107 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於材料力學中典型的軸向載重靜不定問題（Statically Indeterminate Axial Members）​結合溫度效應（Thermal Effects）。涉及之核心定理與公式如下：

1. 自由熱膨脹變形量公式： $\Delta L_T = \alpha \cdot \Delta T \cdot L$ 其中 $\alpha$ 為熱膨脹係數，$\Delta T$ 為溫差變化量，$L$ 為桿件原始長度。
2. 軸力作用下之彈性軸向變形量公式（虎克定律）： $\Delta L_P = \frac{P L}{E A}$ 其中 $P$ 為軸向力，$E$ 為材料彈性模數，$A$ 為斷面積。
3. 靜力平衡條件： 桿件在無中間外力作用下，全桿內部軸力處處相等，兩端固定端反力大小相等、方向相反。
4. 變形諧和條件（Compatibility Condition）： 兩端固著於堅實剛性牆壁，代表桿件全長總變形量必須為零： $\Delta L_{\text{total}} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = 0$

解題方法

1. 幾何配置與符號假設

依題意與國考慣例，桿件水平置放，左端固定端設為 $A$ 點，中間交界面設為 $C$ 點，右端固定端設為 $B$ 點：

• 左段 $AC$ 為材料 1：$L_1 = 300\ \mathrm{cm}$、$A_1 = 10\ \mathrm{cm^2}$、$E_1 = 2.0\times 10^5\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\alpha_1 = 1.0\times 10^{-5}\ /{}^\circ\mathrm{C}$。
• 右段 $CB$ 為材料 2：$L_2 = 500\ \mathrm{cm}$、$A_2 = 10\ \mathrm{cm^2}$、$E_2 = 1.0\times 10^5\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\alpha_2 = 3.0\times 10^{-5}\ /{}^\circ\mathrm{C}$。
• 均勻升溫 $\Delta T = +500\ {}^\circ\mathrm{C}$。
• 位移與伸長以「向右」為正，壓力以壓縮量計算。

2. 計算各段桿件自由熱膨脹伸長量

• 材料 1（$AC$ 段）： $\Delta L_{1,T} = \alpha_1 \cdot \Delta T \cdot L_1 = (1.0\times 10^{-5})\times 500\times 300 = 1.5\ \mathrm{cm}$
• 材料 2（$CB$ 段）： $\Delta L_{2,T} = \alpha_2 \cdot \Delta T \cdot L_2 = (3.0\times 10^{-5})\times 500\times 500 = 7.5\ \mathrm{cm}$
• 系統若不受約束之總自由熱膨脹量： $\Delta L_T = \Delta L_{1,T} + \Delta L_{2,T} = 1.5 + 7.5 = 9.0\ \mathrm{cm}$

3. 建立變形諧和條件並求解固定端軸力

因兩端固定，牆面反力施加一壓軸力 $R$（固定端軸力），使整根桿件產生機械彈性壓縮量 $\Delta L_P$，總變形量為零： $\Delta L_{\text{total}} = \Delta L_T - \Delta L_P = 0$ $\Delta L_T - R \left( \frac{L_1}{E_1 A_1} + \frac{L_2}{E_2 A_2} \right) = 0$

計算各段之柔度（Flexibility）：

• $\frac{L_1}{E_1 A_1} = \frac{300}{(2.0\times 10^5)\times 10} = \frac{300}{2.0\times 10^6} = 1.5\times 10^{-4}\ \mathrm{cm/kgf}$
• $\frac{L_2}{E_2 A_2} = \frac{500}{(1.0\times 10^5)\times 10} = \frac{500}{1.0\times 10^6} = 5.0\times 10^{-4}\ \mathrm{cm/kgf}$

核心觀念

本題考查材料力學與結構分析中極為經典的分期施工複合梁（Staged Construction Composite Beam）之撓曲應力疊加分析。核心觀念與所用公式如下：

1. 施工階段與疊加原理（Principle of Superposition）：

• 結構在不同施工階段承受不同荷重，其受力斷面特性亦隨之改變。
• 依彈性力學線性疊加原理，最終狀態之應力等於各施工階段引發應力之代數和： $\sigma_{\text{total}} = \sigma_{\text{階段I}} + \sigma_{\text{階段II}}$

2. 斷面形心軸（中性軸，Neutral Axis, N.A.）位置： $\bar{y} = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
3. 平行軸定理（Parallel Axis Theorem）求斷面慣性矩： $I_x = \sum \left( I_{oi} + A_i d_i^2 \right)$
4. 梁之撓曲應力公式（Flexure Formula）： $\sigma = -\frac{M y}{I}$ （以梁受正彎矩為例，中性軸上方受壓為負，下方受拉為正；$y$ 為距中性軸之垂直距離）
5. 簡支梁在均布載重與中央集中荷重下之最大彎矩： $M_{\text{均布}} = \frac{w L^2}{8},\quad M_{\text{集中}} = \frac{P L}{4}$

解題方法

一、斷面幾何性質計算

梁與版材料相同（$E = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{kgf/cm^2}$），斷面模數比 $n = \frac{E_{\text{slab}}}{E_{\text{beam}}} = 1.0$，無需進行換算斷面折減。

1. 單獨預鑄梁斷面特性（矩形 $b_1 = 30\ \mathrm{cm},\ h_1 = 50\ \mathrm{cm}$）：

• 面積：$A_1 = 30 \times 50 = 1{,}500\ \mathrm{cm^2}$
• 形心距底面：$y_1 = \frac{50}{2} = 25\ \mathrm{cm}$
• 慣性矩： $I_1 = \frac{1}{12} b_1 h_1^3 = \frac{1}{12} \times 30 \times 50^3 = 312{,}500\ \mathrm{cm^4}$
• 斷面模數：$S_1 = \frac{I_1}{c_1} = \frac{312{,}500}{25} = 12{,}500\ \mathrm{cm^3}$

2. 合成 T 形斷面特性（翼版 $b_2 = 60\ \mathrm{cm},\ h_2 = 10\ \mathrm{cm}$，腹梁 $30 \times 50\ \mathrm{cm}$）：

• 翼版面積：$A_2 = 60 \times 10 = 600\ \mathrm{cm^2}$，形心距底面 $y_2 = 50 + \frac{10}{2} = 55\ \mathrm{cm}$
• 總斷面面積：$A = A_1 + A_2 = 1{,}500 + 600 = 2{,}100\ \mathrm{cm^2}$
• 合成斷面形心軸 $\bar{y}$（以預鑄梁底面為基準）： $\bar{y} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A} = \frac{1{,}500 \times 25 + 600 \times 55}{2{,}100} = \frac{37{,}500 + 33{,}000}{2{,}100} = \frac{70{,}500}{2{,}100} = \frac{235}{7}\ \mathrm{cm} \approx 33.571\ \mathrm{cm}$
• 合成斷面之慣性矩 $I_c$（平行軸定理）：
• 腹梁部分： $I_{c1} = I_1 + A_1 \left( y_1 - \bar{y} \right)^2 = 312{,}500 + 1{,}500 \times \left( 25 - \frac{235}{7} \right)^2 = 312{,}500 + 1{,}500 \times \left( -\frac{60}{7} \right)^2 = 312{,}500 + \frac{5{,}400{,}000}{49}$
• 翼版部分： $I_{c2} = \frac{1}{12} b_2 h_2^3 + A_2 \left( y_2 - \bar{y} \right)^2 = \frac{1}{12} \times 60 \times 10^3 + 600 \times \left( 55 - \frac{235}{7} \right)^2 = 5{,}000 + 600 \times \left( \frac{150}{7} \right)^2 = 5{,}000 + \frac{13{,}500{,}000}{49}$
• 合成慣性矩總和： $I_c = 312{,}500 + 5{,}000 + \frac{5{,}400{,}000 + 13{,}500{,}000}{49} = 317{,}500 + \frac{18{,}900{,}000}{49} = 317{,}500 + \frac{2{,}700{,}000}{7} = \frac{4{,}922{,}500}{7}\ \mathrm{cm^4} \approx 703{,}214.29\ \mathrm{cm^4}$

二、各階段載重與中央截面彎矩

材料單位重 $\gamma = 2{,}000\ \mathrm{kgf/m^3} = 2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{kgf/cm^3}$，跨度 $L = 1{,}000\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{m}$。

1. 預鑄梁自重 $w_1$： $w_1 = \gamma \times A_1 = \left( 2.0 \times 10^{-3} \right) \times 1{,}500 = 3.0\ \mathrm{kgf/cm} = 300\ \mathrm{kgf/m}$ 中央彎矩： $M_1 = \frac{w_1 L^2}{8} = \frac{300 \times 10^2}{8} = 3{,}750\ \mathrm{kgf\cdot m} = 375{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$

2. 版自重 $w_2$： $w_2 = \gamma \times A_2 = \left( 2.0 \times 10^{-3} \right) \times 600 = 1.2\ \mathrm{kgf/cm} = 120\ \mathrm{kgf/m}$ 中央彎矩： $M_2 = \frac{w_2 L^2}{8} = \frac{120 \times 10^2}{8} = 1{,}500\ \mathrm{kgf\cdot m} = 150{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$

3. 外加中央集中荷重 $P = 6{,}000\ \mathrm{kgf}$： 中央彎矩： $M_P = \frac{P L}{4} = \frac{6{,}000 \times 10}{4} = 15{,}000\ \mathrm{kgf\cdot m} = 1{,}500{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$

核心觀念

本題屬於彈性支承之靜不定梁分析（材料力學與結構學交集題型），核心考點包含：

1. 結構靜不定度判斷：系統為一維平面梁構材，承受垂直向載重，未知支承反力共 3 個（彈簧 1、2、3 之反力 $R_1, R_2, R_3$），平面垂直向可用的靜力平衡方程式為 $\sum F_y = 0$ 與 $\sum M = 0$ 共 2 式，故靜不定度為： $\text{靜不定度} = 3 - 2 = 1\ (\text{一次靜不定})$
2. 對稱力矩平衡：外力 $Q$ 與中央彈簧反力 $R_2$ 均作用於跨度中央點 $B$，取 $B$ 點力矩平衡 $\sum M_B = 0$，可直接導出兩端彈簧受力必定相等（$R_1 = R_3$），大幅簡化求解未知數。
3. 力法（柔度法）與變形諧和條件（Compatibility Condition）：

• 梁在中央點 $B$ 的總向下位移 $\Delta_B$，由「兩端彈簧壓縮引致的剛體下陷」與「梁身受彎矩之彈性撓度」疊加而成。
• 該位移必須等於中央彈簧 2 的受壓變形量，即： $\Delta_B = \Delta_{B,\text{支承下陷}} + \delta_{\text{梁撓度}} = \frac{R_2}{k_2}$

4. 簡支梁跨中受集中載重之撓度公式： $\delta = \frac{P L^3}{48EI}$

解題方法

步驟一：靜力平衡分析

設彈簧 1、2、3 對梁所施加之向上支承力分別為 $R_1, R_2, R_3$（即彈簧受壓力量）。

1. 對中央 $B$ 點取力矩平衡： $\sum M_B = 0 \implies R_1 \times AB - R_3 \times BC = 0$ 代入 $AB = BC = 500\ \mathrm{cm}$： $500 R_1 - 500 R_3 = 0 \implies R_1 = R_3$
2. 垂直方向力平衡： $\sum F_y = 0 \implies R_1 + R_2 + R_3 - Q = 0$ 代入 $R_3 = R_1$ 及 $Q = 8{,}000\ \mathrm{kgf}$： $2R_1 + R_2 = 8{,}000 \implies R_1 = R_3 = \frac{8{,}000 - R_2}{2} = 4{,}000 - 0.5R_2$

步驟二：建立變形諧和條件

以 $R_2$ 為多餘力（Redundant Force），梁跨中 $B$ 點所承受的淨向下作用力為： $P_{\text{net}} = Q - R_2 = 8{,}000 - R_2$

跨中 $B$ 點之總向下垂直位移 $\Delta_B$ 包含兩部分：

1. 端點彈簧壓縮引起的基線平均下陷量 $\Delta_{B,\text{支承下陷}}$：

• $A$ 點向下位移：$\Delta_A = \dfrac{R_1}{k_1}$
• $C$ 點向下位移：$\Delta_C = \dfrac{R_3}{k_3}$
• 因 $B$ 點位於 $AC$ 跨度中央點，其基線之平均下陷位移為： $\Delta_{B,\text{支承下陷}} = \frac{\Delta_A + \Delta_C}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{R_1}{k_1} + \frac{R_3}{k_3}\right)$ 將 $R_1 = R_3 = \dfrac{Q - R_2}{2}$ 代入： $\Delta_{B,\text{支承下陷}} = \frac{Q - R_2}{4}\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_3}\right)$

2. 梁身受彎曲變形之相對撓度 $\delta_{\text{梁撓度}}$： 依題目提示，簡支梁受跨中集中載重 $P_{\text{net}}$ 之撓度為： $\delta_{\text{梁撓度}} = \frac{P_{\text{net}} L^3}{48EI} = \frac{(Q - R_2) L^3}{48EI}$ 其中全跨長度 $L = AB + BC = 500 + 500 = 1{,}000\ \mathrm{cm}$。

3. 諧和方程式： 梁於 $B$ 點之總位移必須等於彈簧 2 的壓縮量 $\Delta_B = \dfrac{R_2}{k_2}$： $\frac{R_2}{k_2} = \frac{Q - R_2}{4}\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_3}\right) + \frac{(Q - R_2) L^3}{48EI}$

步驟三：代入數值計算各項柔度

1. 彈簧 2 之柔度： $f_2 = \frac{1}{k_2} = \frac{1}{3{,}000}\ \mathrm{cm/kgf}$

2. 兩端支承下陷折算至 $B$ 點之等效柔度： $\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_3} = \frac{1}{2{,}000} + \frac{1}{4{,}000} = \frac{3}{4{,}000}\ \mathrm{cm/kgf}$

核心觀念

本題屬於靜不定結構學中之「移動載重」（Moving Loads）與「影響線」（Influence Lines, I.L.）分析，核心評量重點包含：

1. 靜不定梁之影響線推導：依據密勒—布雷斯勞原理（Müller-Breslau Principle）或諧和變形法（Force Method / Consistency of Displacements）、三彎矩方程式（Three-Moment Equation），建立兩等跨連續梁外側支承反力 $R_A$ 之影響線函數方程式。
2. 移動集中載重群之最不利配置：利用影響線函數之單調性（一階導數小於零），判別前後輪軸載重配置於梁上何處時可使支承 $A$ 產生極大反力。
3. 載重效應疊加：汽車前、後軸重為固定軸距之集中載重群，最大反力即為各輪軸載重與其所在位置影響線縱距（Ordinate）乘積之代數和。

解題方法

步驟一：推導支承反力 $R_A$ 之影響線方程式

設雙跨連續梁 $ABC$ 之左跨 $AB = L = 8.0\ \mathrm{m}$、右跨 $BC = L = 8.0\ \mathrm{m}$，梁之抗彎剛度 $EI$ 為常數。 設有一向下之單位集中載重 $P = 1$ 作用於 $AB$ 跨，距離 $A$ 點之距離為 $x$（$0 \le x \le L$）。

1. 求中間支承 $B$ 處之連續梁負彎矩 $M_B$： 簡支跨 $AB$ 在單位載重作用下，右端 $B$ 點之簡支轉角為： $\theta_{BA0} = \frac{P x (L^2 - x^2)}{6EI L}$ 由支承 $B$ 處轉角連續條件（$\theta_{BA} = \theta_{BC}$）： $\theta_{BA0} - \frac{M_B L}{3EI} = \frac{M_B L}{3EI} \implies \frac{2 M_B L}{3EI} = \frac{P x (L^2 - x^2)}{6EI L}$ 解得支承 $B$ 處之彎矩為： $M_B = \frac{P x (L^2 - x^2)}{4 L^2}$

2. 建立 $A$ 點反力 $R_A$ 之影響線方程式： 取跨間 $AB$ 為自由體，對支承 $B$ 取力矩平衡（$\sum M_B = 0$）： $R_A \cdot L - P (L - x) + M_B = 0$ $R_A(x) = P \frac{L - x}{L} - \frac{M_B}{L} = 1 - \frac{x}{L} - \frac{x (L^2 - x^2)}{4 L^3}$ 整理可得 $R_A$ 在 $0 \le x \le L$ 區間之影響線函數： $I.L.(R_A) = 1 - \frac{5}{4}\left(\frac{x}{L}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{x}{L}\right)^3$ 將 $L = 8.0\ \mathrm{m}$ 代入，得： $I.L.(R_A) = 1 - \frac{5}{32} x + \frac{1}{2048} x^3 \quad (0 \le x \le 8.0\ \mathrm{m})$

若單位載重 $P=1$ 移至 $BC$ 跨，因連續梁在 $BC$ 跨受載時對 $AB$ 跨產生向上翹起趨勢，$R_A$ 恆為負值（向下引力），故產生最大向上反力時汽車絕不可置於 $BC$ 跨。

步驟二：分析最不利載重配置位置

汽車前、後軸距 $d = 4.0\ \mathrm{m}$，各輪軸重均為 $W_{AX} = 1.0\ \mathrm{tf}$。 在 $0 \le x \le 8.0\ \mathrm{m}$ 範圍內，對影響線函數微分： $\frac{d}{dx} I.L.(R_A) = -\frac{5}{32} + \frac{3}{2048} x^2$ 當 $x \in [0, 8.0\ \mathrm{m}]$ 時，其最大值發生於 $x = 8.0\ \mathrm{m}$：