107 地方特考三等 測量製圖 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查**相位式電子測距儀（Phase-shift Electronic Distance Meter, EDM）**的基礎物理與量測原理，主要涵蓋以下四項核心觀念與公式：

1. 電磁波傳播方程式： 電磁波之光速 $c$、頻率 $f$ 與波長 $\lambda$ 符合以下關係（測量學大氣條件下光速常數取 $c \approx 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$）： $c = f \cdot \lambda \implies \lambda = \frac{c}{f}$

2. 相位式測距幾何原理： 電子測距儀發射調變電磁波訊號至反射稜鏡，經往返傳播由接收器接收，往返總光程為 $2D$（$D$ 為單程距離）： $2D = N \lambda + \Delta \lambda = \left( N + \frac{\Delta \phi}{2\pi} \right) \lambda$ 式中，$N$ 為整週未知數（整週模糊度），$\Delta \phi$ 為相位差（$0 \le \Delta \phi < 2\pi$）。將兩邊同除以 $2$，單程距離為： $D = N \cdot \left(\frac{\lambda}{2}\right) + \frac{\Delta \phi}{2\pi} \cdot \left(\frac{\lambda}{2}\right)$ 其中，半波長 $U = \frac{\lambda}{2}$ 稱為測尺長度（Unit Length）。

3. 最大可測距離（粗測尺原理）： 單一調變頻率在不解整週未知數（$N=0$）的條件下，能唯一確定且不產生週數混淆的最大單程距離，取決於最低調變頻率（即最大波長，稱為粗測尺）： $D_{\max} = \frac{\lambda_{\max}}{2}$

4. 測距精度（精測尺原理與誤差傳播）： 測距儀的測量分辨力與測距精度取決於最高調變頻率（即最小波長，稱為精測尺）。若相位量測標準差對應之波長誤差為 $\sigma_\lambda$，因單程距離 $D = \frac{1}{2}(2D)$，依誤差傳播定律，單程距離量測標準差為： $\sigma_D = \frac{1}{2} \sigma_{\lambda_{\min}}$

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解題方法

步驟一：計算極端頻率對應之電磁波波長

光速取 $c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，訊號頻率介於 $0.3\ \mathrm{MHz}$ 至 $300\ \mathrm{MHz}$：

1. 最低頻率 $f_{\min} = 0.3\ \mathrm{MHz} = 0.3 \times 10^6\ \mathrm{Hz} = 3 \times 10^5\ \mathrm{Hz}$： $\lambda_{\max} = \frac{c}{f_{\min}} = \frac{3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}}{3 \times 10^5\ \mathrm{Hz}} = 1000\ \mathrm{m}$
2. 最高頻率 $f_{\max} = 300\ \mathrm{MHz} = 300 \times 10^6\ \mathrm{Hz} = 3 \times 10^8\ \mathrm{Hz}$： $\lambda_{\min} = \frac{c}{f_{\max}} = \frac{3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}}{3 \times 10^8\ \mathrm{Hz}} = 1\ \mathrm{m}$

步驟二：計算最大可測距離

儀器之最大不混淆測距範圍由最大波長 $\lambda_{\max} = 1000\ \mathrm{m}$ 的粗測尺決定。

核心觀念

本題的核心在於探討水準儀之**視準軸誤差（Collimation Axis Error，又稱 $i$ 角誤差）**對高程差測量之影響幾何機制，以及在實務外業與內業處理中的消除策略。

1. 視準軸誤差定義： 當水準儀之水準管軸（或自動補償器基準線）處於水平狀態時，視準軸未能保持水平，而與水平線夾有一微小垂直角 $\alpha$（本題為向上傾斜 $\alpha = +3''$）。
2. 對標尺讀數之誤差公式： 設視距（儀器至水準尺之水平距離）為 $D$，則視準軸傾斜導致標尺讀數產生之誤差量 $\Delta r$ 為： $\Delta r = D \cdot \tan\alpha \approx D \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 其中 $\rho'' = 206265''$（一弧度所對應之秒數）。當視準軸向上時，標尺讀數偏大。
3. 對單站高程差之誤差傳播： 設後視標尺讀數為 $b$、前視標尺讀數為 $f$，對應之後視距為 $D_b$、前視距為 $D_f$。 含有視準軸誤差之觀測讀數分別為： $b = b_0 + D_b \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ $f = f_0 + D_f \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 觀測高程差 $\Delta h = b - f$ 為： $\Delta h = (b_0 - f_0) + (D_b - D_f) \cdot \frac{\alpha''}{\rho''} = \Delta h_{\text{真}} + \delta_{\Delta h}$ 高程差之誤差量為： $\delta_{\Delta h} = (D_b - D_f) \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 由此式可知，視準軸誤差對高程差的影響僅取決於前後視距差 $(D_b - D_f)$。

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解題方法

題目要求設計至少兩種「觀測方式」或「資料處理方式」，以降低或消除 $3''$ 之視準軸誤差對五十公尺測線高程差的影響。以下提出三種具代表性且符合國家考試給分標準的設計方案（涵蓋外業觀測與內業計算）：

方法一：前後視距相等法（外業觀測設計）

• 設計原理： 控制外業測站配置，令後視距與前視距嚴格相等（$D_b = D_f$）。
• 作業步驟：

1. 將水準儀架設於待測兩點 $A$（後視點）與 $B$（前視點）之連線中點或對稱位置。
2. 因兩點相距約 $50\text{ m}$，以捲尺、測距輪或儀器視距絲將儀器精確安置於距離兩點各約 $25\text{ m}$ 處，確保 $D_b = D_f = 25\text{ m}$（前後視距差 $D_b - D_f = 0$）。
3. 依序觀測後視標尺讀數 $b$ 與前視標尺讀數 $f$。

• 數學推導： $\Delta h = b - f = \left(b_0 + D_b \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}\right) - \left(f_0 + D_f \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}\right) = (b_0 - f_0) + (D_b - D_f) \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 當 $D_b = D_f$ 時： $\delta_{\Delta h} = 0 \cdot \frac{3''}{206265''} = 0$ $\Delta h = b_0 - f_0 = \Delta h_{\text{真}}$
• 效果評估： 此法在外業直接自消誤差，無須後續計算改正，同時亦能一併消除地球曲率與大氣折光（二差）之影響。

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方法二：距離量測與數值改正法（內業資料處理設計）

• 設計原理： 已知視準軸誤差率 $\frac{\alpha''}{\rho''}$ 為定值，外業於任意適當地點架儀，同時測取視距，內業透過幾何關係計算誤差並予以扣除。
• 作業步驟：

1. 將水準儀安置於兩點間任意便利位置（例如地勢平坦處）。
2. 讀取 $A$、$B$ 兩點標尺之中絲讀數 $b$、$f$，並利用上、下視距絲讀數差乘上乘常數（通常為 $100$）求得精確水平距離 $D_b$ 與 $D_f$（或使用皮尺量測）。
3. 計算未改正高程差 $\Delta h_{\text{觀測}} = b - f$。
4. 計算視準軸誤差改正數 $C_{\alpha}$ 並加入高差成果。

• 數學推導： 視準軸向上傾斜時，讀數偏大，改正數應為負值： $C_{\Delta h} = - (D_b - D_f) \cdot \frac{\alpha''}{\rho''}$ 代入已知條件 $\alpha = +3''$： $C_{\Delta h} = - (D_b - D_f) \cdot \frac{3''}{206265''} \approx - (D_b - D_f) \times 1.454 \times 10^{-5}$ 則真高程差為： $\Delta h_{\text{真}} = \Delta h_{\text{觀測}} + C_{\Delta h} = (b - f) - (D_b - D_f) \cdot \frac{3''}{206265''}$
• 數值示範： 若因地形限制，儀器架設處距 $A$ 點 $10\text{ m}$、距 $B$ 點 $40\text{ m}$，則 $D_b - D_f = -30\text{ m}$：

核心觀念

本題考查工程測量中之極坐標放樣法（Polar Coordinate Staking-Out Method）與全測站儀（Total Station）作業實務。其核心架構涵蓋兩大面向：

1. 坐標反算（Inverse Coordinate Computation）：利用已知控制點與待放樣點之平面坐標 $(E, N)$，依解析幾何原理計算各點間之「距離」與「方位角」作為放樣元素（極角與極徑）。

• 坐標差：$\Delta E_{ij} = E_j - E_i$、$\Delta N_{ij} = N_j - N_i$
• 水平距離：$S_{ij} = \sqrt{\Delta E_{ij}^2 + \Delta N_{ij}^2}$
• 方位角：$\phi_{ij} = \arctan\left(\dfrac{\Delta E_{ij}}{\Delta N_{ij}}\right)$（需依 $\Delta E$、$\Delta N$ 正負符號進行象限歸算）
• 放樣水平夾角（順時針角／右角）：$\beta = \phi_{\text{前視}} - \phi_{\text{後視}}$（若差值為負則加 $360^\circ$）

2. 全測站儀放樣作業程序：全測站儀整合了電子經緯儀（測角）與電子測距儀（EDM），透過「整置（定心、整平）$\to$ 後視定向 $\to$ 撥轉放樣方向角 $\to$ 測距定點 $\to$ 實地檢核」等標準作業流程，將圖面上設計之坐標轉化為地面實體點位。

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解題方法

放樣作業分為內業放樣元素計算與外業儀器操作與檢核兩個階段。現場可選擇於點 $A$ 或點 $B$ 架設儀器；因點 $A$ 距待放樣點 $C$ 較近（視線短、精度高、折光影響小），故選定以點 $A$ 為測站點、點 $B$ 為後視點進行施測。

階段一：內業放樣元素計算

1. 計算測站點 $A$ 至後視點 $B$ 之方位角與平距

• 坐標差： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 145.62 - 265.83 = -120.21\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 189.93 - 176.88 = +13.05\ \mathrm{m}$
• 水平距離 $S_{AB}$： $S_{AB} = \sqrt{(-120.21)^2 + (+13.05)^2} = \sqrt{14450.4441 + 170.3025} = \sqrt{14620.7466} \approx 120.92\ \mathrm{m}$
• 方位角 $\phi_{AB}$： 因 $\Delta E_{AB} < 0$ 且 $\Delta N_{AB} > 0$，向量落在第四象限（西北象限）： $\theta = \arctan\left(\frac{|\Delta E_{AB}|}{|\Delta N_{AB}|}\right) = \arctan\left(\frac{120.21}{13.05}\right) \approx 83^\circ 48' 06''$ $\phi_{AB} = 360^\circ - 83^\circ 48' 06'' = 276^\circ 11' 54''$

2. 計算測站點 $A$ 至放樣點 $C$ 之方位角與平距

• 坐標差： $\Delta E_{AC} = E_C - E_A = 333.66 - 265.83 = +67.83\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AC} = N_C - N_A = 134.86 - 176.88 = -42.02\ \mathrm{m}$
• 水平距離 $S_{AC}$（放樣平距）： $S_{AC} = \sqrt{(+67.83)^2 + (-42.02)^2} = \sqrt{4600.9089 + 1765.6804} = \sqrt{6366.5893} \approx 79.79\ \mathrm{m}$
• 方位角 $\phi_{AC}$： 因 $\Delta E_{AC} > 0$ 且 $\Delta N_{AC} < 0$，向量落在第二象限（東南象限）： $\theta = \arctan\left(\frac{|\Delta E_{AC}|}{|\Delta N_{AC}|}\right) = \arctan\left(\frac{67.83}{42.02}\right) \approx 58^\circ 13' 23''$ $\phi_{AC} = 180^\circ - 58^\circ 13' 23'' = 121^\circ 46' 37''$

3. 計算放樣角 $\angle BAC$（順時針水平夾角 $\beta_A$）

以 $B$ 點為後視基準，順時針旋轉至 $C$ 點之度盤夾角為： $\beta_A = \phi_{AC} - \phi_{AB} = 121^\circ 46' 37'' - 276^\circ 11' 54'' = -154^\circ 25' 17''$ 加 $360^\circ$ 轉為正角度： $\beta_A = 360^\circ - 154^\circ 25' 17'' = 205^\circ 34' 43''$ （註：亦即自後視方向向右轉 $205^\circ 34' 43''$，或向左轉逆時針角 $154^\circ 25' 17''$）

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階段二：外業儀器操作與放樣施測程序

1. 設站與整置：

• 於控制點 $A$ 架設全測站儀，透過光學或雷射對心器、水準管進行精密定心與整平。
• 於控制點 $B$ 架設反射稜鏡（或三腳架覘標），完成精準定心與整平。

2. 後視定向與檢核：

• 全測站儀正鏡照準後視點 $B$ 之稜鏡中心。
• 度盤設定（二選一均可）：
• 方法甲（歸零法）：將水平度盤讀數歸零（設定為 $0^\circ 00' 00''$）。
• 方法乙（方位角法）：輸入或置入已知方位角 $\phi_{AB} = 276^\circ 11' 54''$。

核心觀念

本題旨在測驗考生對於「全球導航衛星系統（GNSS）三維定位誤差模型」與「誤差傳播理論」之通盤掌握能力。

GNSS 定位幾何本質為空間距離後方交會（虛擬距離多球交會）。使用者接收機之三維坐標精度，在數學上可由「使用者等效測距誤差」（User Equivalent Range Error, UERE，以 $\sigma_0$ 表示）與「幾何精度稀釋因子」（Dilution of Precision, DOP）之乘積進行評估：

$\sigma_{\text{pos}} = \text{PDOP} \times \sigma_0$

其中三維位置精度稀釋因子 $\text{PDOP} = \sqrt{\text{HDOP}^2 + \text{VDOP}^2}$。 因此，影響三維定位成果品質之因素，本質上可拆解為兩大層面：

1. 測距誤差來源（影響 $\sigma_0$）：涵蓋「衛星端」（星曆軌道、衛星鐘差）、「傳播路徑」（電離層延遲、對流層延遲）與「接收端環境」（多基路徑效應、天線相位中心偏差）。
2. 空間幾何分佈（影響 DOP）：測站可視衛星之空間交會幾何結構。

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解題方法

國考閱卷評分重點在於「系統性分類」與「物理機理具體說明」。切入點宜自經典誤差架構中，挑選對三維定位（特別是平面與高程）具關鍵性、決定性影響的主要因素作答：

1. 切入維度一：衛星空間幾何分佈（幾何因子 DOP）

• 說明衛星於天球之對稱性如何影響多球交會強韌度，並點出「垂直精度（VDOP）天生劣於水平精度（HDOP）」之幾何機理。

2. 切入維度二：電離層與對流層大氣延遲（傳播路徑誤差）

• 說明大氣層折射率變化如何導致訊號傳播速度改變與路徑彎曲，進而扭曲測距量，特別是對流層濕延遲對高程坐標之直接衝擊。

3. 切入維度三：多基路徑效應（測站周遭環境誤差）

• 說明直接訊號與反射訊號疊加對載波相位與偽距之干擾，並強調其「無法藉由站間差分消除」之局限性。

4. 切入維度四：載波相位整數未知數固定狀態（數據解算）

• 說明基線處理中整數未知數（Ambiguity）是否成功固定（Fix vs. Float），為決定成果能否達到公分級（cm）精度的根本關鍵。

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選項分析

本題為申論題（非選擇題），無選項需逐一排除。依國家考試閱卷標準，閱卷委員針對各要素之審查標準如下：

• 僅列出名詞（如僅寫「對流層、多基路徑、幾何分佈」）：僅能獲得 30%～40% 之基本分。
• 具備「物理機制」與「對三維分量（平面/高程）之具體影響」說明者：可獲 85%～100% 完整分數。答題時務必分別將各因素對坐標成果（$X, Y, Z$ 或 $N, E, h$）之具體破壞理由詳細闡述。

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解題技巧

1. 架構化記憶法（空、路、地、算）：

• 空（空間端）：衛星幾何分佈（DOP）、星曆軌道與衛星鐘差。
• 路（傳播路徑）：電離層延遲（色散）、對流層延遲（非色散）。
• 地（地面接收端）：多基路徑效應、天線相位中心偏差（PCO/PCV）。
• 算（演算法解算）：周波跳躍（Cycle Slip）與整數未知數固定率。

2. 必拿加分點——點出高程劣於平面的原因：