108 地方特考三等 測量製圖 航空測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查以二維透視投影轉換（2-D Perspective transformation，又稱平面單應轉換、Homography），將 UAV 影像上的像點坐標轉換至地圖平面坐標。地形近似平坦時，可把地面視為同一平面；中央透視影像與地面平面之間的幾何關係，可用一個含 8 個獨立參數的透視轉換表示。

此方法適合地形起伏小、地物高差造成的位移可忽略的情況。若地形起伏明顯，或建物、樹木等高物體造成顯著位移，單一平面轉換無法消除地形起伏位移，應改用高程資料與相機幾何進行正射校正。

解題方法

令影像像點坐標為 $(x,y)$，對應的地圖坐標為 $(X,Y)$。二維透視轉換可寫成：

其中 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2$ 為 8 個未知參數；分母常數固定為 1，是為了消除參數的整體比例自由度。

將分母移至等式左側，可整理成對參數線性的方程：

每個控制點提供兩個方程。將所有控制點的觀測方程組成矩陣式：

其中 $\mathbf{p}$ 為 8 個轉換參數，$\mathbf{v}$ 為殘差。控制點多於最少數量時，以最小二乘法求解：

$\mathbf{P}$ 為觀測權矩陣；若各控制點精度相同，可取單位矩陣。

套合程序

1. 準備影像與地面坐標：選取影像上可清楚辨識的地物點，量測其像素坐標 $(x,y)$；取得相同點的地圖坐標 $(X,Y)$，並確認影像與地圖使用一致的坐標系統、單位與軸向定義。
2. 選取控制點：控制點應位於穩定、辨識明確的地物，例如道路交叉點或田區角點，避免選取模糊、會移動或被遮蔽的地物。
3. 建立並解算轉換模型：代入上述透視轉換方程，使用至少 4 個控制點求解 8 個參數；有多於 4 個控制點時，採最小二乘法平差。
4. 檢查模型與控制點：計算各點的殘差，檢查是否有量測錯誤、點位誤認或坐標輸入錯誤；必要時重新量測或剔除經確認不適用的點，再重新平差。

核心觀念

空載光達（Airborne LiDAR）以飛機搭載雷射掃描儀，量測雷射脈衝由發射至接收的往返時間，求得地面點至感測器的斜距；再結合飛機的 GNSS 定位、IMU 姿態、掃描角，以及感測器與導航系統間的安裝偏移量（lever arm）與安裝角（boresight），將雷射點由感測器座標系轉換至地圖座標系，形成三維點雲。

本題分兩部分：先說明如何計算點雲每一點的三維座標，再說明如何從點雲篩選地面點、內插成規則網格，產製 DEM。

解題方法

一、空載光達三維點雲的數學式

雷射脈衝往返時間為 $\Delta t$，光速為 $c$，則感測器至目標點的斜距為

除以 $2$ 是因為脈衝行經「感測器至地面」及「地面返回感測器」的往返路徑。

在掃描儀座標系中，若掃描角為 $\alpha$，採用 $Z$ 軸向上的座標慣例，雷射方向單位向量可寫為

因此，雷射點相對於掃描儀原點的位置向量為 $\rho\mathbf{u}^{s}$。設 GNSS 給出飛機導航參考點在地圖座標系 $m$ 中的位置 $\mathbf{X}_{\mathrm{GNSS}}^{m}$，則地面點座標可表示為

其中：

• $\mathbf{R}_{s}^{b}$：掃描儀座標系 $s$ 至機體座標系 $b$ 的旋轉矩陣，包含安裝角（boresight）校正。
• $\mathbf{R}_{b}^{m}$：由 IMU 姿態角（滾轉、俯仰、偏航）建立的機體座標系至地圖座標系旋轉矩陣。
• $\boldsymbol{\ell}_{\mathrm{GNSS}\rightarrow s}^{b}$：由 GNSS 參考點至掃描儀原點的桿臂向量，以機體座標系表示。
• $\rho\mathbf{u}^{s}$：掃描儀座標系中由斜距及掃描方向決定的雷射向量。

等價地，若已將 GNSS 位置改正至掃描儀原點，亦可簡寫為

核心觀念

本題考查立體像對的核幾何，以及它如何縮小共軛像點匹配的搜尋範圍。地面同一物點在左、右像片上的投影稱為共軛像點；要找到它們，關鍵是利用兩個攝影中心與物點所形成的幾何關係。

 地面物點 P
 ●
 / \
 / \
左攝影中心 O_L ●---/-----\---● O_R 右攝影中心
 基線 O_L O_R
 （核面所在平面）

圖示表示核面的三維概念：核面包含左攝影中心 $O_L$、右攝影中心 $O_R$ 與物點 $P$。核面與兩張像片平面的交線，就是左右像片上的核線。

名詞與幾何關係

• 基線（攝影基線）：連接兩個攝影中心 $O_L$、$O_R$ 的直線。
• 核面（Epipolar plane）：由基線與地面物點 $P$ 所決定的平面，即通過 $O_L$、$O_R$、$P$ 的平面。就某一左像點而言，從左攝影中心通過該像點的光線與基線共同決定一個核面。
• 核線（Epipolar line）：核面分別與左、右像片平面的交線。物點 $P$ 的左右共軛像點，必定分別落在同一核面所對應的左右核線上。
• 核點（Epipole）：攝影基線與像片平面的交點；同一像片上的各條核線均通過該像片的核點。
• 核影像（Epipolar images）：經核線重採樣或核線校正（epipolar rectification）後形成的影像，使核線排列成相對應的水平列。理想化後，共軛像點位於左右影像的同一列。

解題方法：從三維核面推到一維匹配

先在左像片選定一個特徵點 $p_L$。左攝影中心 $O_L$、像點 $p_L$ 與其對應的空間光線，配合基線 $O_LO_R$，可確定一個核面。若地面物點 $P$ 位於此光線上，從右攝影中心 $O_R$ 觀察它時，$P$ 的右像點 $p_R$ 必須落在該核面與右像片的交線上，也就是右核線。

因此，匹配時不必在右影像的整個二維區域搜尋，只須沿著右核線尋找與左特徵點最相符的影像位置。核線校正進一步把左右核線整理為對應的水平列，讓搜尋近似限制在同一列，簡化為一維搜尋。

概念示意如下（核線校正後）：

核心觀念

本題考像片幾何中，利用像片天底點 $n$ 的像片坐標 $(x_n,y_n)$ 求像片的傾斜角（tilt angle）與旋轉角（swing angle）。在垂直像片上，天底點與主點重合；像片傾斜後，天底點相對主點產生位移。其位移距離反映傾斜角大小，位移方向則反映旋轉角。

以下採用像片坐標原點位於主點、$y$ 軸正向朝像片上方的慣例。設像片主距為 $f$，天底點坐標為 $(x_n,y_n)$。

解題方法

令 $r_n$ 為主點至天底點的像片徑距：

由中心投影幾何，主距 $f$、徑距 $r_n$ 與傾斜角 $\tau$ 形成直角三角形，因此：

故傾斜角為：

天底點由主點偏移的方向即為旋轉角。依上述坐標慣例，從 $+y$ 軸朝 $+x$ 軸量取：

實際計算時，為保留象限資訊，應寫成：