108 地方特考三等 測量製圖 地籍測量 考古題詳解

核心觀念

本題考查以衛星定位測量（GNSS）辦理地籍加密控制測量時，如何將觀測資料化為控制點坐標，並檢查觀測中是否存在粗差。基本流程是：觀測資料處理與基線解算、網形檢核、最小約制平差、殘差分析與粗差偵測。

加密控制測量通常以已知控制點作為基準，求定新設控制點坐標。GNSS 網平差多採最小二乘法。設觀測量改正數為 $\mathbf{v}$、觀測量與未知數的線性化設計矩陣為 $\mathbf{A}$、閉合差向量為 $\mathbf{w}$、權矩陣為 $\mathbf{P}$，則平差方程式為：

$$\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{w}$$

最小二乘解滿足：

$$\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{x} =\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{w}$$

其中 $\mathbf{x}$ 為待估參數改正數。平差後可由殘差、單位權中誤差及參數協方差，評估觀測品質與坐標精度。

解題方法

一、觀測資料整理與基線解算

1. 蒐集各測站的 GNSS 觀測資料，檢查觀測時段、衛星數、天線高、儀器設定、資料完整性及點位紀錄。
2. 依觀測時段與測站組合進行基線解算，取得各基線的三維向量分量及其協方差矩陣。解算時應處理衛星軌道、對流層與電離層延遲、天線相位中心、週波未定值及多路徑效應等影響。
3. 依基線向量建立網形，確認測站連接足夠、網形具有適當冗餘，並檢核基線閉合差。閉合差超限時，應先查明原因，不宜直接進入正式平差。

二、建立觀測方程與權

以基線分量作為觀測量，可將基線向量寫成：

$$\mathbf{l}_{ij}=\mathbf{X}_{j}-\mathbf{X}_{i}+\boldsymbol{\varepsilon}_{ij}$$

其中 $\mathbf{X}_{i}$、$\mathbf{X}_{j}$ 為兩端點的三維坐標，$\boldsymbol{\varepsilon}_{ij}$ 為觀測誤差。實際平差時，將觀測方程線性化，組成 $\mathbf{A}$、$\mathbf{w}$，並依基線解算的精度設定權矩陣 $\mathbf{P}$。基線精度較高者給較大權，精度較低者給較小權；若基線分量間有相關性，應使用完整協方差矩陣，而非只採對角權。

三、先作自由網或最小約制平差

GNSS 基線主要提供點間相對位置，網形本身存在基準自由度。先以自由網或最小約制方式檢查網內觀測的一致性，避免已知點坐標的錯誤約制掩蓋網內粗差。

完成網內檢核後，再以適當的已知控制點坐標進行約制平差，求得新設控制點坐標。若控制點坐標精度不同，應依其精度給權；不宜將精度不同的已知點一律視為無誤差固定值。

四、最小二乘平差與精度評估

核心觀念

本題考查地籍圖根導線的布設與觀測規定，以及以最小自乘法作導線網嚴密平差後，如何檢核網形是否有足夠的幾何強度、觀測精度是否合理，並找出可能的粗差。

以下以命題當年（民國 108 年）有效的《地籍測量實施規則》及當時適用的《數值法地籍圖重測作業手冊》為準。題目未指定數值法或圖解法，因此導線閉合差分別列出兩者規定；嚴密平差品質指標則依手冊所列標準說明。

解題方法與相關規定

一、導線規劃與布設

圖根測量以基本控制點及加密控制點成果為依據。導線分為幹導線與支導線，幹、支導線得整體規劃組成導線網；各導線點均應與最鄰近之已知點連測。

• 幹導線：由基本控制點、加密控制點及方位角起算，閉合於另一基本控制點、加密控制點及方位角。
• 支導線：由較高或同等級導線點及方位角起算，閉合於另一較高或同等級導線點及方位角；逐級推展不得超過三次。
• 圖根點應均勻分布並涵蓋測區；選點前應先在地形圖、基本圖、航測照片或地籍圖上規劃導線走向與點位。
• 導線邊長以 50 至 150 公尺為原則。每一導線含起迄點的總點數，幹導線以 15 點以內、支導線以 10 點以內為原則；地勢限制時得調整。

二、觀測規定

水平角：使用讀數精度優於或等於 6 秒的經緯儀，以方向觀測法施測。水平角觀測二測回，兩測回之差不得超過 12 秒，讀數記至秒。

距離：使用精度優於或等於 $5\text{ mm}+5\text{ ppm}$ 的電子測距儀時，以單向觀測為原則，對目標施測二次、取平均值，計至毫米；二次觀測差不得超過 10 毫米。數值法地籍測量地區的幹、支導線量距，依此電子測距儀規定辦理。

使用鋼捲尺時，應往返施測二次、取平均值並計至毫米；二次之差不得超過 $3.2\text{ mm}\sqrt{S}$，其中 $S$ 為以公尺為單位的距離。平坦地區限制為 $2.5\text{ mm}\sqrt{S}$，地勢起伏地區為 $3.8\text{ mm}\sqrt{S}$。

距離量測另應依儀器種類施加必要改正：銦鋼尺量距包括標準尺長、傾斜及化歸至平均海水面長度等改正；電子測距儀量距包括頻率偏差、傾斜及化歸至平均海水面長度等改正。

三、導線計算與閉合差

依《地籍測量實施規則》第 63 至 65 條，導線測量可採幹、支導線簡易平差，或採導線網嚴密平差；縱、橫坐標計算至毫米。導線網平差應採最小自乘法嚴密平差，並符合簡易平差規定的閉合差限制。

若以簡易平差檢核幹、支導線，應注意下列標準：

項目	數值法	圖解法
幹導線水平角閉合差	$20''\sqrt{N}$	$1'\sqrt{N}$
支導線水平角閉合差	$20''\sqrt{N}+30''$	$1'\sqrt{N}+1'$
幹導線位置閉合比數	不得超過 $1/5{,}000$	不得超過 $1/3{,}000$
支導線位置閉合比數	不得超過 $1/3{,}000$	不得超過 $1/2{,}000$

其中 $N$ 為含起迄二已知點的導線點總數。水平角閉合差採平均配賦，計至秒；縱、橫距閉合差依各邊長與邊長總和的比例配賦，計至毫米。

嚴密平差品質指標

核心觀念

自由測站法是指測站不設於已知控制點，而在適當位置架設儀器，觀測兩個以上已知控制點，先求出測站的平面座標與方向，再由該站測定宗地界址點。測站位置不受控制點位置限制，適合控制點不在宗地附近或現地通視條件受限時使用。

本題的核心是：**如何用已知控制點與角、距觀測，求自由測站座標及定向；三種儀器組合如何取得觀測量並計算界址點座標。**以命題當年（民國 108 年）法規為準，《地籍測量實施規則》規定戶地測量得採自由測站法。

設自由測站為 $S(X_S,Y_S)$，已知控制點 $P_i(X_i,Y_i)$，以方位角 $A_i$ 自坐標北方向順時針起算，則：

$$A_i=\operatorname{atan2}(Y_i-Y_S,\ X_i-X_S)$$

若由測站量得至控制點的水平距離 $s_i$，則：

$$X_i=X_S+s_i\cos A_i,\qquad Y_i=Y_S+s_i\sin A_i$$

儀器讀得的水平方向為 $r_i$ 時，另有測站定向常數 $k$：

$$A_i=k+r_i$$

求得 $S$ 與 $k$ 後，若界址點 $Q$ 的方向讀數為 $r_Q$、水平距離為 $s_Q$，則：

$$A_Q=k+r_Q$$ $$X_Q=X_S+s_Q\cos A_Q,\qquad Y_Q=Y_S+s_Q\sin A_Q$$

實務上宜觀測三個以上分布良好的已知控制點，使用多餘觀測量進行平差，以檢核並提升成果可靠度。

解題方法與三種儀器的測算

一、全測站儀

全測站儀可同時量測水平角（方向）、垂直角及斜距，並可直接計算水平距離。作業步驟如下：

1. 在視線良好且能通視已知控制點與待測界址點的位置架設儀器，量取儀器高。
2. 照準兩個以上已知控制點，觀測各點的方向與斜距；採用天頂距 $z_i$ 時，將斜距 $D_i$ 化為水平距離：

$$s_i=D_i\sin z_i$$

3. 以已知控制點坐標及觀測的方向、水平距離，解算自由測站坐標 $(X_S,Y_S)$ 與定向常數 $k$。觀測多於必要數量時，對觀測值作平差。
4. 照準各界址點，取得方向與斜距，換算水平距離後，以測站坐標和定向計算界址點坐標。

其優點是角度與距離由同一儀器完成，觀測、計算及資料記錄整合，作業效率高；仍須注意儀器定心、照準、稜鏡對心、儀器高與棱鏡高，以及距離改正等誤差來源。

二、光學經緯儀

光學經緯儀主要量測水平角與垂直角，本身不量距。以已知控制點進行自由測站定位時，需利用各控制點的已知坐標及其方向觀測，透過後方交會（角度後方交會）求測站位置與定向。

1. 在自由測站架設經緯儀，照準兩個以上已知控制點，觀測水平方向；為增加可靠度，通常觀測三個以上控制點並作檢核。
2. 依控制點坐標所形成的已知幾何關係，以及各方向的角度觀測，解算測站位置與方向。

核心觀念

本題考查觀測量的誤差傳播。若 $Q=f(l_1,\ldots,l_n)$，各觀測量互不相關，且中誤差為 $\sigma_i$，則一階誤差傳播公式為

$$\sigma_Q^2 =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial l_i}\right)^2\sigma_i^2.$$

三種方式分別以正方形邊長、周長及四個端點的平面坐標計算面積；須先寫出各自的面積函數，再依觀測量中誤差傳播。

解題方法

設正方形邊長為 $a$、周長為 $p$，則 $p=4a$。

1. 直接觀測邊長

面積為

$$A_a=a^2.$$

由 $\dfrac{\partial A_a}{\partial a}=2a$，且邊長觀測中誤差為 $\sigma$：

$$\sigma_{A_a} =\left|\frac{\partial A_a}{\partial a}\right|\sigma =2a\sigma.$$

2. 觀測周長

面積可由 $a=p/4$ 寫成

$$A_p=\left(\frac{p}{4}\right)^2=\frac{p^2}{16}.$$

因此

$$\frac{\partial A_p}{\partial p}=\frac{p}{8}, \qquad \sigma_{A_p}=\frac{p}{8}\sigma.$$

利用 $p=4a$，可改寫為

$$\sigma_{A_p}=\frac{a}{2}\sigma.$$

3. 觀測四端點坐標

令四個端點依序為 $(x_i,y_i)$，$i=1,2,3,4$。用坐標求多邊形面積的鞋帶公式：

$$A_{xy} =\frac{1}{2}\left| \sum_{i=1}^{4}(x_i y_{i+1}-y_i x_{i+1}) \right|, \qquad (x_5,y_5)=(x_1,y_1).$$

面積中誤差由各坐標分量的偏導數平方和求得：

核心觀念

本題考查以數值法辦理土地分割複丈時，如何依既有界址點坐標與申請人指定的分割條件，測定新增界址點、計算各分割宗地面積，並完成成果圖。

以命題當年（民國 108 年）法規為準，主要依據為《地籍測量實施規則》第 246 條至第 255 條：

• 數值法複丈以界址點坐標為基礎，作業前須準備本宗及鄰接範圍的界址點、圖根點資料。
• 數值法複丈可視現地情況採光線法、直線截點法、導線法、支距法或交會法。
• 新增分割點位於宗地內部，與位於宗地周界上的作法不同；兩者是本題的關鍵。
• 分割後各宗面積總和應與原宗面積相符；差數經檢核無誤後，按分割面積比例配賦。

解題方法與作業程序

一、受理申請並調查分割條件

由土地所有權人或管理人向土地所在地登記機關申請分割複丈。辦理時確認地號、申請範圍及分割條件，並依規定通知申請人及相關人員到場。現地界址應由申請人及關係人認定。

分割條件包括分割線位置、分割後各宗的形狀或面積等。作業須依申請人提出並經現地確認的條件測算，不能只按圖面比例任意劃分。

二、準備數值法複丈資料

依《地籍測量實施規則》第 246 條，準備：

1. 本宗土地及鄰接四周適當範圍內的界址點點號、坐標。
2. 附近圖根點點號、坐標。
3. 土地面積。
4. 參考圖及地籍調查表。
5. 由坐標計算的相關方位角、邊長。

這些資料用來安排現地測量、檢核既有控制與界址點，也作為分割點坐標及面積計算的基礎。

三、檢測圖根點及既有界址點

複丈以圖根點或界址點為依據。施測前先檢測圖根點及界址點，並將實測點間距離與坐標反算距離比較；檢測須沿縱、橫二方向實施。

容許差依土地類別及邊長計算：

• 市地：$0.005\sqrt{S}+0.04$ 公尺
• 農地：$0.01\sqrt{S}+0.08$ 公尺
• 山地：$0.02\sqrt{S}+0.08$ 公尺

其中 $S$ 為邊長，單位為公尺。檢測結果須符合規定，才能以既有坐標作為分割測算依據。

四、依新增分割點的位置分別測設

《地籍測量實施規則》第 253 條依新增界址點是否位於本宗周圍界線，規定兩種作法。