107 地方特考三等 測量製圖 航空測量學 考古題詳解

核心觀念

1. 二維仿射轉換（2D Affine Transformation）的幾何意義： 在地形平坦（地面高程無顯著起伏，$Z \approx \text{常數}$）且為近似垂直攝影（傾角微小，$t \approx 0^\circ$）之條件下，像片上的高差位移與傾斜位移均極微小，地面坐標與像平面坐標間的投影關係可由嚴密共線條件方程式簡化為「二維仿射轉換模型」。仿射轉換具備 6 個自由參數，能吸收坐標原點平移（2 個）、旋轉（1 個）、兩軸尺度不等（2 個）與非正交之剪切歪斜（1 個），為平坦地幾何糾正之經典近似模型。
2. 最小二乘平差（Least Squares Adjustment）： 每個地面控制點（GCP）可提供 2 個坐標方程式。解算 6 個轉換參數至少需 3 個均勻分布且不共線的控制點；若控制點數 $n > 3$，即存在多餘觀測，須以最小二乘平差法求解最弱化幾何殘差的最佳參數解，並檢驗幾何精度。
3. 數位影像糾正之「間接法」（Indirect Method）與數值重新取樣（Resampling）： 要從原影像「產生一張數位影像」，若採直接投影（從原像算地面坐標）會造成輸出影像像素空缺（Holes）或重疊。實務上必採「間接法（反向變換法）」：先建立地面幾何規則網格，再反算回原像坐標，因反算之坐標通常為浮點數，必須配合「數值重新取樣（灰度內插）」賦予像素灰度值。

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解題方法

（一）處理所需之數學式

要完成幾何轉換與數位影像重建，所需數學式包含「幾何轉換模型」、「最小二乘平差式」與「數值重新取樣內插式」三大核心：

1. 二維仿射轉換方程式（幾何模型）

數位影像糾正實務採間接法（由地面網格反算原影像位置），其反向仿射轉換式為： $l = a_0 + a_1 E + a_2 N$ $s = b_0 + b_1 E + b_2 N$ 式中：

• $(E, N)$ 為地面坐標（以公尺為單位）。
• $(l, s)$ 為影像坐標，分別代表行（Line）與列／樣點（Sample）。
• $a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2$ 為待求之 6 個仿射轉換參數。

註：若由影像坐標推求地面坐標的正向方程式，形式相同： $E = c_0 + c_1 l + c_2 s$ $N = d_0 + d_1 l + d_2 s$

2. 最小二乘平差方程式（參數求解）

設量測 $n$ 個地面控制點（$n \ge 3$），第 $i$ 點之觀測誤差方程式矩陣形式為： $V = A X - L$ 展開為： $\begin{bmatrix} v_{l_1} \\ v_{s_1} \\ \vdots \\ v_{l_n} \\ v_{s_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & E_1 & N_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & E_1 & N_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & E_n & N_n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & E_n & N_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} l_1 \\ s_1 \\ \vdots \\ l_n \\ s_n \end{bmatrix}$ 根據最小二乘準則（$V^T P V = \min$，等權時權矩陣 $P = I$），正則方程式（Normal Equation）之解為： $\hat{X} = (A^T P A)^{-1} A^T P L$ 平差後之單位權中誤差（幾何套合精度）為： $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{2n - 6}}$

3. 灰度值重新取樣式（以雙線性內插法 Bilinear Interpolation 為例）

反算所得之影像坐標 $(l, s)$ 通常非整數。設其整數部分為 $i = \lfloor l \rfloor, j = \lfloor s \rfloor$，小數偏移量為 $\Delta l = l - i, \Delta s = s - j$（其中 $0 \le \Delta l, \Delta s < 1$），新影像在該點之灰度值 $g(l, s)$ 由其周圍 4 個相鄰像素值內插而得： $g(l, s) = (1 - \Delta l)(1 - \Delta s) g(i, j) + \Delta l (1 - \Delta s) g(i+1, j) + (1 - \Delta l)\Delta s \, g(i, j+1) + \Delta l \Delta s \, g(i+1, j+1)$

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（二）處理之程序

將原始影像套合至地面坐標並產製新數位影像，完整作業流程依序如下：

1. 控制點選取與影像坐標量測：

• 在欲糾正之數位航空影像上均勻辨識出 $n$ 個已知地面坐標 $(E_i, N_i)$ 之地面控制點（GCPs, $n \ge 4$ 為佳，保留部分作為獨立檢核點）。

核心觀念

本題旨在考查單張空照影像幾何定位結合**數值地形模型（DTM）**求取地面三維坐標之原理與數值運算流程（常應用於正射影像產製中之反算或單影像空間定位）。其核心學理與觀念如下：

1. 共線條件（Collinearity Condition）： 光學中心（攝影中心）、像點與對應之地面物點，三者在曝光瞬間位於同一直線上。單張像片可提供 $2$ 個獨立的共線條件方程式，但地面點坐標有 $3$ 個未知數 $(X, Y, Z)$，屬欠定系統（Degrees of Freedom = $-1$），無法單由一張像片解求物點三維空間坐標。
2. 數值表面約束（DTM Constraint）： 引入 DTM 作為輔助幾何約束，提供第 $3$ 個方程式 $Z = f_{DTM}(X, Y)$。此時具備 $3$ 個方程式與 $3$ 個未知數，系統閉合可解。
3. 非線性曲面數值求解： 由於 DTM 地表為離散網格或非線性曲面，無法直接以代數解析法一次求出封閉解，工程上普遍採用**空間光線追蹤疊代法（Ray-Tracing / Height Iteration Method）**求解。

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解題方法

本題依題意分為「計算所需之數學式」與「處理之程序」兩部分進行推導與說明。

（一）計算所需之數學式（10 分）

1. 內方位改正數學式

量測之像點坐標 $(x', y')$ 需先透過內方位參數（主點坐標 $(x_0, y_0)$、相機像距 $f$）及透鏡畸變差 $(\Delta x, \Delta y)$ 改正為理想像平面坐標 $(x, y)$： $x = (x' - x_0) - \Delta x$ $y = (y' - y_0) - \Delta y$ 像空間坐標向量表為： $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ -f \end{bmatrix}$

2. 外方位參數與空間光線方向向量

設攝影中心地面坐標為 $(X_L, Y_L, Z_L)$，像空間坐標系相對於地面測量坐標系之 $3 \times 3$ 正交旋轉矩陣為 $\mathbf{R}$（由外方位角元素 $\omega, \phi, \kappa$ 組成）： $\mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$ 由像空間轉換至地面空間的光線方向向量 $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} U & V & W \end{bmatrix}^T$ 為： $\begin{bmatrix} U \\ V \\ W \end{bmatrix} = \mathbf{R}^T \begin{bmatrix} x \\ y \\ -f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{21} & r_{31} \\ r_{12} & r_{22} & r_{32} \\ r_{13} & r_{23} & r_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ -f \end{bmatrix}$ 即： $U = r_{11} x + r_{21} y - r_{31} f$ $V = r_{12} x + r_{22} y - r_{32} f$ $W = r_{13} x + r_{23} y - r_{33} f$

3. 空間光線參數方程式（共線條件式變形）

依據共線條件，地面點 $(X, Y, Z)$ 位於通過 $(X_L, Y_L, Z_L)$ 且方向為 $\begin{bmatrix} U & V & W \end{bmatrix}^T$ 之空間直線上： $\frac{X - X_L}{U} = \frac{Y - Y_L}{V} = \frac{Z - Z_L}{W}$ 將水平坐標 $X, Y$ 改寫為以高程 $Z$ 為自變數之函數： $X = X_L + (Z - Z_L) \frac{U}{W}$ $Y = Y_L + (Z - Z_L) \frac{V}{W}$

4. DTM 高程內插數學式

地面點高程 $Z$ 為水平坐標 $(X, Y)$ 在 DTM 模型中之函數。以最常用的**雙線性內插（Bilinear Interpolation）**為例，若點 $(X, Y)$ 落在網格點 $(X_i, Y_j)$ 至 $(X_{i+1}, Y_{j+1})$ 之網格單元內，定義歸一化局部坐標： $t = \frac{X - X_i}{X_{i+1} - X_i}, \quad u = \frac{Y - Y_j}{Y_{j+1} - Y_j} \quad (0 \le t, u \le 1)$ 則地形表面高程約束式為： $Z_{DTM} = (1 - t)(1 - u) Z_{i, j} + t(1 - u) Z_{i+1, j} + (1 - t)u Z_{i, j+1} + tu Z_{i+1, j+1}$

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（二）處理之程序（10 分）

解求該點地面三維坐標之完整數值計算程序如下：

[步驟 1: 像點坐標前處理]
 ↓
[步驟 2: 計算空間射線方向向量 (U, V, W)]
 ↓
[步驟 3: 給定地面高程初始值 Z^(0)]
 ↓
┌───→ [步驟 4: 射線投影計算水平坐標 (X^(k), Y^(k))]
│ ↓
│ [步驟 5: 內插 DTM 獲取對應地形高程 Z_DTM]
│ ↓
│ [步驟 6: 收斂檢核 |Z_DTM - Z^(k)| < ε ?]
│ ├─ 否 ──> 更新 Z^(k+1)，返回步驟 4 疊代
│ ↓ 是
└───> [步驟 7: 輸出地面三維坐標 (X, Y, Z)]

核心觀念

本題評量航空測量學中「立體攝影測量（Stereophotogrammetry）」之核心幾何概念：立體像對的視差理論（Parallax Theory）、人眼立體視覺生理機制（Stereoscopic Vision）與航測解析定向作業程序（Relative Orientation & Restitution）。

1. 橫視差（Horizontal Parallax, $p_x$）：又稱「絕對視差（Absolute Parallax）」。指重疊像對中，同名物點在左、右兩像片上沿「攝影基線方向（即像坐標系之 $x$ 軸）」的像坐標差值： $p_x = x - x'$ 其幾何意義直接對應空間物點距攝影基線的距離（航高 $H$）與地面高程（$Z$ 或 $h$），為解算地面點三維坐標與高程差的物理依據。
2. 縱視差（Vertical Parallax, $p_y$）：又稱為 $q$。指重疊像對中，同名物點在左、右兩像片上沿「垂直於攝影基線方向（即像坐標系之 $y$ 軸）」的像坐標差值： $p_y = y - y'$ 其幾何意義為左、右同名光線在空間中是否「共面（Coplanar）」且精確相交的指標。在理想正射正常像對或已完成相對定向的像對中，理論上各點之縱視差均應為零（$p_y = 0$）。

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解題方法

本題屬申論題型，作答切入點宜依題意分為三個層次層層推進：

1. 第一小題（幾何定義與製圖）：

• 先定義以左像片投影中心為原點之像坐標系（$x$ 軸平行於基線方向，$y$ 軸垂直於基線）。
• 繪製清晰的空間光線投影幾何圖，標明物點 $P$、左片投影中心 $O_1$、右片投影中心 $O_2$、基線 $B$、左像坐標 $(x, y)$、右像坐標 $(x', y')$，並分別標出 $p_x = x - x'$ 與 $p_y = y - y'$。

2. 第二小題（生理視覺與心理感受）：

• 橫視差對應人眼左右兩眼的「雙眼視差（Binocular Parallax）」，能由大腦視神經合成為具有深度感的立體模型。
• 縱視差則因人眼眼球生理構造無法上下獨立轉動對焦，若存在縱視差將造成影像無法融合（雙影），並引起視覺疲勞與眩暈。

3. 第三小題（航測工程處理）：

• 針對縱視差：採取「消除」策略，透過相對定向（解算外方位相對參數）或數位核線重取樣（Epipolar Resampling）予以完全剔除。
• 針對橫視差：採取「量測與應用」策略，利用立體測圖儀之浮動測標（Floating Mark）、視差測差計或數位影像稠密匹配技術精確量取視差值，以計算物點高程與生成 DEM。

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解題技巧

1. 名詞口訣：

• 「橫視差，算高程，不可少」：橫視差是深度感的來源，航測測高就是測量橫視差差值 $\Delta p$。
• 「縱視差，是誤差，必消除」：縱視差代表同名射線歪斜不相交，必須透過相對定向歸零。

2. 考卷作圖規範：

• 繪圖時務必畫出左右兩相機之投影中心（$O_1, O_2$）、光軸（主光線）、像平面以及地面物點 $P$。
• 在左、右像平面上明確引出坐標軸方向，以雙向箭頭明確標示出 $x - x'$ 與 $y - y'$ 的長度，避免只畫點而未明確標示差值。

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題目詳解

（一）分別繪圖並說明二類視差之意義

1. 橫視差（Horizontal Parallax, $p_x$）

• 定義與幾何意義： 在相鄰重疊的航空照片中，將左片主點與右片主點在該片上的對應點連線定為 $x$ 軸（飛行基線方向），垂直方向為 $y$ 軸。地面物點 $P$ 在左像片之像點為 $p(x, y)$，在右像片之對應像點為 $p'(x', y')$。物點 $P$ 在兩像片上沿航線（$x$ 軸）方向之像坐標差，即為橫視差： $p_x = x - x'$ 橫視差反映了物體至投影中心的物距（距離航攝相機的遠近）。高程較高的地面點，橫視差較大；高程較低的地面點，橫視差較小。

• 示意圖：

 O1 (左投影中心) O2 (右投影中心)
 *------------------- B -------------------*
 / \ / \
 / \ / \
 / p(x) / p'(x')
 / \ / \
 /________\ (左像面) /________\ (右像面)
 -x1 0 +x1 -x2 0 +x2
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 * /
 P (地面高程點) /
 \ /
 \ /
 * /
 P' (地盤基準點)

 【橫視差幾何關係】：
 對物點 P 而言，其橫視差 px = x - x'。
 高程越高（距基準面越遠），其物點與基線距離 (H - h) 越小，
 由相似三角形可知：px = (B * f) / (H - h)，即橫視差 px 越大。

2. 縱視差（Vertical Parallax, $p_y$）

• 定義與幾何意義： 同一地面物點 $P$，其同名像點在左、右兩像片上垂直於飛行基線方向（$y$ 軸）之像坐標差值，即為縱視差： $p_y = y - y'$ 在理想狀態（兩攝影軸相互平行且均垂直於攝影基線，且航高相等）下，兩對應光線與基線必然落在同一核面（Epipolar Plane）上，理論上 $y = y'$，即 $p_y = 0$。若攝影時存在像片傾斜角（旋轉角 $\omega, \phi, \kappa$）或飛機航高不一致（存在基線分量 $B_y, B_z$），則同名射線在空間中形成歪斜線而不相交，導致像點產生 $y$ 軸方向的偏差（$p_y \neq 0$）。因此，縱視差是像對存在幾何變形或未經定向校正的直接指標。

核心觀念

本題旨在測驗考生對於航空攝影測量數值地形圖產製整體作業流程之瞭解，以及各作業階段之**品質保證與品質管制（QA/QC）**機制。核心依據為內政部發布之《數值航測產製地形圖作業規範》、《航空攝影測量作業規範》及《國土測繪法》相關檢驗標準（以命題當年民國 107 年之作業法規體系為準；現行法規技術名詞與實務指引雖有滾動微調，但品質檢核之幾何精度與成果規格核心精神一致）。

航測地形圖品質檢核之核心要素可歸納為四個維度：

1. 幾何精度（位置與高程誤差、中誤差 $RMSE$、平差殘差）。
2. 完整性與正確性（圖徵無遺漏、屬性代碼正確、隱蔽區補測落實）。
3. 邏輯一致性（拓撲關係、相鄰圖幅及立體模型無縫接邊）。
4. 影像與資料規格（重疊率、解析度、反差、色彩、檔案格式）。

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解題方法

航測製圖是一道嚴密的前後相扣工序，前一階段成果之誤差會直接傳播累積至下一階段。解題切入點應依題列（1）至（7）項作業程序，自「資料獲取」、「幾何控制與平差」、「圖徵擷取與實地查核」至「數值產品產製」之次序，分別針對各階段之輸入條件、作業過程、成果精度與驗收指標列出最具代表性之具體檢核重點。

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選項分析

本題為申論題，非選擇題，無選項之區分。答題關鍵在於各項工作均須提出客觀、可度量且符合國家測繪標準之檢核指標，切忌僅以「精度要良好」、「作業要小心」等空泛文字作答。

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解題技巧

1. 答題架構化：每一子項固定以「幾何／規格指標」、「資料品質／缺失檢查」兩大面向切入，條列 2～3 個最具關鍵性的專業術語（例如：重疊率、殘餘視差、接邊中誤差、鑲嵌線跳階、地表特徵線）。
2. 避免混淆產品特性：

• 「立體測圖」檢核向量線劃與拓撲關係。
• 「正射影像」檢核投影拉花、雙重影與色調鑲嵌。
• 「數值地形模型」檢核特徵線（Breaklines）與裸地面濾除正確性。

3. 記憶口訣：

• 航攝看「重疊反差」
• 控制看「點位幾何」
• 空三看「殘差檢核」
• 測圖看「模型接邊」
• 調繪看「隱蔽死角」
• 正射看「糾正鑲嵌」
• 地形看「濾波特徵」

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【答案】

使用航測技術測繪地形圖之七項主要工作，其品質檢核重點分別如下：

（1）航空攝影

• 航線幾何規格：檢核航向重疊率（一般地勢應達 $60\% \sim 80\%$）與旁向重疊率（應達 $20\% \sim 40\%$）；檢核航高偏差是否在容許範圍內（一般不得超過設計航高之 $\pm 5\%$）；航線偏航、相機傾角（旋轉角 $\omega, \phi \le 3^\circ \sim 5^\circ$）及旋角（$\kappa$）不可過大，避免產生立體盲區。
• 影像品質與天候條件：檢查影像是否有雲霧、陰影遮蔽（雲遮率通常需小於全幅之 $2\% \sim 5\%$ 且不得遮蔽重要地物）、耀光、像移或反差不足；地表取樣距離（GSD）與影像解析度必須符合預定成圖比例尺之要求。
• 設備與輔助資料：檢查航攝數位相機之檢校報告（有效期限內之主距、對稱與偏心畸變參數）；檢核隨機差分 GNSS/IMU 軌跡資料之解算精度（PDOP 值、載波相位解算狀態）。

（2）控制測量

• 點位幾何配置：檢核控制點之數量與空間分佈是否均勻涵蓋航攝區域周邊及內部，確保能有效抑制空三區域網平差邊緣發散。
• 標誌與刺點可靠度：檢核對空標誌（Ground Target）於像片上之成像清晰度、無雜草遮蔽；若採天然點刺點，必須確認刺點位置具唯一性且無位移疑慮。

核心觀念

本題考查時間序列衛星遙測（Time-series Remote Sensing）在土地覆蓋／土地利用變遷偵測（Land Cover/Use Change Detection）上的標準工程程序與感測器特性整合能力。核心涉及以下觀念與技術規格：

1. 福爾摩沙二號（Formosat-2，簡稱福衛二號）感測器光學特性：

• 空間解析度：全色態（Panchromatic, PAN）為 $2\text{ m}$；多光譜（Multispectral, MS）為 $8\text{ m}$。
• 光譜波段：多光譜具備 4 個波段，分別為藍光（$0.45\sim 0.52\ \mu\text{m}$）、綠光（$0.52\sim 0.60\ \mu\text{m}$）、紅光（$0.63\sim 0.69\ \mu\text{m}$）與近紅外光（NIR, $0.76\sim 0.90\ \mu\text{m}$）。
• 時間解析度：具備每日再訪（Daily Revisit）之敏捷轉向觀測能力，能獲取高頻率時間序列影像，極利於捕捉農作物生長物候（Phenology）之動態變化。

2. 農地變遷之特性區分：

• 常態性／季節性假變遷：因農作物播種、成熟、收割、休耕或輪作引起的反射光譜週期性變化。
• 實質性／永久性真變遷：農地轉為非農用（如興建工廠、鋪設水泥、違規填土、農舍建設、設置太陽能光電板等）。

3. 關鍵數學指標與模型：

• 常態化差值植生指標（NDVI）： $\text{NDVI} = \frac{\rho_{\text{NIR}} - \rho_{\text{Red}}}{\rho_{\text{NIR}} + \rho_{\text{Red}}}$ 其中 $\rho_{\text{NIR}}$ 與 $\rho_{\text{Red}}$ 分別代表地表近紅外與紅光波段之反射率。
• 混淆矩陣（Confusion Matrix）與精度評估：利用整體精度（Overall Accuracy, $OA$）與 Kappa 統計量（$\hat{\kappa}$）評估變遷分類之可靠度： $OA = \frac{\sum_{i=1}^k x_{ii}}{N}$ $\hat{\kappa} = \frac{N \sum_{i=1}^k x_{ii} - \sum_{i=1}^k (x_{i+} \cdot x_{+i})}{N^2 - \sum_{i=1}^k (x_{i+} \cdot x_{+i})}$ 其中 $N$ 為總驗證樣本數，$x_{ii}$ 為對角線元素（正確分類數），$x_{i+}$ 與 $x_{+i}$ 分別為列和與行和。

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解題方法

擬定監測程序時，必須依循現代遙測與數值攝影測量的標準作業流程（SOP），以「資料蒐集與篩選 $\rightarrow$ 影像前處理 $\rightarrow$ 特徵計算與影像融合 $\rightarrow$ 變遷偵測模式執行 $\rightarrow$ 精度評估 $\rightarrow$ 成果產出與查核」為整體架構。

在變遷偵測方法的選用上，農地監測實務採用**「分類後比較法（Post-classification Comparison）」或「以農地坵塊（地籍邊界）為基礎之物件導向分析（OBIA）」**最為穩健。理由如下：

• 若僅使用「分類前影像差值法（如 $\Delta\text{NDVI}$）」，易將單純的收割、休耕誤判為農地流失（產生大量偽變遷雜訊）。
• 引入時間序列的多期多光譜特徵，先還原農地的「作物生命週期曲線」，再與基準期分類結果或地籍坵塊疊加分析，能清楚建構「變遷轉移矩陣（From-To Matrix）」，明確標示變遷類型（如：水稻 $\rightarrow$ 人造建物）。

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選項分析

本題為申論題，無選擇題選項。針對變遷偵測技術中兩大核心途徑進行優缺點比較與適用性分析，作為答題內容的深化依據：

1. 分類前光譜比較法（Pre-classification Spectral Change Detection，如差值法、主成分分析法 PCA、變遷向量分析 CVA）：

• 優點：演算法直接，運算快速，不需仰賴各期繁複之訓練樣本。
• 缺點：無法給出具體的「變遷轉移方向（From-To 資訊）」，且極易受到不同時期大氣條件殘差、土壤濕度及作物物候差異之干擾，門檻值（Threshold）選取主觀。
• 結論：適合前期快速圈定疑似變遷的「異常警示區」，不宜作為最終法定變遷判別依據。

2. 分類後比較法（Post-classification Comparison）結合物件導向（OBIA）：

• 優點：能直接產製各期明確的土地利用圖層，疊加後可產出完整的變遷矩陣（例：農地轉建地）；同時能將地籍圖向量邊界納入分析單元，有效抑制像元層級的胡椒鹽雜訊（Salt-and-Pepper Noise）。
• 缺點：各期影像的分類誤差具有累積效應，整體變遷精度等於各期單獨分類精度之乘積。