107 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計） 考古題詳解

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土（RC）單筋矩形梁抗彎設計之基礎極限狀態與破壞控制準則，依據命題當年（民國 107 年）適用之「混凝土結構設計規範」（民國 100 年修正版）與 ACI 318 規範：

1. 最小鋼筋比（$\rho_{min}$）：防止無預警脆性「開裂即破壞」，確保構件受彎開裂後仍具有延展性儲備。
2. 平衡鋼筋比（$\rho_b$）：界定梁「拉力控制（延性破壞）」與「壓力控制（脆性破壞）」的分界狀態，依據極限應變相容假定與水平合力平衡條件推導。

解題方法

一、最小鋼筋比（$\rho_{min}$）之意義與公式

1. 工程意義與設計目的：

• 防止脆性斷裂破壞：若梁內受拉鋼筋配置量過少，當外力彎矩達到混凝土之開裂彎矩 $M_{cr}$ 時，受拉側混凝土一旦開裂，拉應力瞬間轉移給拉力鋼筋承受；此時若鋼筋降伏強度不足以抵抗開裂彎矩，鋼筋將立即降伏甚至拉斷，造成毫無預警的驟然脆性倒塌（其行為如同無筋混凝土純梁）。
• 延展性儲備保證：規範要求斷面公稱抗彎強度 $M_n$ 至少大於開裂彎矩之 1.2 倍（即 $M_n \ge 1.2 M_{cr}$），促使構件在破壞前能產生肉眼可見之顯著裂縫與變形警告。

2. 相應公式： 依規範規定，單筋矩形梁之受拉鋼筋量 $A_s$ 不得小於 $A_{s,min}$，以鋼筋比 $\rho = \frac{A_s}{b_w d}$ 表示，最小鋼筋比公式如下：

• 公制單位（$\text{kgf/cm}^2$ 制）： $\rho_{min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y}, \; \frac{14}{f_y} \right)$
• SI 單位（$\text{MPa}$ 制）： $\rho_{min} = \max\left( \frac{0.25\sqrt{f'_c}}{f_y}, \; \frac{1.4}{f_y} \right)$
• 例外放寬規定：若斷面於受彎各處配置之鋼筋面積均大於結構分析所需鋼筋量之三分之一以上（即 $A_{s,\text{提供}} \ge \frac{4}{3} A_{s,\text{需求}}$），則可不受上述 $\rho_{min}$ 之限制。

二、平衡鋼筋比（$\rho_b$）之意義與公式

1. 工程意義與破壞特徵：

• 平衡應變狀態定義：指構件受彎達到極限狀態時，受拉鋼筋恰好達到降伏應變（$\epsilon_s = \epsilon_y = \frac{f_y}{E_s}$）的同時，受壓側最外緣混凝土應變也恰好達到其極限壓應變（規範取 $\epsilon_u = 0.003$）。
• 破壞模式之分界標準：
• 若實際鋼筋比 $\rho < \rho_b$（少筋梁）：鋼筋先降伏後混凝土始壓碎，呈現具有大撓度、寬裂縫警告的「延性破壞（拉力破壞）」。
• 若實際鋼筋比 $\rho > \rho_b$（過筋梁）：混凝土先達極限應變壓碎而鋼筋尚未降伏，呈現突發性無預警的「脆性破壞（壓力破壞）」。
• 為確保結構安全性，梁斷面設計嚴禁設計為過筋梁，規範以往限制梁之最大鋼筋比不得超過 $0.75\rho_b$。

2. 推導過程與相應公式：

• 幾何應變關係（平截面假定）： 根據應變線性分佈三角形幾何比例： $\frac{c_b}{d} = \frac{\epsilon_u}{\epsilon_u + \epsilon_y} = \frac{0.003}{0.003 + \frac{f_y}{E_s}}$ 代入鋼筋彈性模數 $E_s = 2.04 \times 10^6\text{ kgf/cm}^2$（若為 SI 制取 $E_s = 2.0 \times 10^5\text{ MPa}$）：
• $\text{kgf/cm}^2$ 制：$\frac{c_b}{d} = \frac{6120}{6120 + f_y}$
• $\text{MPa}$ 制：$\frac{c_b}{d} = \frac{600}{600 + f_y}$
• 內部水平力平衡條件（受壓合力 $C_c =$ 受拉合力 $T$）： $C_c = 0.85 f'_c \cdot a_b \cdot b = 0.85 f'_c (\beta_1 c_b) b$ $T = A_{sb} f_y = \rho_b b d f_y$ 兩式平衡：

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）適用之《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100）第 5.11 至 5.13 節為準。（現行規範雖已依 ACI 318-19 更新章節編號，但無側移構材細長柱之二階效應力學架構與彎矩放大法公式均相同）。

1. 細長柱判定門檻（無側移構材）： 依規範規定，無側移（Braced / Non-sway）RC 柱，當細長比滿足下式時可忽略細長效應，視為短柱： $\frac{k \ell_u}{r} \le 34 - 12\left(\frac{M_1}{M_2}\right) \le 40$ 若 $\dfrac{k \ell_u}{r}$ 超過此限值，則必須依細長柱進行設計，考量 $P\text{-}\delta$ 二次效應。
2. 無側移構材彎矩放大法（Moment Magnification Method）： 設計放大彎矩 $M_c$ 為： $M_c = \delta_{ns} M_2$ 放大因數 $\delta_{ns}$： $\delta_{ns} = \frac{C_m}{1 - \dfrac{P_u}{0.75 P_c}} \ge 1.0$ 其中：

• 等效均勻彎矩因數：$C_m = 0.6 + 0.4\left(\dfrac{M_1}{M_2}\right) \ge 0.4$。柱彎曲呈單曲率時 $M_1/M_2$ 取正值；呈雙曲率時取負值。
• 歐拉臨界挫屈載重：$P_c = \dfrac{\pi^2 EI}{(k \ell_u)^2}$。
• 柱之彎曲剛度 $EI$ 可採規範之簡化式或精確式評估：
• 簡化式：$EI = \dfrac{0.4 E_c I_g}{1 + \beta_d}$
• 精確式：$EI = \dfrac{0.2 E_c I_g + E_s I_{se}}{1 + \beta_d}$

3. 最小偏心距檢核： 設計較大端彎矩不得小於最小設計彎矩 $M_{2,\min} = P_u (1.5 + 0.03h)$，以防止實際構件初期幾何瑕疵引發過早挫屈。

解題方法

步驟一：計算細長比並判斷是否為細長柱

• 淨高 $\ell_u = 8\ \text{m} = 800\ \text{cm}$
• 有效長度因數 $k = 1.0$
• 迴轉半徑 $r = 0.3h = 0.3 \times 60 = 18\ \text{cm}$
• 構材實際細長比： $\frac{k \ell_u}{r} = \frac{1.0 \times 800}{18} \approx 44.44$
• 短柱限值檢核： 規範規定無側移柱細長比上限為 $34 - 12(M_1/M_2) \le 40$。 本題不論受彎為單曲率（限值 $34 - 12 \times 0.5 = 28$）或雙曲率（限值 $34 - 12 \times (-0.5) = 40$），其上限絕對值均不超過 $40$。 現 $\dfrac{k \ell_u}{r} = 44.44 > 40$，故此柱確定為細長柱，必須進行彎矩放大計算。

步驟二：檢核最小設計端彎矩 $M_2$

• 柱斷面尺寸 $h = 60\ \text{cm}$，設計軸壓力 $P_u = 350\ \text{tf}$。
• 最小偏心距 $e_{\min} = 1.5 + 0.03h = 1.5 + 0.03 \times 60 = 3.3\ \text{cm} = 0.033\ \text{m}$。
• 最小設計彎矩： $M_{2,\min} = P_u \times e_{\min} = 350 \times 0.033 = 11.55\ \text{tf-m}$
• 柱端較大設計彎矩 $M_{u2} = 50\ \text{tf-m} > M_{2,\min} = 11.55\ \text{tf-m}$，符合規定，取 $M_2 = 50\ \text{tf-m}$。

步驟三：計算柱之撓曲剛度 $EI$ 與臨界挫屈載重 $P_c$

1. 材料與幾何參數：

• 混凝土彈性模數： $E_c = 15{,}000 \sqrt{f'_c} = 15{,}000 \sqrt{280} \approx 250{,}998\ \text{kgf/cm}^2$
• 全斷面慣性矩： $I_g = \frac{b h^3}{12} = \frac{60 \times 60^3}{12} = 1{,}080{,}000\ \text{cm}^4$
• 軸向靜載重比值 $\beta_d = 0.35$。

2. 採用規範標準簡化公式（公式 5-17，無需假定保護層厚度）： $EI = \frac{0.4 E_c I_g}{1 + \beta_d} = \frac{0.4 \times 250{,}998 \times 1{,}080{,}000}{1 + 0.35} = \frac{1.0843 \times 10^{11}}{1.35} = 8.032 \times 10^{10}\ \text{kgf}\cdot\text{cm}^2$

核心觀念

本題評量鋼結構容許應力設計法（ASD）中，I 型對稱斷面鋼梁受強軸彎矩作用時之「側向扭轉挫屈（Lateral-Torsional Buckling, LTB）」容許應力計算原理與公式物理背景。 本題以命題當年（民國 107 年）內政部頒布之《鋼結構容許應力設計法規範及解說》（ASD）為準（現行鋼結構設計多已採極限設計法 LRFD 或整合成單一規範，但解題仍以命題當年規範為準）。

1. 理論側向扭轉挫屈臨界力矩（$M_{cr}$）： 雙對稱 I 型梁在彈性範圍內之側向扭轉挫屈臨界彎矩由兩種抗力機構共同提供： $M_{cr} = \frac{\pi}{L_b} \sqrt{E I_y G J + \left(\frac{\pi E}{L_b}\right)^2 I_y C_w}$ 式中包含兩大項貢獻：

• 第一項 $E I_y G J$：由聖維南純扭轉勁度（St. Venant Torsion Rigidity, $G J$）與側向弱軸彎曲所提供之抗力。
• 第二項 $\left(\frac{\pi E}{L_b}\right)^2 I_y C_w$：由翼板繞弱軸反向彎曲所產生之翹曲扭轉勁度（Warping Torsion Rigidity, $E C_w$）所提供之抗力。

2. ASD 規範兩大容許彎曲應力公式： 為簡化工程計算，ASD 規範將上述兩項抗力分別單獨考慮，各推導出一條梁曲線：

• 公式一（以長細比 $l/r_T$ 表示）：基於柱挫屈比擬（Column analogy），考慮受壓翼板側向彎曲與翹曲阻抗，但完全忽略聖維南純扭轉阻抗（令 $G J \approx 0$）。
• 非彈性挫屈範圍（$\sqrt{\frac{102 \times 10^3 C_b}{F_y}} \le \frac{l}{r_T} \le \sqrt{\frac{510 \times 10^3 C_b}{F_y}}$）： $F_b = \left[ \frac{2}{3} - \frac{F_y (l/r_T)^2}{1530 \times 10^3 C_b} \right] F_y \le 0.60 F_y$
• 彈性挫屈範圍（$\frac{l}{r_T} \ge \sqrt{\frac{510 \times 10^3 C_b}{F_y}}$）： $F_b = \frac{170 \times 10^3 C_b}{(l/r_T)^2} \le 0.60 F_y$
• 公式二（以 $l \cdot d / A_f$ 表示）：基於梁之純扭轉阻抗，但完全忽略兩側翼板翹曲阻抗（令 $C_w \approx 0$）： $F_b = \frac{83 \times 10^3 C_b}{l \cdot d / A_f} \le 0.60 F_y$ （其中 $l$ 為未支撐長度 $L_b$，$r_T$ 為受壓翼板加上 $1/3$ 受壓腹板對弱軸之迴轉半徑，$d$ 為梁深，$A_f$ 為受壓翼板面積，$C_b$ 為彎矩梯度折減修正係數）。

解題方法

針對題目兩大提問，從力學原理與規範邏輯切入說明：

1. 曲線（I）與曲線（II）之差異性

圖二所示之兩條梁曲線，分別對應前述兩套不同力學假設下所推導之容許彎矩應力曲線：

1. 抗力機制假設不同：

• 曲線（I）——翹曲抗力控制模式（$l/r_T$ 公式）： 將「受壓翼板加上 $1/3$ 受壓腹板」視為受壓柱繞弱軸挫屈，著重於翼板的側向抗彎與翹曲抗扭剛度（Warping resistance），但忽略了斷面整體的純扭轉剛度（$GJ$）。
• 曲線（II）——純扭轉抗力控制模式（$l \cdot d / A_f$ 公式）： 著重於梁截面的聖維南純扭轉剛度（St. Venant torsion resistance），但忽略了兩翼板側向反向彎曲所發揮之翹曲剛度（$C_w$）。

2. 與長度之函數關係不同：

• 曲線（I）在彈性區之容許應力與未支撐長度的平方成反比（$\propto 1/L_b^2$，歐拉雙曲線型態），隨長度增加衰減較快。

核心觀念

本題旨在測驗鋼結構在「有側移構架（Sway Frame）」中，受到重力靠桿（Leaning Columns）影響時的二階效應分析與梁柱（Beam-Column）強度檢核。依據民國 107 年當時適用之《鋼結構容許應力設計法規範及解說》與《鋼構造建築物鋼結構設計技術規範》（極限設計法 LRFD）：

1. 靠桿效應（Leaning Column Effect）與側移彎矩放大因子 $B_2$：

• 靠桿（上下端皆鉸接之重力柱）本身側向勁度為零，不提供任何抗側力，但其承載之垂直載重會在側移時產生額外的 $P$-$\Delta$ 效應，該額外的側向倒塌負擔必須由同樓層具抗側力之剛架柱共同承擔。
• 樓層側移彎矩放大因子公式： $B_2 = \frac{1}{1 - \dfrac{\sum P_u}{\sum P_{e2}}}$ 其中 $\sum P_u$ 為該樓層「所有柱」（包含靠桿）所承受之總設計垂直載重；$\sum P_{e2}$ 為該樓層「所有抗側力柱」之側移彈性挫屈強度總和。

2. 側移挫屈長度與等效長度係數：

• 柱頂轉動受拘束（剛體樓版 $\theta=0$）、柱底鉸接（$M=0$）且可側移之單柱，其理論側移有效長度係數為 $K = 2.0$。
• 歐拉挫屈荷重： $P_{e2} = \frac{\pi^2 E I_x}{(K L)^2}$
• 當考慮靠桿效應時，抗側力柱之等效側移有效長度係數依 Yura 系統挫屈理論可表示為： $K_{eff} = K \sqrt{\frac{\sum P_{story}}{\sum P_{frame}}}$

3. 二階設計彎矩 $M_u$：

• 二階彎矩公式為 $M_u = B_1 M_{nt} + B_2 M_{lt}$。題目明定一階分析不計 $P$ 造成之彎矩（即無橫向載重及構件偏心，無側移彎矩 $M_{nt} = 0$），故設計彎矩簡化為： $M_u = B_2 M_{lt}$

4. 梁柱軸力與彎矩交互作用檢核（LRFD 規範）：

• 斷面依題意僅考慮平面內挫屈且不計局部挫屈，無側向扭轉挫屈（LTB），標稱抗彎強度達到塑性彎矩 $M_n = M_p = F_y Z_x$（$\phi_b = 0.90$）。
• 設計軸壓強度 $\phi_c P_n$（$\phi_c = 0.85$）依柱細長參數 $\lambda_c = \dfrac{K L}{r_x \pi} \sqrt{\dfrac{F_y}{E}}$ 計算：
• 若 $\lambda_c \le 1.5$：$F_{cr} = \left(0.658^{\lambda_c^2}\right) F_y$
• 若 $\lambda_c > 1.5$：$F_{cr} = \left(\dfrac{0.877}{\lambda_c^2}\right) F_y$
• $P_n = F_{cr} A$
• 交互作用方程式（LRFD 公式 H1-1a / H1-1b）：
• 若 $\dfrac{P_u}{\phi_c P_n} \ge 0.2$： $\frac{P_u}{\phi_c P_n} + \frac{8}{9} \frac{M_u}{\phi_b M_n} \le 1.0$
• 若 $\dfrac{P_u}{\phi_c P_n} < 0.2$： $\frac{P_u}{2 \phi_c P_n} + \frac{M_u}{\phi_b M_n} \le 1.0$

解題方法

一、構架基本參數與一階內力分析

1. 基本斷面與幾何特性：

• 柱長度 $L = 6\text{ m} = 600\text{ cm}$
• 材料特性：$F_y = 2.5\text{ tf/cm}^2$、$E = 2{,}040\text{ tf/cm}^2$
• W12×106 斷面特性： $A = 201\text{ cm}^2$、$I_x = 38{,}600\text{ cm}^4$、$Z_x = 2{,}670\text{ cm}^3$、$r_x = 13.9\text{ cm}$

2. 構架柱群側向勁度分配：

• 全構架共有 7 根柱，其中：
• 靠桿（1）、（3）、（5）、（7）共 4 根，上下端鉸接，側向抗剪勁度 $k = 0$。
• 抗側力柱（2）、（4）、（6）共 3 根，頂端與剛性樓版剛接（$\theta = 0$），底端鉸接（$M = 0$），單柱側向剪力勁度為 $k = \dfrac{3 E I_x}{L^3}$。
• 3 根抗側力柱性質完全相同，均勻分擔總側力 $H = 10\text{ tf}$： $V_4 = \frac{H}{3} = \frac{10}{3}\text{ tf} \approx 3.333\text{ tf}$

3. 鋼柱（4）之一階內力：

• 軸力：$P_u = P = 100\text{ tf}$
• 一階側移柱頂彎矩： $M_{lt} = V_4 \times L = \left(\frac{10}{3}\text{ tf}\right) \times 6\text{ m} = 20\text{ tf}\cdot\text{m} = 2{,}000\text{ tf}\cdot\text{cm}$
• 一階非側移彎矩：$M_{nt} = 0$

二、（一）求鋼柱（4）之彎矩放大因子 $B_2$

單根抗側力柱在 $K = 2.0$ 下之歐拉挫屈荷重 $P_{e2}$： $P_{e2} = \frac{\pi^2 E I_x}{(K L)^2} = \frac{\pi^2 \times 2{,}040 \times 38{,}600}{(2.0 \times 600)^2} = \frac{777{,}172.2}{1{,}440{,}000} \approx 539.70\text{ tf}$

3 根抗側力柱之總側移彈性挫屈荷重： $\sum P_{e2} = 3 \times P_{e2} = 3 \times 539.70 = 1{,}619.11\text{ tf}$

(a) 不考慮靠桿效應（$K$ 取 $2.0$）

不考慮靠桿效應時，樓層總垂直載重僅計入 3 根抗側力柱自身的載重（或視為單柱獨立受力）： $\sum P_u = 3 \times P = 3 \times 100 = 300\text{ tf}$ $\frac{\sum P_u}{\sum P_{e2}} = \frac{300}{1{,}619.11} = \frac{100}{539.70} \approx 0.1853$

計算 $B_2$： $B_2 = \frac{1}{1 - \dfrac{\sum P_u}{\sum P_{e2}}} = \frac{1}{1 - 0.1853} = \frac{1}{0.8147} \approx 1.2275 \approx 1.23$

(b) 考慮靠桿效應

考慮靠桿效應時，全樓層 7 根柱之垂直重力均參與引發側移 $P$-$\Delta$ 效應： $\sum P_u = 7 \times P = 7 \times 100 = 700\text{ tf}$ 抗側力系統仍僅由 3 根柱提供勁度，故 $\sum P_{e2} = 1{,}619.11\text{ tf}$： $\frac{\sum P_u}{\sum P_{e2}} = \frac{700}{1{,}619.11} \approx 0.4323$

計算 $B_2$： $B_2 = \frac{1}{1 - \dfrac{\sum P_u}{\sum P_{e2}}} = \frac{1}{1 - 0.4323} = \frac{1}{0.5677} \approx 1.7614 \approx 1.76$

驗算（利用 Yura 等效長度係數法）： $K_{eff} = K \sqrt{\frac{\sum P_u}{\sum P_{frame}}} = 2.0 \sqrt{\frac{700}{300}} = 2.0 \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 3.055$ $P_{e2,eff} = \frac{\pi^2 E I_x}{(K_{eff} L)^2} = \frac{539.70}{7/3} \approx 231.30\text{ tf}$ $B_2 = \frac{1}{1 - \dfrac{P_u}{P_{e2,eff}}} = \frac{1}{1 - \dfrac{100}{231.30}} \approx 1.7614 \approx 1.76 \quad (\text{完全吻合})$

三、（二）檢核鋼柱（4）之安全性

1. 設計抗彎強度 $\phi_b M_n$

題目說明僅考慮平面內挫屈、不計平面外挫屈且不計局部挫屈，因此無側向扭轉挫屈（LTB）：