108 地方特考三等 測量製圖 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

坐標的變方－協變方矩陣經旋轉後，矩陣主軸方向上的非對角元素為零，因此兩個新坐標分量的協變方為零，相關係數也為零。相關係數定義為

$$\rho_{XY}=\frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}$$

本題要求找出使旋轉後協變方為零的坐標軸方向，也就是求協變方矩陣的主軸方向。

解題方法

令新坐標軸相對於原坐標軸逆時針旋轉 $\theta$。在新坐標軸下，協變方矩陣為

$$\Sigma' = R\Sigma R^{\mathsf T}, \qquad R= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

展開後，新坐標的協變方為

$$\sigma_{X'Y'} =\frac{\sigma_Y^2-\sigma_X^2}{2}\sin 2\theta +\sigma_{XY}\cos 2\theta$$

令 $\sigma_{X'Y'}=0$，得

核心觀念

條件平差模型以觀測量改正數 $v$ 滿足條件式為起點；間接觀測平差模型（GMM）則將觀測量改正數表示為未知參數改正數的線性函數：

$$v=A x-w$$

其中 $A$ 為設計矩陣，$x$ 為待求的未知數向量，$w$ 為不符值向量。本題的兩個條件式可視為兩個線性方程，先消去其中的觀測改正數，再選取獨立改正數作為 GMM 的未知數。

解題方法

原條件式為

$$v_1-v_3+v_4=w_1$$ $$v_2-v_3+v_5=w_2$$

各式分別解出 $v_1$、$v_2$：

$$v_1=w_1+v_3-v_4$$ $$v_2=w_2+v_3-v_5$$

令四個獨立改正數為未知數：

$$x= \begin{bmatrix} v_3\\ v_4\\ v_5\\ 0 \end{bmatrix}$$

依序將觀測改正數寫成 $v=A x-w$，其中

$$v= \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\\ v_5 \end{bmatrix}, \qquad w= \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$$

因此，設計矩陣可取為

$$A= \begin{bmatrix} 1&-1&0&1\\ 1&0&-1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}$$

代入後得到 GMM：

核心觀念

自由網平差不固定外部基準，網形只能決定點位間的相對幾何關係，整體平移、旋轉等基準自由度則須由附加條件消除。兩期各自選用不同參考基準點時，兩期成果的坐標差會混合「基準差異」與「實際變形」，不能直接逐點相減判定變形。

題目假設兩期網形、點位與起始坐標相同，適合採用全網疊合（相似轉換）與點位差異檢定：先消除兩期成果間的基準差，再檢驗各點相對位置是否仍有顯著差異。

解題方法

設第一期平差坐標為 $(x_{i1},y_{i1})$，第二期為 $(x_{i2},y_{i2})$。以兩期共同點為基礎，求使兩期坐標差平方和最小的平面相似轉換參數，包括平移 $(t_x,t_y)$、旋轉角 $\theta$，以及必要時的尺度因子 $s$：

$$\begin{bmatrix} x'_{i2}\\ y'_{i2} \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{i2}\\ y_{i2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix}.$$

若兩期使用相同觀測型態與尺度基準，通常以平移、旋轉的剛體轉換消除基準差；若尺度也存在差異，則納入尺度因子。轉換參數由全網共同點整體估計，不能只用兩期各自指定的參考點直接對準。

完成疊合後，計算每一點的坐標差：

$$\Delta x_i=x'_{i2}-x_{i1},\qquad \Delta y_i=y'_{i2}-y_{i1},$$

核心觀念

本題分別檢定兩件事：

1. 觀測精度是否相同：以觀測標準差衡量精度，標準差愈小，精度愈高。兩組觀測相互獨立且服從常態分配，因此可用兩個樣本變異數之比作 $F$ 檢定。
2. 角度平均值是否相同：兩組平均值來自獨立樣本，若先確認變異數可視為相同，使用合併變異數的 兩樣本 $t$ 檢定；若變異數不同，使用 Welch $t$ 檢定。

題目未指定顯著水準，以下以常用的 $\alpha=0.05$ 說明；實際檢定時應依題目指定水準決定臨界值。題目也未提供實際數值，因此列出可直接代入的檢定程序。

解題方法

設兩組觀測之母體標準差為 $\sigma_{(1)}$、$\sigma_{(2)}$，樣本標準差為 $s_1$、$s_2$。題目以 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 表示「估計得到的觀測標準差」，故以下將其視為樣本標準差，即 $s_1=\sigma_1$、$s_2=\sigma_2$。

一、檢定兩組觀測精度

精度優劣屬於變異程度的比較。以變異數作比值，令第 1 組為分子：

$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2} =\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$$

在虛無假設 $H_0:\sigma_{(1)}^2=\sigma_{(2)}^2$ 成立，且兩組樣本獨立、常態時，

$$F\sim F(n_1-1,\ n_2-1)$$

其中分子、分母的自由度分別為 $n_1-1$ 與 $n_2-1$。

若要檢定「兩組精度是否不同」，採雙尾檢定：

$$H_0:\sigma_{(1)}^2=\sigma_{(2)}^2 \qquad H_1:\sigma_{(1)}^2\ne\sigma_{(2)}^2$$

當 $F<F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ 或 $F>F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$ 時，拒絕 $H_0$，判定兩組觀測精度有顯著差異。若未拒絕 $H_0$，則只能說資料不足以認定精度不同，不能據此證明兩組精度完全相同。

若要直接檢定「第 1 組是否較精確」，則第 1 組較精確代表其母體變異數較小，假設應設為：

$$H_0:\sigma_{(1)}^2\ge \sigma_{(2)}^2 \qquad H_1:\sigma_{(1)}^2<\sigma_{(2)}^2$$

此時仍用 $F=s_1^2/s_2^2$，當 $F$ 小於左尾臨界值 $F_{\alpha}(n_1-1,n_2-1)$ 時，拒絕 $H_0$，認定第 1 組精度較高。若欲檢定第 2 組較精確，則對調兩組，或將分子、分母互換後作相應的單尾檢定。若採雙尾檢定發現差異，再比較 $s_1$、$s_2$ 的大小，即可判定哪一組標準差較小、精度較高。

二、檢定兩組角度平均值是否相同

假設兩組母體平均角度為 $\mu_1$、$\mu_2$，題目要求檢定平均值是否相同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_1=\mu_2 \qquad H_1:\mu_1\ne\mu_2$$