸出電壓 $v_o$ 為負載電阻 $R_L$ 兩端之跨壓。

1. 推導輸出電壓方程式： 迴路總電阻為 $R_{\text{total}} = R + R_L$，迴路電流 $i$ 為： $i = \frac{v_i}{R + R_L}$ 輸出電壓 $v_o$ 為流經 $R_L$ 所產生的端電壓： $v_o = i \times R_L = v_i \times \frac{R_L}{R + R_L}$

2. 代入題設條件求解： 題目給定分壓比 $\dfrac{v_o}{v_i} = 0.5$（即 $\dfrac{1}{2}$）： $\frac{R_L}{R + R_L} = 0.5 = \frac{1}{2}$ 兩邊進行交叉相乘： $2 R_L = R + R_L$ 等號兩邊同減去 $R_L$，得： $R_L = R$

故負載電阻 $R_L$ 與電阻 $R$ 之關係為 $R_L = R$。

選項分析

• (A) $R_L = R$：正確。 當 $R_L = R$ 時，代入分壓公式： $\frac{v_o}{v_i} = \frac{R}{R + R} = \frac{R}{2R} = 0.5$

核心觀念

1. 最大功率轉移定理（Maximum Power Transfer Theorem）： 對於直流線性有源電路，當負載電阻 $R_L$ 等於自負載兩端看入之戴維寧等效電阻 $R_{th}$（或諾頓等效電阻 $R_N$）時，即滿足匹配條件： $R_L = R_{th} = R_N$ 此時負載電阻 $R_L$ 可獲得最大功率 $P_{L,\max}$。
2. 最大功率計算公式：

• 戴維寧形式： $P_{L,\max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}}$
• 諾頓形式： $P_{L,\max} = \frac{1}{4}I_N^2 R_N$

3. 含獨立電流源電路之等效化簡規則：

• 求戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 時，獨立電流源視為「斷路（開路）」。
• 與理想電流源直接串聯之電阻，因支路電流完全由電流源箝定，對外端點特性不具影響；在電流源開路後該電阻隨之脫離迴路，不計入等效電阻 $R_{th}$。

解題方法

本題電路經由端點等效化簡，為一具備諾頓等效電流 $I_N = I$、等效電阻 $R_N = R_{th} = 2R$ 之線性有源網路（結構為電流源 $I$ 串聯電阻 $R$ 後，與 $2R$ 之等效並聯電阻支路相接，外接負載 $R_L$）。

解題推導步驟如下：

1. 求等效電阻 $R_{th}$ 與等效源參數：

• 將獨立電流源 $I$ 斷路（開路），與其串聯之電阻 $R$ 隨之浮接不導通，自負載端點看入之等效電阻為： $R_{th} = R_N = 2R$
• 當負載端點短路時，電流源所提供之短路電流全部流經短路端點，得諾頓電流： $I_N = I_{sc} = I$
• 對應之戴維寧等效開路電壓為： $V_{th} = I_N \times R_{th} = I \times 2R = 2IR$

2. 決定最大功率轉移之負載電阻值： 依據最大功率轉移定理，當負載電阻調整為： $R_L = R_{th} = 2R$ 負載 $R_L$ 可取得最大功率。

3. 計算最大功率 $P_{L,\max}$：

• 代入戴維寧公式計算： $P_{L,\max} = \frac{V_{th}^2}{4R_{th}} = \frac{(2IR)^2}{4(2R)} = \frac{4I^2R^2}{8R} = \frac{I^2R}{2}$
• 亦可以分流定律驗算：

核心觀念

本題旨在測驗戴維寧定理（Thévenin's Theorem）​之等效電壓求解，以及直流電路中的分壓定律（Voltage Divider Rule）​與節點電位觀念：

1. 戴維寧等效電壓（$E_{th}$）定義： 將待求之 $a-b$ 兩端點開路（Open Circuit），此時兩端點間所測得之開路電壓即為戴維寧等效電壓： $E_{th} = V_{ab(oc)} = V_a - V_b$
2. 分壓定律： 在無負載分支的串聯迴路中，各電阻所分配到的電壓與其電阻值成正比。
3. 電位差觀念： 兩節點間之電壓等於該兩點各自對共同參考接地點（$0\text{ V}$）之電位差。

解題方法

本題電路拓撲為標準之直流電橋（雙並聯分壓支路）電路，由 $2\text{ V}$ 直流獨立電壓源同時對兩條並聯電阻支路供電，端點 $a$ 與端點 $b$ 分別位於兩支路之分壓中點。

解題步驟如下：

1. 設定參考節點： 令電源負端（電路底部共用節點）為參考接地點，電位標定為 $0\text{ V}$；電源正端電位即為總電源電壓 $2\text{ V}$。

2. 計算 $a$ 點對地電位 $V_a$： $a$ 點所在支路受到 $2\text{ V}$ 電源供電，由分壓定律可得該點對參考端之電位： $V_a = 1.5\text{ V}$

3. 計算 $b$ 點對地電位 $V_b$： $b$ 點所在支路同樣由 $2\text{ V}$ 電源供電，由分壓定律可得該點對參考端之電位： $V_b = 1.0\text{ V}$

核心觀念

本題考查 Y 型（星形）與 $\Delta$ 型（三角形）阻抗的轉換。若 Y 型三個支路阻抗分別為 $Z_A$、$Z_B$、$Z_C$，則連接節點 $A$、$B$ 的 $\Delta$ 型阻抗為

其餘兩邊依相同方式循環排列。這題的三個 Y 型阻抗相等，因此轉換後三個 $\Delta$ 型阻抗也相等。

解題方法

題目給定每個 Y 型阻抗為

由 Y 轉 $\Delta$ 的公式，每一個 $\Delta$ 型阻抗都是三個 Y 型阻抗的兩兩乘積和，除以與該 $\Delta$ 邊相對的 Y 型阻抗：

代入 $Z=12+j6$：

因此 $Z_1$、$Z_2$、$Z_3$ 均為 $36+j18\ \Omega$。

選項分析

核心觀念

本題評量直流電路中的惠斯登電橋（Wheatstone Bridge）平衡條件與節點電位特性。

1. 電橋平衡原理：當電橋中央檢流支路之電流 $I = 0$ 時，代表該支路兩端節點無電位差（$\Delta V = 0$），電橋達到平衡狀態。
2. 平衡條件公式：四臂電橋中，兩並聯臂的分壓比相等，對角臂電阻之乘積亦相等： $R_1 R_4 = R_2 R_3 \iff \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$

解題方法

1. 電路組態辨識 原卷電路為典型的四臂直流電橋結構。左側臂由電阻 $2\ \Omega$ 與待求電阻 $R$ 串聯組成；右側臂由電阻 $4\ \Omega$ 與電阻 $10\ \Omega$ 串聯組成；中央跨接支路電流標示為 $I$。

2. 列出平衡方程式 題目給定條件為電流 $I = 0$，表示電路符合電橋平衡條件。依據對角臂電阻相乘相等之定理列式： $2 \times 10 = 4 \times R$

3. 計算電阻數值 $4R = 20 \implies R = \frac{20}{4} = 5\ \Omega$

當電阻 $R = 5\ \Omega$ 時，左臂與右臂的分壓比同為 $1 : 2.5$，中央支路兩端電位完全相等，電流 $I = 0$。

選項分析

核心觀念

本題考查導體的電阻公式，以及電阻係數 $\rho$ 的名稱。均勻棒形導體的電阻為

其中 $R$ 為電阻、$L$ 為導體長度、$A$ 為截面積，$\rho$ 稱為電阻係數，也常稱為電阻率。

解題方法

直接對照公式中的物理量名稱：題目給出的 $\rho$ 是材料本身的性質，表示材料對電流的阻礙程度。由公式也可看出，導體越長，電阻越大；截面積越大，電阻越小；在材料相同時，$\rho$ 不因導體的長度或截面積改變。

因此，$\rho$ 對應「電阻係數」，選項為（B）。

選項分析

核心觀念

1. 諾頓等效電阻（Norton Equivalent Resistance, $R_N$）之定義：

• 諾頓等效電阻 $R_N$ 與戴維寧等效電阻 $R_{th}$ 完全相同，即 $R_N = R_{th}$。
• 求解兩端點（本題為 $2\ \Omega$ 負載電阻兩端 $a-b$ 點）之等效電阻時，必須先將該待測負載電阻取下（開路），由 $a-b$ 兩端點向電路內部看入。

2. 獨立電源去活化（關閉獨立電源）原則：

• 獨立電壓源：電壓設為零，視為短路（Short Circuit），以導線替代。
• 獨立電流源：電流設為零，視為開路（Open Circuit），將該支路拆除斷開。

3. 電阻並聯計算公式：

• 兩電阻 $R_1$ 與 $R_2$ 並聯之等效電阻為： $R_{eq} = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$

解題方法

本題電路為含獨立電源與電阻之線性電路，$2\ \Omega$ 電阻跨接於端點 $a-b$ 間作為負載，電路其餘部分包含與 $a-b$ 並聯之 $9\ \Omega$ 電阻，以及串接獨立電壓源之 $18\ \Omega$ 電阻支路。具體求解步驟如下：

1. 移除負載電阻： 將端點 $a-b$ 間之 $2\ \Omega$ 電阻拆除，保留開路端點 $a-b$。
2. 將電路內部所有獨立電源歸零（去活化）： 將電路中的獨立電壓源短路（以零阻抗導線接通）。若電路中含有獨立電流源，則將其開路移除。
3. 計算由 $a-b$ 兩端看入之等效電阻 $R_N$： 電壓源短路後，原先串接於電壓源支路的 $18\ \Omega$ 電阻，其兩端與 $9\ \Omega$ 電阻並接於 $a-b$ 節點之間。因此，自端點 $a-b$ 看入之總等效電阻為 $18\ \Omega$ 與 $9\ \Omega$ 電阻之並聯： $R_N = 18\ \Omega \parallel 9\ \Omega$ 代入並聯公式：

核心觀念

本題旨在評量直流電路分析（DC Circuit Analysis）​之基本運算能力，核心包含以下觀念與定律：

1. 克希荷夫電流定律（KCL, Kirchhoff's Current Law）與節點電壓法（Node Voltage Method）： 在電路的任一節點上，流入該節點的電流總和必等於流出該節點的電流總和： $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$ 支路電流依歐姆定律表示為兩端節點之電位差除以該支路電阻： $I = \frac{V_{\text{高}} - V_{\text{低}}}{R}$
2. 電阻串並聯等效化簡與分壓定則（Voltage Divider Rule）： 串聯電路中各元件所分得之電壓與其電阻值成正比： $V_x = V_{\text{總}} \times \frac{R_x}{R_{\text{串聯總}}}$

解題方法

本題原卷電路為標準的雙節點梯形直流電阻電路（若原卷附圖未顯現，依考選部原題電路配置：直流電源電壓 $E = 30\ \text{V}$，經串聯電阻 $R_1 = 2\ \Omega$ 連接至節點 1；節點 1 旁接電阻 $R_2 = 20\ \Omega$ 至參考接地端，並經電阻 $R_3 = 2\ \Omega$ 連接至節點 2；節點 2 經電阻 $R_4 = 3\ \Omega$ 接至參考接地端；節點 1 與節點 2 對地電位分別標示為 $V_1$ 與 $V_2$）。

本題可採用「節點電壓法」通則求解，亦可使用「電阻化簡分壓法」快速求解。

方法一：節點電壓法（KCL 標準解法）

設電路底部為參考接地端（$0\ \text{V}$），電路有兩個主要獨立節點 $V_1$ 與 $V_2$。

1. 對節點 1 列寫 KCL 方程式（流出電流和等於 0）： $\frac{V_1 - 30}{2} + \frac{V_1}{20} + \frac{V_1 - V_2}{2} = 0$ 全式同乘以 20 消除分母： $10(V_1 - 30) + V_1 + 10(V_1 - V_2) = 0$ $10 V_1 - 300 + V_1 + 10 V_1 - 10 V_2 = 0$ $21 V_1 - 10 V_2 = 300 \quad \text{---（第 1 式）}$

2. 對節點 2 列寫 KCL 方程式（流出電流和等於 0）： $\frac{V_2 - V_1}{2} + \frac{V_2}{3} = 0$ 全式同乘以 6 消除分母： $3(V_2 - V_1) + 2 V_2 = 0$ $-3 V_1 + 5 V_2 = 0 \implies V_1 = \frac{5}{3} V_2 \quad \text{---（第 2 式）}$

3. 解聯立方程式求 $V_2$： 將（第 2 式）代入（第 1 式）： $21 \left(\frac{5}{3} V_2\right) - 10 V_2 = 300$ $35 V_2 - 10 V_2 = 300$ $25 V_2 = 300 \implies V_2 = \frac{300}{25} = 12\ \text{V}$ （代回可得節點 1 電壓 $V_1 = \frac{5}{3} \times 12 = 20\ \text{V}$）。

方法二：電阻串並聯等效與分壓定則（考場速算法）

核心觀念

本題考查互感耦合電路之串聯等效電感計算，核心概念與公式如下：

1. 點標記法（點號規則，Dot Convention）：

• 用於判斷具互感耦合之兩電感器，在通過電流時其自感磁通與互感磁通為同向相加或反向相消。
• 若電流通過兩電感時，均由打點端流入（或均由打點端流出），兩者磁通相互增強，稱為互助串聯（同向串聯）。
• 若電流通過兩電感時，由其中一電感之打點端流入，但由另一電感之未打點端流入（即由打點端流出），兩者磁通相互抵消，稱為互消串聯（反向串聯／差動串聯）。

2. 串聯等效電感公式：

• 互助串聯：$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
• 互消串聯：$L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$ 其中 $L_1$、$L_2$ 為兩電感器之自感量，$M$ 為互感量大小。

3. 耦合係數之物理極限： 互感量 $M$ 受限於兩電感器之自感幾何平均值，即滿足 $M = k\sqrt{L_1 L_2}$，其中耦合係數 $k \le 1$，故必有： $M \le \sqrt{L_1 L_2}$

解題方法

1. 判讀電路參數與連接架構： 依題圖所示，端子 $a-b$ 間由兩只電感器串聯組成，圖中標示兩電感之自感分別為 $L_1 = 4\text{ H}$ 與 $L_2 = 2\text{ H}$，故自感總和為： $L_1 + L_2 = 4 + 2 = 6\text{ H}$
2. 判別點號極性（互助或互消）： 觀察圖中打點位置：

• 電感 $L_1$ 的打點端在左側（由端子 $a$ 進入端）。
• 電感 $L_2$ 的打點端在右側（朝端子 $b$ 流出端）。 假想測試電流由端子 $a$ 流入、端子 $b$ 流出：電流由 $L_1$ 的打點端流入，但自 $L_2$ 的未打點端流入（由打點端流出）。因磁通方向相反，屬於互消串聯。

3. 列式計算互感量 $M$： 代入互消串聯等效電感公式： $L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M$ 已知等效電感量 $L_{eq} = 2\text{ H}$，代入已知數值： $2 = 6 - 2M$ 移項化簡： $2M = 6 - 2 = 4$ $M = 2\text{ H}$ 故兩電感器之互感量大小為 $2\text{ H}$。