107 地方特考三等 測量製圖 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量考生對測量觀測量基本統計指標的計算能力，以及「精密度（Precision）」與「正確度（Accuracy）」在測量平差與誤差理論中的嚴謹定義與區別。

1. 算術平均值（Arithmetic Mean, $\bar{x}$）： 在同精度獨立觀測條件下，觀測量的最妥值（Most Probable Value）： $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n l_i}{n}$
2. 樣本標準差（Sample Standard Deviation, $s$）： 用於評估觀測值本身的離散程度（代表隨機誤差大小），在真值未知或以樣本平均值為基準時，採用貝索公式（Bessel's Formula），自由度為 $n - 1$： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n v_i^2}{n - 1}}$ 其中殘差（Residual）$v_i = l_i - \bar{x}$，且滿足 $\sum v_i = 0$。
3. 均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）： 當「真值（True Value, $X$）」已知時，衡量觀測值偏離真值總誤差（包含系統誤差與偶然誤差）的指標，以真誤差 $\epsilon_i = l_i - X$ 計算： $\text{RMSE} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \epsilon_i^2}{n}}$
4. 精密度（Precision）與正確度（Accuracy）的本質區別：

• 精密度（Precision）：指在相同條件下重複觀測值之間的相互符合程度（離散度），僅受**偶然誤差（Random Error）影響，與真值無關。通常以標準差（$s$）**衡量；標準差愈小，精密度愈高。
• 正確度（Accuracy）：指觀測值或其平均值與真值（True Value）的符合程度（接近程度），同時受**系統誤差（Systematic Error / Bias）與偶然誤差影響。通常以均方根誤差（RMSE）**或偏差大小衡量；RMSE 愈小，正確度愈高。

解題方法

已知 $A$ 至 $B$ 點之實際距離真值 $X = 10.000\text{ m}$，各組觀測次數 $n = 5$。

一、第一台測距儀之計算

觀測值為：$10.012\text{ m}$、$10.002\text{ m}$、$9.985\text{ m}$、$10.008\text{ m}$、$9.992\text{ m}$。

1. 平均值（$\bar{x}_1$）： $\sum_{i=1}^5 l_{1,i} = 10.012 + 10.002 + 9.985 + 10.008 + 9.992 = 49.999\text{ m}$ $\bar{x}_1 = \frac{49.999}{5} = 9.9998\text{ m} \approx 10.000\text{ m}$

2. 殘差與標準差（$s_1$）： 以 $\bar{x}_1 = 9.9998\text{ m}$ 計算殘差 $v_{1,i} = l_{1,i} - \bar{x}_1$：

• $v_{1,1} = 10.012 - 9.9998 = +0.0122\text{ m}$
• $v_{1,2} = 10.002 - 9.9998 = +0.0022\text{ m}$
• $v_{1,3} = 9.985 - 9.9998 = -0.0148\text{ m}$
• $v_{1,4} = 10.008 - 9.9998 = +0.0082\text{ m}$
• $v_{1,5} = 9.992 - 9.9998 = -0.0078\text{ m}$

殘差平方和： $\sum v_{1,i}^2 = (0.0122)^2 + (0.0022)^2 + (-0.0148)^2 + (0.0082)^2 + (-0.0078)^2$ $\sum v_{1,i}^2 = 0.00014884 + 0.00000484 + 0.00021904 + 0.00006724 + 0.00006084 = 0.00050080\text{ m}^2$

標準差： $s_1 = \sqrt{\frac{\sum v_{1,i}^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{0.00050080}{4}} = \sqrt{0.00012520} \approx \pm 0.0112\text{ m}$

3. 真誤差與均方根誤差（$\text{RMSE}_1$）： 真值 $X = 10.000\text{ m}$，真誤差 $\epsilon_{1,i} = l_{1,i} - X$：

• $\epsilon_{1,1} = 10.012 - 10.000 = +0.012\text{ m}$
• $\epsilon_{1,2} = 10.002 - 10.000 = +0.002\text{ m}$
• $\epsilon_{1,3} = 9.985 - 10.000 = -0.015\text{ m}$
• $\epsilon_{1,4} = 10.008 - 10.000 = +0.008\text{ m}$
• $\epsilon_{1,5} = 9.992 - 10.000 = -0.008\text{ m}$

真誤差平方和： $\sum \epsilon_{1,i}^2 = (0.012)^2 + (0.002)^2 + (-0.015)^2 + (0.008)^2 + (-0.008)^2$ $\sum \epsilon_{1,i}^2 = 0.000144 + 0.000004 + 0.000225 + 0.000064 + 0.000064 = 0.00050100\text{ m}^2$

均方根誤差： $\text{RMSE}_1 = \sqrt{\frac{\sum \epsilon_{1,i}^2}{n}} = \sqrt{\frac{0.00050100}{5}} = \sqrt{0.00010020} \approx \pm 0.0100\text{ m}$

二、第二台測距儀之計算

觀測值為：$10.102\text{ m}$、$10.105\text{ m}$、$10.095\text{ m}$、$10.104\text{ m}$、$10.096\text{ m}$。

1. 平均值（$\bar{x}_2$）： $\sum_{i=1}^5 l_{2,i} = 10.102 + 10.105 + 10.095 + 10.104 + 10.096 = 50.502\text{ m}$ $\bar{x}_2 = \frac{50.502}{5} = 10.1004\text{ m} \approx 10.100\text{ m}$

核心觀念

本題旨在測驗測量平差法中「坐標幾何正算」與「非線性函數之變方－協變方傳播定律（誤差傳播定律）」的結合應用。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 極坐標至直角坐標正算公式： 設橫坐標為 $E$（Easting）、縱坐標為 $N$（Northing），方位角 $\alpha$ 為由北方向順時針起算之角： $E_B = E_A + S \cdot \sin\alpha$ $N_B = N_A + S \cdot \cos\alpha$

2. 角度單位轉換關係： 微分與誤差傳播計算時，角度標準誤差必須由角秒（$''$）轉換為無因次的弧度（$\mathrm{rad}$）： $\sigma_\alpha\,(\mathrm{rad}) = \frac{\sigma_\alpha''}{\rho''}$ 其中 $\rho'' = \frac{180 \times 3600}{\pi} \approx 206265''/\mathrm{rad}$。

3. 非線性函數之變方－協變方傳播定律： 設觀測向量 $L = \begin{bmatrix} S \\ \alpha \end{bmatrix}$，其協方差矩陣為 $\Sigma_{LL} = \begin{bmatrix} \sigma_S^2 & 0 \\ 0 & \sigma_\alpha^2 \end{bmatrix}$。 未知數坐標向量 $X = \begin{bmatrix} E_B \\ N_B \end{bmatrix} = F(L)$，其變方－協變方矩陣為： $\Sigma_{XX} = J \Sigma_{LL} J^T = \begin{bmatrix} \sigma_E^2 & \sigma_{EN} \\ \sigma_{NE} & \sigma_N^2 \end{bmatrix}$ 其中 $J$ 為一階偏微分組成之雅可比矩陣（Jacobian Matrix）： $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_B}{\partial S} & \frac{\partial E_B}{\partial \alpha} \\ \frac{\partial N_B}{\partial S} & \frac{\partial N_B}{\partial \alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\alpha & S\cos\alpha \\ \cos\alpha & -S\sin\alpha \end{bmatrix}$

4. 點位中誤差（Point Position Error）： $\sigma_P = \sqrt{\sigma_E^2 + \sigma_N^2}$

解題方法

步驟一：計算 $B$ 點坐標值

已知 $A$ 點坐標 $(E_A, N_A) = (0.000, 0.000)\,\mathrm{m}$，觀測量 $S = 100\,\mathrm{m}$，$\alpha = 30^\circ$： $E_B = 0.000 + 100 \times \sin 30^\circ = 100 \times 0.5 = 50.000\,\mathrm{m}$ $N_B = 0.000 + 100 \times \cos 30^\circ = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 86.60254\,\mathrm{m} \approx 86.603\,\mathrm{m}$

步驟二：觀測量誤差與單位化

1. 距離標準誤差： $\sigma_S = 0.005\,\mathrm{m}$ $\sigma_S^2 = (0.005)^2 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^2$

2. 方位角標準誤差轉弧度： $\sigma_\alpha = \frac{10''}{206265''} \approx 4.848137 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ $\sigma_\alpha^2 = 2.35044 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}^2$

步驟三：計算雅可比矩陣元素

代入 $\alpha = 30^\circ$ 及 $S = 100\,\mathrm{m}$： $J_{11} = \frac{\partial E_B}{\partial S} = \sin 30^\circ = 0.5$ $J_{12} = \frac{\partial E_B}{\partial \alpha} = S \cos 30^\circ = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 86.60254\,\mathrm{m}$ $J_{21} = \frac{\partial N_B}{\partial S} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025$ $J_{22} = \frac{\partial N_B}{\partial \alpha} = -S \sin 30^\circ = -100 \times 0.5 = -50.000\,\mathrm{m}$

步驟四：推導並計算 $B$ 點之變方與協變方

由矩陣乘法展開 $\Sigma_{XX} = J \Sigma_{LL} J^T$：

1. 橫坐標變方 $\sigma_E^2$： $\sigma_E^2 = (\sin\alpha)^2 \sigma_S^2 + (S \cos\alpha)^2 \sigma_\alpha^2$ $\sigma_E^2 = (0.5)^2 \times (2.5 \times 10^{-5}) + (86.60254)^2 \times (2.35044 \times 10^{-9})$ $\sigma_E^2 = 6.25 \times 10^{-6} + 17.6283 \times 10^{-6} = 2.38783 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^2$ $\sigma_E = \sqrt{2.38783 \times 10^{-5}} \approx 0.004887\,\mathrm{m} \approx \pm 0.0049\,\mathrm{m}\;(\pm 4.9\,\mathrm{mm})$

核心觀念

本題考查**間接觀測平差法（參數平差法，Adjustment by Indirect Observations）**在水準網平差之應用。解題涉及之核心觀念與公式如下：

1. 未知數與自由度：

• 設網形中獨立待定高程點數為未知參數個數 $u$，觀測量總數為 $n$，多餘觀測數（自由度）為 $r = n - u$。

2. 權矩陣（Weight Matrix）：

• 水準測量之觀測誤差隨距離累積，觀測值之方差與測線長度 $S_i$ 成正比，故其權 $P_i$ 與路線長度成反比： $P_i = \frac{c}{S_i}$ 式中 $c$ 為常數（通常取 $c = 1\,\mathrm{km}$ 或最小公倍數）。

3. 觀測方程式與法方程式（Normal Equations）：

• 設未知數近似值為 $X_0$，改正數為 $x$（即 $\hat{X} = X_0 + x$），觀測方程式為： $V = A x - l$ 其中 $A$ 為設計矩陣，$l = L - L_0$ 為觀測值與近似計算值之差（常數項向量）。
• 依最小二乘原理 $V^T P V = \min$，導出法方程式： $N x = U \implies x = N^{-1} U = Q_{xx} U$ 其中法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$，常數項向量 $U = A^T P l$，未知數權倒數矩陣 $Q_{xx} = N^{-1}$。

4. 精度評估公式：

• 殘差向量：$V = A x - l$，滿足檢核條件 $A^T P V = 0$。
• 後驗單位權中誤差： $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{r}}$
• 未知數平差值之中誤差： $\hat{\sigma}_{X_j} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{jj}}$
• 觀測值最適值（平差值）之中誤差： $Q_{\hat{L}\hat{L}} = A Q_{xx} A^T \implies \hat{\sigma}_{\hat{l}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{\hat{l}_i \hat{l}_i}}$

解題方法

一、網形幾何結構與觀測量關係

• 已知高程：$H_A = 0.000\,\mathrm{m}$、$H_C = 1.000\,\mathrm{m}$。
• 待定參數：$B$ 點高程 $H_B$ 與 $D$ 點高程 $H_D$，共 $u = 2$ 個未知數。
• 觀測量：共 $n = 5$ 條高程差觀測線，多餘觀測數 $r = n - u = 5 - 2 = 3$。
• 觀測路線方向（依箭頭高程上升方向，觀測值均為正值）：
• $l_1 = 0.505\,\mathrm{m}$：方向 $A \to B$，$S_1 = 2\,\mathrm{km}$
• $l_2 = 0.498\,\mathrm{m}$：方向 $B \to C$，$S_2 = 2\,\mathrm{km}$
• $l_3 = 0.703\,\mathrm{m}$：方向 $A \to D$，$S_3 = 2\,\mathrm{km}$
• $l_4 = 0.295\,\mathrm{m}$：方向 $D \to C$，$S_4 = 2\,\mathrm{km}$
• $l_5 = 0.202\,\mathrm{m}$：方向 $B \to D$，$S_5 = 3\,\mathrm{km}$

二、權矩陣 $P$ 之建立

取單位權路線長 $c = 1\,\mathrm{km}$，則各觀測線之權為 $P_i = \frac{1}{S_i}$： $P = \operatorname{diag}\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{3}\right)\,\mathrm{km}^{-1}$

三、列立觀測方程式

選取未知數近似值： $X_0 = \begin{bmatrix} H_B^0 \\ H_D^0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.500\,\mathrm{m} \\ 0.700\,\mathrm{m} \end{bmatrix}$

參數改正量為 $x = \begin{bmatrix} \delta H_B \\ \delta H_D \end{bmatrix}$。計算近似觀測值 $L_0$ 與常數項向量 $l = L - L_0$（為方便手算，差值以 $\mathrm{mm}$ 表示）：

• $l_1^0 = H_B^0 - H_A = 0.500\,\mathrm{m} \implies l_1 = 0.505 - 0.500 = +0.005\,\mathrm{m} = +5\,\mathrm{mm}$
• $l_2^0 = H_C - H_B^0 = 0.500\,\mathrm{m} \implies l_2 = 0.498 - 0.500 = -0.002\,\mathrm{m} = -2\,\mathrm{mm}$
• $l_3^0 = H_D^0 - H_A = 0.700\,\mathrm{m} \implies l_3 = 0.703 - 0.700 = +0.003\,\mathrm{m} = +3\,\mathrm{mm}$
• $l_4^0 = H_C - H_D^0 = 0.300\,\mathrm{m} \implies l_4 = 0.295 - 0.300 = -0.005\,\mathrm{m} = -5\,\mathrm{mm}$
• $l_5^0 = H_D^0 - H_B^0 = 0.200\,\mathrm{m} \implies l_5 = 0.202 - 0.200 = +0.002\,\mathrm{m} = +2\,\mathrm{mm}$

觀測方程式之設計矩陣 $A$ 為： $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

四、組成並求解法方程式

1. 法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$： $N = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & & & & \\ & \frac{1}{2} & & & \\ & & \frac{1}{2} & & \\ & & & \frac{1}{2} & \\ & & & & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{bmatrix}$

2. 未知數權倒數矩陣 $Q_{xx} = N^{-1}$： $\det(N) = \left(\frac{4}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ $Q_{xx} = \frac{3}{5} \begin{bmatrix} \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix}$

3. 常數項向量 $U = A^T P l$： $U = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}(+5) - \frac{1}{2}(-2) - \frac{1}{3}(+2) \\ \frac{1}{2}(+3) - \frac{1}{2}(-5) + \frac{1}{3}(+2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{2} - \frac{2}{3} \\ 4 + \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{17}{6} \\ \frac{14}{3} \end{bmatrix}\,\mathrm{mm}$

4. 解未知數改正量 $x$：

核心觀念

本題評量測量平差法中「二維點位誤差傳播」與「誤差橢圓（Error Ellipse）」之幾何要素計算，包含單點之絕對誤差橢圓與兩點間之相對誤差橢圓。

1. 標準誤差橢圓之幾何要素

設某點之坐標變方—協變方矩陣為：

其誤差橢圓之半長軸 $a$ 與半短軸 $b$ 即為矩陣 $\Sigma$ 之特徵值（Eigenvalues）$\lambda_1$、$\lambda_2$ 的平方根：

長軸方向之方位角 $\theta$ 定義為自北方向順時針起算之夾角：

• 測量常規坐標系（以 $X$ 為北軸 $N$、$Y$ 為東軸 $E$）：

• 笛卡兒常規坐標系（以 $X$ 為東軸 $E$、$Y$ 為北軸 $N$）：

為求嚴謹，解題時以台灣測量實務最常用之「$X$ 為北軸、$Y$ 為東軸」為主解，並並列「$X$ 為東軸、$Y$ 為北軸」之方位角結果。

2. 相對誤差橢圓與變方傳播定律

欲求 $P$、$Q$ 兩點間之相對誤差橢圓，須先求兩點坐標差 $\Delta = [\Delta X, \Delta Y]^T = [X_Q - X_P, Y_Q - Y_P]^T$ 之變方—協變方矩陣 $\Sigma_{\Delta}$：

依變方傳播定律（Law of Propagation of Variances）：

其中：

求得 $\Sigma_{\Delta}$ 後，再代入誤差橢圓公式求取長、短軸與方位角。

解題方法

題目給定 $\hat{\sigma}_0 = 1\,\mathrm{cm}$，而 $\Sigma_{\hat{X}}$ 已是以 $\mathrm{cm}^2$ 為單位之變方—協變方矩陣，各數值直接反映平差值之變方與協變方。

一、$P$ 點之誤差橢圓

由 $\Sigma_{\hat{X}}$ 擷取 $P$ 點坐標之變方—協變方子矩陣：

1. 半長軸 $a_P$ 與半短軸 $b_P$：

• 跡數 $\text{tr}(\Sigma_P) = \sigma_{X_P}^2 + \sigma_{Y_P}^2 = 2.0 + 3.0 = 5.0\,\mathrm{cm}^2$
• 差值平方項與協變方項：

• 特徵值計算：

2. 長軸方位角 $\theta_P$：

• 採測量常規（$X$ 為北軸、$Y$ 為東軸）：

因分子 $0.4 > 0$（$\sin 2\theta_P > 0$）且分母 $-1.0 < 0$（$\cos 2\theta_P < 0$），$2\theta_P$ 位於第二象限：

• （若採笛卡兒常規 $X$ 為東軸、$Y$ 為北軸，則 $\tan 2\theta_P = \frac{0.4}{3.0 - 2.0} = 0.4 \implies \theta_P \approx 10.9007^\circ \approx 10^\circ 54' 03''$）

二、$Q$ 點之誤差橢圓

由 $\Sigma_{\hat{X}}$ 擷取 $Q$ 點坐標之變方—協變方子矩陣：

1. 半長軸 $a_Q$ 與半短軸 $b_Q$：

• 跡數 $\text{tr}(\Sigma_Q) = \sigma_{X_Q}^2 + \sigma_{Y_Q}^2 = 4.0 + 2.3 = 6.3\,\mathrm{cm}^2$
• 判別項計算：

• 特徵值計算：

2. 長軸方位角 $\theta_Q$：

• 採測量常規（$X$ 為北軸、$Y$ 為東軸）：