107 原住民特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量敘述統計學中資料分配的三大核心特徵：離散區間界限估計、相對離散程度量測，以及分配型態之偏態分析。

1. 柴比氏定理（Chebyshev's Theorem）： 適用於任何分配型態（無論對稱、偏斜或雙峰）。設隨機變數 $X$ 的平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$，對任意常數 $k > 1$，資料落在 $\mu \pm k\sigma$ 區間內的比例至少為： $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$
2. 變異係數（Coefficient of Variation, $CV$）： 衡量相對離散程度的無單位（Unitless）指標，消除了測量單位與數值規模大小的影響： $CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\%$
3. 皮爾森偏度係數（Pearson's Skewness Coefficient）： 當題目已知平均數、中位數與標準差時，採用皮爾森第二偏度係數（Pearson's median skewness coefficient）： $SK = \frac{3(\mu - Me)}{\sigma}$

• $SK = 0$：對稱分配（Symmetric）
• $SK > 0$：右偏分配（正偏，Right-skewed / Positively skewed）
• $SK < 0$：左偏分配（負偏，Left-skewed / Negatively skewed）

解題方法

依題目給定條件：

• 平均數 $\mu = 24\%$
• 標準差 $\sigma = 2\%$
• 中位數 $Me = 25.5\%$

(一) 柴比氏定理之比例估計

1. 計算區間距平均數之標準差倍數 $k$： 目標區間為 $[21\%, 27\%]$。

• 上界：$\mu + k\sigma = 24\% + k(2\%) = 27\% \implies k = \frac{27\% - 24\%}{2\%} = 1.5$
• 下界：$\mu - k\sigma = 24\% - k(2\%) = 21\% \implies k = \frac{24\% - 21\%}{2\%} = 1.5$ 區間為對稱於平均數之 $\mu \pm 1.5\sigma$。

2. 代入柴比氏定理不等式： $P(21\% \le X \le 27\%) = P(\mu - 1.5\sigma \le X \le \mu + 1.5\sigma) \ge 1 - \frac{1}{(1.5)^2}$ $1 - \frac{1}{2.25} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 55.56\%$

因此，商品折扣率介於 $21\%$ 至 $27\%$ 之間的比例至少有 $\frac{5}{9}$（或約 $55.56\%$）。

核心觀念

1. 分割（Partition）與全機率定理（Law of Total Probability）： 當樣本空間 $S$ 可被互斥且互補的事件集合 $\{A, B\}$ 分割（即 $A \cap B = \emptyset$ 且 $A \cup B = S$）時，對於任一事件 $R$，其邊際機率可展開為條件機率的加權平均： $P(R) = P(A)P(R \mid A) + P(B)P(R \mid B)$

2. 伯努力試驗（Bernoulli Trial）與二項分布（Binomial Distribution）： 每台電風扇由母體隨機產出，顏色為紅色（成功，機率為 $p$）或灰色（失敗，機率為 $1-p$）。各台電風扇的顏色彼此獨立。 若隨機變數 $X$ 代表 $n$ 台電風扇中紅色的台數，則 $X \sim \text{Binomial}(n, p)$，其機率質量函數（PMF）為： $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$

3. 獨立隨機變數的聯合機率： 若兩隨機變數 $X_1$ 與 $X_2$ 相互獨立，則其同時發生的聯合機率滿足： $P(X_1 = k, X_2 = k) = P(X_1 = k) \times P(X_2 = k)$

解題方法

符號定義

• 設 $A$、$B$ 分別表示電風扇產自 $A$ 工廠與 $B$ 工廠之事件。
• 設 $R$ 表示電風扇為紅色之事件；$G$ 表示電風扇為灰色之事件（$G = R^c$）。
• 依題意已知： $P(A) = \frac{1}{4}, \quad P(B) = \frac{3}{4}$ $P(R \mid A) = \frac{1}{3}, \quad P(R \mid B) = \frac{7}{9}$

(一) 計算隨機選購一台為紅色的機率 $P(R)$

因為工廠 $A$ 與 $B$ 構成整個生產母體的分割，由全機率定理可得： $P(R) = P(A)P(R \mid A) + P(B)P(R \mid B)$

代入已知數據： $P(R) = \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{7}{9}\right) = \frac{1}{12} + \frac{7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

隨機抽出一台為灰色的機率則為： $P(G) = 1 - P(R) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

(二) 計算 $2$ 家電器商店皆無紅色特殊型電風扇的機率

設隨機變數 $X_1$ 為商店 $S_1$ 庫存中的紅色電風扇台數；$X_2$ 為商店 $S_2$ 庫存中的紅色電風扇台數。 各電風扇顏色之生成視為獨立試驗，則：

• $X_1 \sim \text{Binomial}\left(n_1 = 4, p = \frac{2}{3}\right)$
• $X_2 \sim \text{Binomial}\left(n_2 = 3, p = \frac{2}{3}\right)$
• $X_1$ 與 $X_2$ 相互獨立。

「兩家商店皆無紅色電風扇」意即 $X_1 = 0$ 且 $X_2 = 0$（等價於兩家店合計 $4 + 3 = 7$ 台電風扇全數為灰色）： $P(X_1 = 0 \text{ 且 } X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0)$

分別計算邊際機率： $P(X_1 = 0) = \binom{4}{0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$ $P(X_2 = 0) = \binom{3}{0} \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$

故所求機率為： $P(X_1 = 0, X_2 = 0) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^7 = \frac{1}{2187}$

(三) 計算 $2$ 家電器商店有相同數量之紅色特殊型電風扇的機率

核心觀念

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 若母體分配為任意分配（不論其偏態如何），其母體平均數為 $\mu$、母體標準差為 $\sigma$。當隨機抽取之樣本數 $n$ 夠大（一般統計實務準則為 $n \ge 30$）時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配（Sampling Distribution）將漸進近似於常態分布： $\bar{X} \stackrel{a}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
2. 樣本平均數之抽樣分配參數：

• 抽樣分配平均數（期望值）：$\mu_{\bar{X}} = E(\bar{X}) = \mu$
• 抽樣分配標準差（標準誤，Standard Error）：$\sigma_{\bar{X}} = \text{SD}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 常態分配對稱區間與臨界值： 對於標準常態變數 $Z \sim N(0, 1)$，雙尾各保留 $2.5\%$ 機率（中間涵蓋 $95\%$ 機率）對應之臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$，即： $P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$
4. 信賴區間（Confidence Interval）的頻率學派意義： 母體平均數 $\mu$ 為固定不變的常數值（Parameter），而樣本平均數 $\bar{X}$ 及區間端點 $\bar{X} \pm K$ 為隨機變數。區間 $\bar{X} \pm K$ 包含 $\mu$ 的事件等價於 $|\bar{X} - \mu| \le K$。在長期反覆獨立抽樣下，所建構出的眾多隨機區間中，涵蓋真值 $\mu$ 的區間比例收斂於其理論機率。

解題方法

(一) 樣本平均組裝時間分布之形狀、平均數及標準差

1. 分布形狀： 雖然個別組裝員的組裝時間母體呈現左偏分布，但抽取的樣本數 $n = 45 \ge 30$，已達大樣本門檻。根據中央極限定理（CLT），樣本平均組裝時間 $\bar{X}$ 之抽樣分配近似於常態分布（Normal Distribution）。
2. 平均數： $\mu_{\bar{X}} = E(\bar{X}) = \mu = 25\text{ 分鐘}$
3. 標準差（標準誤）： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{45}} = \frac{8}{3\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{15} \approx 1.1926\text{ 分鐘}$ （若四捨五入取至小數點後兩位，為 $1.19$ 分鐘）。

(二) 求解 $K$ 之值

題目要求樣本平均組裝時間 $\bar{X}$ 落在其抽樣分配平均數 $\mu_{\bar{X}} = 25$ 左右 $K$ 分鐘內的機率為 $95\%$，即： $P(|\bar{X} - \mu_{\bar{X}}| \le K) = 0.95$ 亦即： $P(25 - K \le \bar{X} \le 25 + K) = 0.95$

將 $\bar{X}$ 進行標準化（Standardization），令 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{\bar{X} - 25}{\sigma_{\bar{X}}}$： $P\left(-\frac{K}{\sigma_{\bar{X}}} \le Z \le \frac{K}{\sigma_{\bar{X}}}\right) = 0.95$

因 $Z$ 近似服從標準常態分布 $N(0, 1)$，由標準常態分配表可知，涵蓋中間 $95\%$ 機率之臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$： $\frac{K}{\sigma_{\bar{X}}} = 1.96$

代入第 (一) 小題計算所得之 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{8}{\sqrt{45}}$： $K = 1.96 \times \sigma_{\bar{X}} = 1.96 \times \frac{8}{\sqrt{45}} \approx 1.96 \times 1.19257 \approx 2.3374\text{ 分鐘}$ （若四捨五入取至小數點後兩位，約為 $2.34$ 分鐘）。

(三) 重複抽樣計算區間 $\bar{X} \pm K$ 包含數值 $25$ 之比例與統計解釋

核心觀念

本題為國家考試「統計學」中極具代表性的單一母體平均數之假說檢定與型 II 錯誤（$\beta$）計算題型，核心考點包括：

1. 已知母體標準差之 $Z$ 檢定：歷史資料之標準差視為母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數 $n = 45 \ge 30$，由中央極限定理（Central Limit Theorem），樣本平均數 $\bar{X}$ 服從常態分配，檢定統計量使用標準常態分配 $Z$。
2. 雙尾檢定與決策法則：題目設定「是否有改變」，對立假說應設為不等於（$\neq$），採雙尾檢定。
3. 型 II 錯誤（Type II Error, $\beta$）：當對立假說為真（真實平均數為 $\mu_1 = 0.79$），檢定結果卻未能拒絕虛無假說 $H_0$ 的機率，即 $\beta = P(\text{未拒絕 } H_0 \mid \mu = 0.79)$。
4. 型 II 錯誤之影響因素：樣本數 $n$、顯著水準 $\alpha$、母體標準差 $\sigma$ 及真實母體參數與假設值之差距（效應量）。

解題方法

小題（一）：檢定消費者平均逛百貨公司的時間是否有改變

步驟 1：建立假說

• 虛無假說（$H_0$）：$\mu = 0.75$（平均逛街時間未改變）
• 對立假說（$H_1$）：$\mu \neq 0.75$（平均逛街時間有改變）

步驟 2：選擇檢定統計量 根據歷史資料，已知母體標準差 $\sigma = 0.10$ 小時，抽樣樣本數 $n = 45$。樣本平均數之標準誤（Standard Error）為： $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.10}{\sqrt{45}} = \frac{0.10}{3\sqrt{5}} \approx \frac{0.10}{6.7082} \approx 0.0149 \text{（小時）}$

在 $H_0$ 為真之條件下，檢定統計量為： $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

步驟 3：決定臨界值與拒絕域 題目指定顯著水準 $\alpha = 0.10$。雙尾檢定下，臨界值為 $\pm z_{\alpha/2} = \pm z_{0.05} = \pm 1.645$。 拒絕域（Rejection Region, $RR$）為： $RR = \{ Z \mid |Z| > 1.645 \} \quad \text{或} \quad \{ Z \mid Z > 1.645 \text{ 或 } Z < -1.645 \}$

步驟 4：計算檢定統計量實測值 樣本平均值 $\bar{x} = 0.80$ 小時： $Z^* = \frac{0.80 - 0.75}{0.10 / \sqrt{45}} = \frac{0.05}{0.014907} \approx 3.35$

步驟 5：統計決策與結論 因為實測值 $Z^* = 3.35 > 1.645$，落在拒絕域內，故拒絕虛無假說 $H_0$。 結論：在顯著水準 $\alpha = 0.10$ 下，有充分的統計證據顯示消費者平均逛百貨公司的時間有顯著改變（實質增加）。

小題（二）：計算型 II 錯誤（$\beta$）

步驟 1：求出接受域之樣本平均數臨界界限 在小題（一）之檢定法則下，「未拒絕 $H_0$」的區域為： $-1.645 \le \frac{\bar{X} - 0.75}{\sigma / \sqrt{n}} \le 1.645$ $-1.645 \le \frac{\bar{X} - 0.75}{0.014907} \le 1.645$

還原為原始單位尺度（$\bar{X}$）的不拒絕臨界值： $\bar{X}_L = 0.75 - 1.645 \times 0.014907 = 0.75 - 0.02452 = 0.7255$ $\bar{X}_U = 0.75 + 1.645 \times 0.014907 = 0.75 + 0.02452 = 0.7745$ 即當 $0.7255 \le \bar{X} \le 0.7745$ 時，決策為「不拒絕 $H_0$」。

步驟 2：在真實平均數 $\mu = 0.79$ 下計算型 II 錯誤機率 若真實母體平均數已增加至 $\mu_1 = 0.79$，則 $\bar{X} \sim N\left(0.79, \frac{0.10^2}{45}\right)$。 型 II 錯誤為落入不拒絕域的機率： $\beta = P(0.7255 \le \bar{X} \le 0.7745 \mid \mu = 0.79)$

將界限標準化： $Z_L = \frac{0.7255 - 0.79}{0.014907} = \frac{-0.0645}{0.014907} \approx -4.33$

核心觀念

本題考查雙變數資料分析（Bivariate Data Analysis）與簡單線性相關檢定的核心觀念：

1. 散布圖（Scatter Plot）：以直角座標系呈現兩變數對應觀測點，用以直觀判讀變數間關係之型態（線性或非線性）、方向（正相關或負相關）與緊密程度。
2. 樣本平均數與標準差（Sample Mean and Standard Deviation）：

• 樣本平均數：$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$、$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{n}$
• 樣本標準差（無偏估計量，自由度為 $n-1$）： $s_X = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum X_i^2 - n\bar{X}^2}{n - 1}}$ $s_Y = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{\sum Y_i^2 - n\bar{Y}^2}{n - 1}}$

3. 皮爾森樣本相關係數（Pearson Correlation Coefficient, $r$）： 衡量兩變數間線性關聯程度與方向之無因次指標，定義為樣本共變異數除以兩者標準差之乘積： $r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_x \cdot SS_y}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2 \sum (Y_i - \bar{Y})^2}}$
4. 母體相關係數之假說檢定（Hypothesis Testing for Correlation Coefficient）： 在雙變數常態分配假設下，檢定兩變數是否存在線性關係（即 $H_0: \rho = 0$ 對抗 $H_1: \rho \neq 0$）。檢定統計量服從自由度為 $n-2$ 的 $t$ 分配： $t = \frac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}} \sim t(n - 2)$

解題方法

令車齡為自變數 $X$（單位：年），價格為應變數 $Y$（單位：萬元），資料筆數 $n = 10$。

基礎統計量彙總計算

先計算各變數總和、平方和與交叉乘積和：

• $\sum X_i = 8 + 3 + 6 + 5 + 5 + 2 + 8 + 10 + 9 + 8 = 64$
• $\sum Y_i = 25 + 64 + 45 + 33 + 50 + 78 + 12 + 14 + 35 + 44 = 400$
• $\sum X_i^2 = 8^2 + 3^2 + 6^2 + 5^2 + 5^2 + 2^2 + 8^2 + 10^2 + 9^2 + 8^2 = 64 + 9 + 36 + 25 + 25 + 4 + 64 + 100 + 81 + 64 = 472$
• $\sum Y_i^2 = 25^2 + 64^2 + 45^2 + 33^2 + 50^2 + 78^2 + 12^2 + 14^2 + 35^2 + 44^2 = 625 + 4096 + 2025 + 1089 + 2500 + 6084 + 144 + 196 + 1225 + 1936 = 19920$
• $\sum X_i Y_i = 8(25) + 3(64) + 6(45) + 5(33) + 5(50) + 2(78) + 8(12) + 10(14) + 9(35) + 8(44)$ $= 200 + 192 + 270 + 165 + 250 + 156 + 96 + 140 + 315 + 352 = 2136$

離差平方和與交叉乘積和：

• $SS_x = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 472 - 10(6.4)^2 = 472 - 409.6 = 62.4$
• $SS_y = \sum Y_i^2 - n\bar{Y}^2 = 19920 - 10(40)^2 = 19920 - 16000 = 3920$
• $SS_{xy} = \sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y} = 2136 - 10(6.4)(40) = 2136 - 2560 = -424$

(一) 繪製散布圖

以橫軸（$X$ 軸）代表車齡（年），縱軸（$Y$ 軸）代表價格（萬元），各車座標 $(X_i, Y_i)$ 依序為： $(8, 25), (3, 64), (6, 45), (5, 33), (5, 50), (2, 78), (8, 12), (10, 14), (9, 35), (8, 44)$。

散布圖示意如下：

價格 (萬元)
 ^
80| • (2, 78)
 |
70|
 | • (3, 64)
60|
 |
50| • (5, 50)
 | • (6, 45)
40| • (8, 44)
 | • (5, 33) • (9, 35)
30|
 | • (8, 25)
20|
 | • (10, 14)
10| • (8, 12)
 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---> 車齡 (年)
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

圖形特徵說明： 各資料點呈現自左上方往右下方傾斜之線性分佈趨勢，顯示隨著車齡增加，中古汽車價格呈現明顯下降之趨勢（負向相關）。

(二) 計算樣本平均數與標準差

1. 車齡（$X$）：

• 樣本平均數： $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{（年）}$
• 樣本標準差：