108 警察特考三等 交通警察人員交通組 交通統計與分析 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量考生在「交通統計與分析」領域中對次數分配表（Frequency Distribution Table）​之編製程序，以及直方圖（Histogram）​與次數多邊形圖（Frequency Polygon）​之繪製原理與規範：

1. 資料型態與連續變數處理：車輛速度（Speed）屬於連續型等比變數（Continuous Ratio Variable）。當原始觀測值以整數記錄時，為避免資料恰好落在分組邊界造成歸類爭議，理論上必須定義組界（Class Boundary）​以作為連續區間之銜接。
2. 分組參數決定法則：

• 全距（Range, $R$）：$R = \text{極大值 (Max)} - \text{極小值 (Min)}$。
• 組數（Number of Classes, $k$）：常用史特吉斯公式（Sturges' Rule）​決定： $k = 1 + 3.322 \log_{10}(n)$ 其中 $n$ 為樣本數。亦可採用 $2^k \ge n$ 之拇指法則（Rule of Thumb）。
• 組距（Class Width, $c$）：理論組距為 $c \ge \frac{R}{k}$。在交通工程與速度分析實務上，為符合速限管理與常規分析習慣，通常將組距取為 $5$ 或 $10\text{ km/h}$ 之整數倍。

3. 統計圖形結構規範：

• 直方圖：以各組之「組界」為柱體左右寬度、「次數（或相對次數）」為高度，相鄰柱體間不得有空隙（連續變數特徵）。
• 次數多邊形圖：以各組之「組中點（Class Midpoint）」為橫座標、「次數」為縱座標進行標點，並以直線依序相連。最關鍵處在於頭尾兩端必須向外延伸一組虛擬之零次數組中點並連接至橫軸閉合，使多邊形下方總面積等同於直方圖柱體總面積。

解題方法

(一) 速度次數分配表之編製步驟與結果

編製次數分配表需依循標準六步驟：

1. 整理資料並求全距（Range, $R$）： 將樣本數 $n = 24$ 筆之車速觀測值由小至大排序： $36, 39, 40, 42, 48, 49, 52, 54, 59, 59, 60, 60, 65, 68, 69, 71, 72, 72, 75, 76, 79, 81, 83, 85$

• 極小值（$\text{Min}$）$= 36\text{ km/h}$
• 極大值（$\text{Max}$）$= 85\text{ km/h}$
• 全距 $R = 85 - 36 = 49\text{ km/h}$

2. 決定組數（Class Number, $k$）： 依史特吉斯公式（Sturges' Rule）： $k = 1 + 3.322 \log_{10}(24) \approx 1 + 3.322 \times 1.3802 \approx 5.59$ 四捨五入取整數，得組數 $k = 6$。

3. 決定組距（Class Width, $c$）： 理論最小組距為： $c \ge \frac{R}{k} = \frac{49}{6} \approx 8.17\text{ km/h}$ 在交通工程速度特性分析中，為使級距清晰且便於速限分析，組距取整數 $c = 10\text{ km/h}$。

4. 設定組限（Class Limits）、組界（Class Boundaries）與組中點（Midpoint, $M_i$）：

• 第一組下限取 $30$（略小於最小值 $36$ 且為 $10$ 之倍數）。
• 本資料紀錄至整數位（單位精確度 $\Delta = 1$），故組界各向外擴增 $\frac{\Delta}{2} = 0.5$ 單位。
• 各組組中點計算公式為： $M_i = \frac{\text{組下界} + \text{組上界}}{2} = \frac{\text{組下限} + \text{組上限}}{2}$

5. 劃記（Tally）統計次數並計算各欄衍生統計量：

• 次數（Frequency, $f_i$）
• 相對次數（Relative Frequency, $f_i / n$）
• 累積次數（Cumulative Frequency, 包含以下或以上累積）

6. 編製完成之速度次數分配表：

(二) 車輛速度次數分配直方圖

1. 繪圖規則：

• 橫軸（X 軸）：標示速度組界（$\text{km/h}$），刻度分別為 $29.5, 39.5, 49.5, 59.5, 69.5, 79.5, 89.5$。
• 縱軸（Y 軸）：標示車輛次數 $f_i$（輛），刻度涵蓋 $0$ 至 $7$。
• 幾何形狀：以每組之組距為底寬（各寬度均為 $10\text{ km/h}$），以該組次數為高度，繪製互相緊鄰的矩形柱體。相鄰兩柱共用邊界，不得留有空隙。

核心觀念

本題旨在評量考生對交通工程與統計學中卜瓦松歷程（Poisson Process）​兩大核心分配之掌握程度，以及其在交通實務情境中的物理意義與連結：

1. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）：

• 隨機變數性質：離散型隨機變數（Discrete Random Variable）。
• 實務意義：代表在固定單位時間（或特定空間區間）內，某事件發生的「總次數」。
• 機率質量函數（PMF）： $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots$
• 平均數（期望值）：$E(X) = \lambda$，表示單位時間內的「平均事件發生率（Average Arrival/Occurrence Rate）」。

2. 指數分配（Exponential Distribution）：

• 隨機變數性質：連續型隨機變數（Continuous Random Variable）。
• 實務意義：代表在同一歷程下，連續兩次事件發生的「時間間隔（Inter-arrival Time）」​或「自某時間點起算至下一次事件發生之等候時間」。
• 機率密度函數（PDF）（依題附註）： $f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu}, \quad x > 0$
• 平均數（期望值）：$E(X) = \mu$，表示連續兩次事件發生之間的「平均間隔時間（Mean Inter-arrival Time）」。

3. 兩者平均數之內在關係（對偶性 Duality）： 在平穩且獨立的卜瓦松歷程下，令 $T$ 為兩事件發生的時間間隔，則「等候時間大於 $t$」等價於「在時間區間 $[0, t]$ 內發生的事件數為 0」： $P(T > t) = P(N(t) = 0) = \frac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!} = e^{-\lambda t}$ 因此，$T$ 的累積分配函數為 $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$，其機率密度函數微分得 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$。 對照題目附註之表示式 $f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu}$，可確立： $\lambda = \frac{1}{\mu} \quad \Longleftrightarrow \quad \mu = \frac{1}{\lambda}$ 兩者的平均數互為倒數關係。即「平均事件發生率」與「平均間隔時間」互為倒數。

解題方法

本題依題意不必進行繁複計算，重點在於清楚定義隨機變數的物理意義，並運用兩者平均數互為倒數的關係，分別代入兩大交通事件情境中進行系統化論述：

(一) 車禍事件之論述

1. 隨機變數之定義：

• 卜瓦松隨機變數（記為 $X$）：定義為「特定路段（或路口）在單位時間（如一年、一個月）內所發生的車禍總件數」。其取值為離散非負整數 $x \in \{0, 1, 2, \ldots\}$。
• 指數隨機變數（記為 $Y$）：定義為「該路段（或路口）連續兩次車禍發生的時間間隔」（或距離下一次車禍發生的等候時間）。其取值為連續正實數 $y > 0$。

2. 平均數之意義與關係：

• 卜瓦松分配的平均數 $\lambda$ 代表該地點的平均車禍發生率（次數/單位時間），例如「每年平均發生 12 件車禍」（$\lambda = 12$ 次/年）。
• 指數分配的平均數 $\mu$ 代表相鄰兩次車禍發生的平均間隔時間（時間/次）。
• 兩者滿足關係式： $\mu = \frac{1}{\lambda}$
• 實務涵義：若每年平均發生 $\lambda = 12$ 件車禍，則兩次車禍之間的平均間隔時間即為 $\mu = \frac{1}{12}$ 年（相當於 1 個月）。事故率愈高的危險路段（$\lambda$ 愈大），兩次車禍發生的時間間隔便愈短（$\mu$ 愈小）。

3. 交通特性合理性說明： 車禍在交通流中屬於機率極低之獨立突發狀況，符合卜瓦松歷程「稀少性（Rare Event）」與「無記憶性（Memoryless Property）」之假定。

(二) 車輛進入停車場事件之論述

1. 隨機變數之定義：

• 卜瓦松隨機變數（記為 $X$）：定義為「在特定時間長度（如尖峰一小時、單位時間 $t$）內，進入停車場的車輛總數（到達車數）」。其取值為離散非負整數 $x \in \{0, 1, 2, \ldots\}$。
• 指數隨機變數（記為 $Y$）：定義為「前後相鄰兩輛車進入停車場閘門的到達時間間隔（即到達車頭時距 Arrival Headway）」。

核心觀念

本題評量統計推論中「母體平均數的點估計與區間估計」，主要涉及以下統計學定義與公式：

1. 母體平均數的點估計量（Point Estimator）： 根據高斯－馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）及最大概似估計法（MLE），樣本平均數 $\bar{X}$ 為母體平均數 $\mu$ 的最佳不偏估計量（Best Unbiased Estimator），具備不偏性（Unbiasedness）、有效性（Efficiency）與一致性（Consistency）。

2. 母體標準差已知下的母體平均數區間估計： 當母體標準差 $\sigma$ 為已知，無論母體是否為常態分配，當樣本數 $n \ge 30$ 時，由中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）可知樣本平均數的抽樣分配近似於常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 故建立母體平均數 $\mu$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間公式為： $\bar{x} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 其中：

• $\bar{x}$：樣本平均數
• $\sigma$：母體標準差
• $n$：樣本數
• $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$：樣本平均數的標準誤（Standard Error, SE）
• $Z_{\alpha/2}$：標準常態分配在右尾機率為 $\alpha/2$ 時的臨界值（Critical Value）

解題方法

已知條件彙整

• 樣本數：$n = 30$
• 樣本平均數：$\bar{x} = 5.6$（年）
• 母體標準差（已知）：$\sigma = 0.8$（年）
• 平均數標準誤： $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.8}{\sqrt{30}} \approx \frac{0.8}{5.4772} \approx 0.1461\text{（年）}$

(一) 最佳的母體汽車使用平均值

母體平均數 $\mu$ 之最佳點估計值即為樣本平均數 $\bar{x}$。 $\hat{\mu} = \bar{x} = 5.6\text{（年）}$

(二) 在 95% 信賴區間，母體汽車使用平均值

1. 信賴水準 $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$。
2. 查標準常態分配表得臨界值：$Z_{0.025} = 1.96$。
3. 抽樣誤差（Margin of Error, $E$）：

核心觀念

本題屬於公職與警察特考「交通統計與分析」中最核心的雙變數計量分析（Bivariate Quantitative Analysis）​題型，主要考核以下觀念與公式：

1. 皮爾森積差相關係數（Pearson Correlation Coefficient, $r$）： 衡量兩連續變數間線性相關程度與方向： $r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} \cdot SS_{yy}}}$
2. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）回歸估計： 求得使誤差平方和最小之直線參數： $b_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}}, \quad b_0 = \bar{Y} - b_1\bar{X}$
3. 回歸斜率之 $t$ 檢定： 檢定自變數 $X$ 對應變數 $Y$ 是否具有顯著線性影響（$H_0: \beta_1 = 0$）： $t = \frac{b_1 - 0}{s_{b_1}} = \frac{b_1}{\sqrt{\frac{MSE}{SS_{xx}}}} \sim t(n-2)$
4. 變異數分析（ANOVA）與整體回歸顯著性 $F$ 檢定： 將總變異（$SST$）分解為回歸變異（$SSR$）與殘差變異（$SSE$），藉由 $F$ 檢定確認模型解釋力： $F = \frac{MSR}{MSE} \sim F(1, n-2)$ 在簡單線性回歸中，具備數學恆等性質：$t^2 = F$ 且 $r^2 = R^2 = \frac{SSR}{SST}$。

解題方法

步驟 0：基礎數據彙整與離差平方和計算

樣本數 $n = 10$。將各項基本統計量彙整如下：

• $\sum X = 9+3+7+4+6+8+3+5+8+6 = 59 \implies \bar{X} = \frac{59}{10} = 5.9$
• $\sum Y = 22+9+22+12+14+24+5+9+18+16 = 151 \implies \bar{Y} = \frac{151}{10} = 15.1$
• $\sum X^2 = 9^2+3^2+7^2+4^2+6^2+8^2+3^2+5^2+8^2+6^2 = 389$
• $\sum Y^2 = 22^2+9^2+22^2+12^2+14^2+24^2+5^2+9^2+18^2+16^2 = 2651$
• $\sum XY = (9 \times 22) + (3 \times 9) + (7 \times 22) + (4 \times 12) + (6 \times 14) + (8 \times 24) + (3 \times 5) + (5 \times 9) + (8 \times 18) + (6 \times 16) = 1003$

計算離差平方和與交叉乘積和：

• $SS_{xx} = \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} = 389 - \frac{59^2}{10} = 389 - 348.1 = 40.9$
• $SS_{yy} = \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} = 2651 - \frac{151^2}{10} = 2651 - 2280.1 = 370.9$
• $SS_{xy} = \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} = 1003 - \frac{59 \times 151}{10} = 1003 - 890.9 = 112.1$

(一) 計算 $X$ 和 $Y$ 的相關係數

帶入皮爾森相關係數公式： $r = \frac{SS_{xy}}{\sqrt{SS_{xx} \cdot SS_{yy}}} = \frac{112.1}{\sqrt{40.9 \times 370.9}} = \frac{112.1}{\sqrt{15169.81}} = \frac{112.1}{123.1658} \approx 0.9102$

分析說明：$r \approx 0.9102$，顯示路口 1 的右轉車流量與路口 2 的車流量之間呈現高度正線性相關。

(二) 計算簡單直線回歸 $Y = b_0 + b_1X$

1. 計算斜率 $b_1$： $b_1 = \frac{SS_{xy}}{SS_{xx}} = \frac{112.1}{40.9} \approx 2.7408$
2. 計算截距 $b_0$： $b_0 = \bar{Y} - b_1\bar{X} = 15.1 - 2.74083 \times 5.9 = 15.1 - 16.1709 = -1.0709$

故簡單直線回歸估計式為： $\hat{Y} = -1.0709 + 2.7408X$ （四捨五入取至小數點後三位為：$\hat{Y} = -1.071 + 2.741X$）

(三) 以 $t$ 值檢定 $b_1$ 在 $\alpha=0.05$ 是否為零

1. 建立統計假設：

• 虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$（斜率為零，兩者無顯著線性關係）
• 對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 0$（斜率不為零，具顯著線性關係）

2. 計算變異數與標準誤：