108 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量國家考試統計學中四大常用抽樣分配（二項分配、卡方分配、$t$ 分配、標準常態分配）的核心結構與基本統計性質，涵蓋以下重點：

1. 二項分配 $B(n,p)$ 的偏態性：形狀由成功機率 $p$ 主導。其三級動差（偏態係數）為 $\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$。
2. 卡方分配 $\chi^2(m)$ 的形狀特徵與動差：定義域為非負實數 $(0, \infty)$，為右偏分配，其偏態係數為 $\gamma_1 = \sqrt{\frac{8}{m}} > 0$；動差由獨立標準常態平方和推導。
3. $t$ 分配的漸近性質：由定義 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/k}}$（其中 $Z \sim N(0,1)$ 與 $V \sim \chi^2(k)$ 獨立），利用大數法則與史魯茲基定理（Slutsky's Theorem）探討自由度趨近無窮大時的極限行為。
4. 抽樣分配之變異數與存在條件：卡方分配動差恆存在；$t$ 分配之動差階數受限於自由度，變異數存在之充要條件為自由度 $k > 2$。

解題方法

（一）二項隨機變數 $X \sim B(n,p)$ 之偏態走向

隨機變數 $X$ 的動差偏態係數（Skewness Coefficient）為： $\gamma_1 = \frac{\operatorname{E}[(X - \mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$

• 當 $p < 0.5$ 時，$\gamma_1 > 0$，分配呈現右偏（正偏，尾巴拖向右側數值較大處）。
• 當 $p > 0.5$ 時，$\gamma_1 < 0$，分配呈現左偏（負偏，尾巴拖向左側數值較小處）。
• 當 $p = 0.5$ 時，$\gamma_1 = 0$，此時分配以期望值 $\mu = \frac{n}{2}$ 為中心呈現完全對稱。 因此，當 $p$ 愈接近 $0.5$ 時，$|1-2p| \to 0$，偏態係數絕對值趨近於 $0$，$X$ 的分配愈傾向對稱。

（二）卡方隨機變數 $Y \sim \chi^2(m)$ 之偏態屬性

由定義，自由度為 $m$ 的卡方隨機變數可表示為 $m$ 個獨立且服從標準常態分配變數之平方和： $Y = \sum_{i=1}^m Z_i^2, \quad Z_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0,1)$ 其動差偏態係數為： $\gamma_1 = \sqrt{\frac{8}{m}}$ 因自由度 $m$ 為正整數（$m \ge 1$），故 $\gamma_1 > 0$ 恆成立。且卡方分配定義域為 $[0, \infty)$，左側受限於 $0$、右側延伸至正無窮大，因此 $Y$ 的分配屬於右偏（正偏）。

（三）$t$ 隨機變數 $T \sim t(k)$ 之極限逼近性質

根據 $t$ 分配的結構定義： $T = \frac{Z}{\sqrt{V/k}}$ 其中 $Z \sim N(0,1)$，隨機變數 $V \sim \chi^2(k)$，且 $Z$ 與 $V$ 彼此相互獨立。 當自由度 $k \to \infty$ 時，由弱大數法則（WLLN）： $\frac{V}{k} = \frac{\sum_{i=1}^k Z_i^2}{k} \xrightarrow{P} \operatorname{E}(Z_1^2) = 1$ 再根據連續對應定理（Continuous Mapping Theorem）與史魯茲基定理（Slutsky's Theorem）： $\sqrt{\frac{V}{k}} \xrightarrow{P} 1 \implies T = \frac{Z}{\sqrt{V/k}} \xrightarrow{d} \frac{Z}{1} = Z \sim N(0,1)$ 因此，當自由度 $k$ 愈大時，$t$ 分配會愈接近標準常態分配。

核心觀念

本題評量機率論基礎概念，涵蓋「機率加法法則」、「事件獨立性」與「事件互斥性」之定義與判別：

1. 機率加法法則（Addition Rule of Probability）： 對於樣本空間 $S$ 中的任意兩事件 $E_1$ 與 $E_2$，其聯集機率為各自機率之和減去交集機率： $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$

2. 獨立事件（Independent Events）之定義： 兩事件 $E_1$ 與 $E_2$ 統計獨立之充要條件為：交集機率等於各自邊際機率之乘積，即 $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2)$ 若等式不成立，則兩事件相依（dependent）。

3. 互斥事件（Mutually Exclusive Events）之定義： 兩事件 $E_1$ 與 $E_2$ 互斥代表兩事件不可能同時發生，即交集為空集合（$E_1 \cap E_2 = \emptyset$），其機率必滿足： $P(E_1 \cap E_2) = 0$ 若 $P(E_1 \cap E_2) > 0$，則兩事件不互斥。

解題方法

（一）計算 $P(A\cup C)$

依據機率加法法則展開： $P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C)$

已知題目條件：

• $P(A) = 0.35$
• $P(C) = 0.26$
• $P(A \cap C) = 0.091$

代入數值： $P(A \cup C) = 0.35 + 0.26 - 0.091 = 0.61 - 0.091 = 0.519$

（二）判斷 $A$、$C$ 兩事件是否獨立

檢驗獨立之充要條件 $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$：

1. 計算兩事件各自邊際機率的乘積： $P(A) \cdot P(C) = 0.35 \times 0.26 = 0.091$

2. 對照題目給定之交集機率： $P(A \cap C) = 0.091$

3. 結論： 因 $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = 0.091$ 成立，故事件 $A$ 與事件 $C$ 相互獨立（independent）。

（三）判斷 $A$、$B$ 兩事件是否互斥

由互斥事件之定義，若 $A$ 與 $B$ 互斥，則必有 $P(A \cap B) = 0$。

1. 由機率加法法則： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 移項可得交集機率： $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

核心觀念

本題考查離散型隨機變數的期望值、變異數，以及線性轉換的期望值與變異數：

若 $a,b$ 為常數，則：

解題方法

先依各可能取值乘上其機率，分別計算 $E(X)$ 與 $E(X^2)$：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸模型（Simple Linear Regression Model）​之基本參數估計與配適度衡量：

1. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計量：

• 樣本迴歸模型設定為 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$。
• 斜率項 $\hat{\beta}_1$：衡量解釋變數 $X$ 每增加一個單位時，反應變數 $Y$ 平均變動的幅度。其估計式為： $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$
• 截距項 $\hat{\beta}_0$：迴歸直線必通過樣本平均點（重心）$(\bar{x}, \bar{y})$，故其估計式為： $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
• 配適之樣本線性迴歸方程式為： $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$

2. 判定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）：

• 定義為迴歸平方和（$SSR$）占總變異平方和（$SST$）的比例，即模型能解釋反應變數變異的百分比： $R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{\hat{\beta}_1 S_{xy}}{S_{yy}} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$
• 在簡單線性迴歸中，判定係數恰好等於皮爾森積差相關係數（Pearson Correlation Coefficient, $r$）的平方，即 $R^2 = r^2$。

解題方法

（一）求截距項 $\hat{\beta}_0$、斜率 $\hat{\beta}_1$ 及簡單線性迴歸方程式

1. 計算斜率 $\hat{\beta}_1$： 依最小平方法之計算公式，代入題目所給之離均差交叉乘積和 $S_{xy}$ 與自變數離均差平方和 $S_{xx}$： $\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{174880.9}{7675.21} \approx 22.7852$ （若四捨五入至小數點後兩位，則為 $22.79$）

2. 計算截距項 $\hat{\beta}_0$： 利用迴歸線必過點 $(\bar{x}, \bar{y}) = (203.7, 11281.5)$ 之性質： $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 11281.5 - (22.78516 \times 203.7) \approx 6640.1626$ （若以斜率取兩位小數 $\hat{\beta}_1 = 22.79$ 帶入計算，則 $\hat{\beta}_0 = 11281.5 - 22.79 \times 203.7 = 6639.18$）

3. 寫出簡單線性迴歸方程式： 將求得之截距與斜率代入樣本迴歸預測式： $\hat{y} = 6640.1626 + 22.7852x$ （若取至小數點後兩位，表示為 $\hat{y} = 6640.16 + 22.79x$；

核心觀念

本題使用列聯表獨立性卡方檢定，檢驗「分類演算法」與「計算速度」是否有關聯。

• 虛無假設 $H_0$：分類演算法與計算速度相互獨立，兩者無關聯。
• 對立假設 $H_1$：分類演算法與計算速度不獨立，兩者有關聯。
• 檢定統計量為

其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是在 $H_0$ 成立時的期望次數。自由度為

解題方法與計算

列合計皆為 $100$；欄合計為：

• 慢：$78+40+51+1=170$
• 中：$21+57+44+3=125$
• 快：$1+3+5+96=105$

總次數 $n=400$。因此，每一列的期望次數相同：

期望次數表為：

代入觀察次數及期望次數：