108 地方特考三等 測量製圖 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於測量平差與誤差理論中「同精度獨立直接觀測」的基礎題型，主要考查以下四大核心觀念與公式：

1. 算術平均值（最妥值 $\bar{L}$）： 在同精度觀測條件下，觀測值的算術平均值即為最妥值（Most Probable Value）： $\bar{\alpha} = \frac{\sum_{i=1}^n \alpha_i}{n}$
2. 改正數（殘差 $v_i$）與自檢條件： $v_i = \bar{\alpha} - \alpha_i \quad \text{或} \quad v_i = \alpha_i - \bar{\alpha}$ 依據最小二乘法原理，算術平均值的改正數總和恆等於零，即 $\sum_{i=1}^n v_i = 0$。
3. 貝索公式（Bessel's Formula）與中誤差傳播：

• 單一觀測值中誤差（同精度觀測之單位權中誤差 $\sigma$）： $\sigma = \sqrt{\frac{\sum v^2}{n-1}}$
• 算術平均值中誤差 $\sigma_{\bar{\alpha}}$： $\sigma_{\bar{\alpha}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum v^2}{n(n-1)}}$

4. 權與觀測次數之關係： 同精度觀測之平均值權 $P$ 與觀測次數 $n$ 成正比（$P \propto n$）。當單位權中誤差 $\sigma$ 不變時，平均值中誤差與觀測次數的平方根成反比： $\sigma_{\bar{\alpha}}' = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$

解題方法

第一部分：求垂直角平均值 $\bar{\alpha}$ 與其中誤差 $\sigma_{\bar{\alpha}}$

1. 計算平均值 $\bar{\alpha}$： 五次觀測值度、分均相同（$10^\circ25'$），僅秒數不同，將秒數部分取平均： $\bar{s} = \frac{36'' + 48'' + 45'' + 30'' + 24''}{5} = \frac{183''}{5} = 36.6''$ 故垂直角平均值為： $\bar{\alpha} = 10^\circ25'36.6''$

2. 計算各觀測值之改正數 $v_i$ 與平方和 $\sum v^2$： 定義 $v_i = \alpha_i - \bar{\alpha}$：

• $v_1 = 36'' - 36.6'' = -0.6''$
• $v_2 = 48'' - 36.6'' = +11.4''$
• $v_3 = 45'' - 36.6'' = +8.4''$
• $v_4 = 30'' - 36.6'' = -6.6''$
• $v_5 = 24'' - 36.6'' = -12.6''$

檢核：$\sum v_i = (-0.6) + 11.4 + 8.4 + (-6.6) + (-12.6) = 0''$（無誤）

計算平方和：

• $v_1^2 = (-0.6)^2 = 0.36$
• $v_2^2 = (11.4)^2 = 129.96$
• $v_3^2 = (8.4)^2 = 70.56$
• $v_4^2 = (-6.6)^2 = 43.56$
• $v_5^2 = (-12.6)^2 = 158.76$ $\sum v^2 = 0.36 + 129.96 + 70.56 + 43.56 + 158.76 = 403.20\,\mathrm{arcsec}^2$

核心觀念

本題考查單角法的正、倒鏡觀測平均，以及由平面座標求方位角。以下依測量學常用座標約定，以 $x$ 軸為北向、$y$ 軸為東向；方位角自北方向起順時針量起，方向角則依所在象限，從北或南方向轉向東或西方向量取。

由於觀測讀數採順時針增加，水平角可用「照準 $B$ 的讀數減照準 $A$ 的讀數」求得；正、倒鏡及各測回的結果再取平均。

解題方法

第一測回：

• 正鏡角值：$69^\circ21'29''-0^\circ02'28''=69^\circ19'01''$。
• 倒鏡角值：$249^\circ21'43''-180^\circ02'36''=69^\circ19'07''$。
• 第一測回平均角：$\dfrac{69^\circ19'01''+69^\circ19'07''}{2}=69^\circ19'04''$。

第二測回：

• 正鏡角值：$159^\circ22'25''-90^\circ03'25''=69^\circ19'00''$。
• 倒鏡角值：$339^\circ22'32''-270^\circ03'30''=69^\circ19'02''$。
• 第二測回平均角：$\dfrac{69^\circ19'00''+69^\circ19'02''}{2}=69^\circ19'01''$。

兩測回平均後，

核心觀念

本題考查單向三角高程測量（Trigonometric Leveling）​之基本原理與高程推算。

1. 三角高程測量基本公式： 在測站安置經緯儀或全站儀，觀測目標點之垂直角與兩點間之水平距離，藉由三角幾何關係推算高程差： $H_{\text{目標}} = H_{\text{測站}} + i + V - t$ 其中：

• $H_{\text{測站}}$、$H_{\text{目標}}$ 分別為測站與目標點之地表高程。
• $i$ 為測站儀器高（Instrument height）。
• $t$ 為目標點覘標高（Target height）。
• $V$ 為垂直分量（$V = S \cdot \tan\alpha$，$S$ 為水平距離，$\alpha$ 為垂直角，仰角為正、俯角為負）。

2. 高程差之定義：

• 由 $B$ 點至 $A$ 點之高程差： $\Delta h_{BA} = H_A - H_B = i + S \cdot \tan\alpha - t$
• 若題目提及「$B$ 與 $A$ 點間的高程差」，通常指 $B$ 至 $A$ 之高差 $\Delta h_{BA}$（即 $A$ 點比 $B$ 點高出之量）。

3. 地球曲率與大氣折光差（球氣差）修正之考量：

• 綜合球氣差修正公式為： $C = \frac{1 - k}{2R} S^2 \approx 0.0675 \times \left(\frac{S}{1000}\right)^2 \quad (\mathrm{m})$ （$R \approx 6371\,\mathrm{km}$ 為地球平均曲率半徑，$k \approx 0.14$ 為大氣折光係數）。
• 本題水平距離 $S = 445.56\,\mathrm{m}$，球氣差修正量約為 $0.013\,\mathrm{m}$。由於題目未給定地球半徑及折光係數，國家考試評分標準通常以「略去球氣差之工程實用解」為主，但高分答題應一併列出「計入球氣差」之嚴密解以求周延。

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 測站為 $B$ 點，儀器高 $i = 1.56\,\mathrm{m}$
• 目標為 $A$ 點，覘標高 $t = 2.50\,\mathrm{m}$，已知正高 $H_A = 153.57\,\mathrm{m}$
• 水平距離 $S = 445.56\,\mathrm{m}$
• 垂直角 $\alpha = +0^\circ 38' 54''$（正號代表仰角）

步驟二：計算垂直角分量 $V$

將垂直角換算為十進位度數： $\alpha = 0^\circ + \left(\frac{38}{60}\right)^\circ + \left(\frac{54}{3600}\right)^\circ = 0^\circ + 0.633333^\circ + 0.015^\circ = 0.648333^\circ$

計算垂直距 $V$： $V = S \cdot \tan\alpha = 445.56 \times \tan(0.648333^\circ) \approx 445.56 \times 0.01131600 = 5.042\,\mathrm{m}$

步驟三：推算高程差與 $B$ 點正高

【情況一：略去球氣差（一般工程測量基準）】

1. $B$ 至 $A$ 之高程差 $\Delta h_{BA}$： $\Delta h_{BA} = H_A - H_B = i + V - t = 1.56 + 5.042 - 2.50 = +4.102\,\mathrm{m}$ 即 $A$ 點比 $B$ 點高出 $4.102\,\mathrm{m}$；反之，$B$ 點相對於 $A$ 點之高程差 $\Delta h_{AB} = -4.102\,\mathrm{m}$。

核心觀念

本題旨在測驗細部測量與控制測量中「交會定位法」（Intersection Method）的基本學理與實務作業能力。核心觀念涵蓋：

1. 平面幾何三角解算原理：利用正弦定律（Law of Sines）與坐標正算（Forward Geodetic Computation），由已知基線與內角推算未知點平面坐標。
2. 誤差傳播與交會幾何強度：點位精度與交會角（$\gamma$）之正弦值平方成反比，理解交會角對點位誤差橢圓（Error Ellipse）之影響。
3. 無稜鏡／非接觸測量特性：目標點僅需具備光學通視，無需架設儀器或稜鏡，適用於障礙區與危險區作業。

解題方法

本題為典型申論題，回答應層次分明，切入點緊扣題目要求的四大面向：「定義」、「作業程序」、「使用時機」與「特性」，並以條列與公式推導展現專業深度：

一、前方交會法之定義

前方交會法（Forward Intersection）係指在兩個（或兩個以上）已知坐標之控制點上分別架設經緯儀或全測站儀（Total Station），各自瞄準另一已知點實施定向，並同時觀測至未知細部點（目標點）之水平方向角或水平夾角，藉由幾何三角關係計算出該未知點平面坐標（$X, Y$ 或 $N, E$）之測量方法。其核心特徵為「儀器架設於已知點，目標點僅作照準而不安置儀器」。

二、作業程序

作業程序分為「外業觀測」與「內業計算」兩大階段：

1. 外業觀測程序：

• 選點與踏勘：確認已知控制點 $A(X_A, Y_A)$、$B(X_B, Y_B)$ 與待測點 $P$ 之間通視良好，且構形交會角適當。
• 測站 A 觀測：於已知點 $A$ 整置儀器，後視已知點 $B$ 定向（歸零或置入方位角），前視待測點 $P$，以正倒鏡（兩測回以上）觀測水平夾角 $\alpha = \angle PAB$。
• 測站 B 觀測：於已知點 $B$ 整置儀器，後視已知點 $A$ 定向，前視待測點 $P$，以正倒鏡觀測水平夾角 $\beta = \angle PBA$。
• 檢核觀測（第三測站）：為防止粗差並提供多餘觀測，實務上宜於第三已知點 $C$ 同樣觀測至 $P$ 點之夾角或方位角，作為閉合檢核。

2. 內業計算推導：

• 基線長度與方位角計算： $S_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}$ $\phi_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\right)$
• 交會角 $\gamma$ 解算： $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$
• 利用正弦定律推算邊長： $S_{AP} = S_{AB} \cdot \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}$ $S_{BP} = S_{AB} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}$
• 推求點位方位角與坐標正算（以 $P$ 位於基線 $AB$ 前進方向右側為例）： $\phi_{AP} = \phi_{AB} + \alpha$ $X_P = X_A + S_{AP} \cdot \cos\phi_{AP}$ $Y_P = Y_A + S_{AP} \cdot \sin\phi_{AP}$ 同時由 $B$ 點計算進行檢核： $\phi_{BA} = \phi_{AB} \pm 180^\circ$ $\phi_{BP} = \phi_{BA} - \beta$ $X_P = X_B + S_{BP} \cdot \cos\phi_{BP}$ $Y_P = Y_B + S_{BP} \cdot \sin\phi_{BP}$

核心觀念

本題考查大地測量學與物理大地測量學中的高程系統（正高）定義與地球重力場水準面不平行性（Non-parallelism of Equipotential Surfaces）。

1. 正高（Orthometric Height, $H$）之定義：

• 幾何定義：地面點沿通過該點之真實彎曲鉛垂線（Plumb Line / Line of Force）​至大地水準面（Geoid）​之弧長距離。
• 物理公式定義： $H = \frac{C}{\bar{g}} = \frac{W_0 - W}{\bar{g}}$ 其中：
• $W_0$：大地水準面之重力位（Geopotential at Geoid）。
• $W$：該地面點所在水準面之重力位。
• $C = W_0 - W = \int_0^H g \, dh$：該點相對於大地水準面之位勢數（Geopotential Number）​或稱重力位差。
• $\bar{g}$：該點與大地水準面之間沿鉛垂線之平均重力值（Mean Gravity）。

2. 水準面（等位面，Equipotential Surface）之特性：

• 水準面為重力位 $W$ 處處相等的連續曲面。
• 在同一水準面上的任意點，其重力位皆相等，故相對大地水準面的位勢數 $C = W_0 - W$ 為一常數。

3. 地球重力隨緯度分布之特性：

• 由於地球呈扁橢球體（赤道半徑大於極半徑，地心引力在極點較大）以及地球自轉離心力隨緯度增加而遞減（赤道離心力最大且反向抵消重力，兩極離心力為零），地表及其周圍的重力值隨緯度增加而增大。
• 根據正常重力公式（如 Clairaut 定理或 Somigliana 公式），緯度 $\phi$ 越高，重力值 $g(\phi)$ 越強： $g(0^\circ) < g(45^\circ) < g(90^\circ)$

4. 水準面的不平行性：

• 由位能微分關係 $dW = -g \cdot dh$ 可知，兩相鄰水準面間之幾何間距 $dh = -\frac{dW}{g}$。
• 在重力較小處（赤道），水準面間距較大；在重力較大處（兩極），水準面間距較小。因此，地球表面各等位面朝兩極呈現收斂（靠攏）​之幾何特徵。

解題方法

一、正高定義之略圖與說明

 地面點 A (重力位 W)
 ● -------------------------- 地表某一水準面 (Equipotential Surface W)
 / ▲
 / │
 彎曲鉛垂線 / │ 正高 H
 (微偏向兩極) / │ (沿鉛垂力線之弧長)
 / │
 / ▼
 ● -------------------------------- 大地水準面 (Geoid, 重力位 W₀)
 A₀

作圖與要點說明：

1. 大地水準面（Geoid）：作為正高系統的垂直基準面，其重力位為常數 $W_0$。
2. 水準面（Equipotential Surface）：通過空間點 $A$ 之重力等位面，其重力位為 $W$。
3. 鉛垂力線（Plumb Line）：重力場之電力線/重力力線，正交於各水準面。因重力場非均勻分佈，鉛垂力線在空間中為微向兩極彎曲之空間曲線。
4. 正高 $H$：點 $A$ 沿該彎曲鉛垂線至大地水準面上對應點 $A_0$ 的實質空間弧長距離。

二、三點正高關係之嚴密推導

題目設定：$P$、$Q$、$R$ 三點位於地球表面之某一相同水準面上，且位於同一子午線上，緯度分別為：

• $P$ 點：$\phi_P = 0^\circ$（赤道）