107 鐵路特考高員三級 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

1. 輸電線模型判斷： 依電力系統慣例，輸電線依線路長度可分為短程（$l < 80\ \mathrm{km}$）、中程（$80\ \mathrm{km} \le l \le 240\ \mathrm{km}$）及長程（$l > 240\ \mathrm{km}$）。本題線長 $l = 50\ \mathrm{km} < 80\ \mathrm{km}$，且題目未給定並聯電容（對地導納），故採用短程輸電線模型（Short Transmission Line Model），忽略並聯導納（$Y = 0$）。

2. 單相等效電路分析： 三相對稱系統採用單相等效電路解析。送電端與受電端的相量關係式為： $\mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I}_R \mathbf{Z}$ 其中 $\mathbf{V}_S$ 與 $\mathbf{V}_R$ 為相電壓（線對中性點電壓），$\mathbf{I}_R$ 為受電端線電流，$\mathbf{Z} = R + jX$ 為輸電線單相總串聯阻抗。

3. 電壓調節率（Voltage Regulation, $VR$）之定義： 受電端自滿載（Full Load）至無載（No Load）時，受電端電壓變化量對滿載電壓的百分比。在短程輸電線中，無載時受電端電壓等於送電端電壓（$|\mathbf{V}_{R,NL}| = |\mathbf{V}_S|$），故電壓調節率公式為： $VR = \frac{|\mathbf{V}_{R,NL}| - |\mathbf{V}_{R,FL}|}{|\mathbf{V}_{R,FL}|} \times 100\% = \frac{|\mathbf{V}_S| - |\mathbf{V}_R|}{|\mathbf{V}_R|} \times 100\% = \frac{V_{S,LL} - V_{R,LL}}{V_{R,LL}} \times 100\%$

解題方法

步驟一：計算輸電線單相總串聯阻抗 $\mathbf{Z}$

• 單相總電阻： $R = r \times l = 0.1\ \Omega/\mathrm{km} \times 50\ \mathrm{km} = 5\ \Omega$
• 角頻率： $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 376.99\ \mathrm{rad/s}$
• 單相每公里感抗： $x_L = \omega L = 376.99 \times (1.2 \times 10^{-3}) \approx 0.4524\ \Omega/\mathrm{km}$
• 單相總感抗： $X = x_L \times l = 0.4524 \times 50 \approx 22.62\ \Omega$ （或直接計算 $X = \omega L \times l = 2\pi \times 60 \times 1.2 \times 10^{-3} \times 50 = 7.2\pi \approx 22.6195\ \Omega$）
• 總串聯阻抗： $\mathbf{Z} = R + jX = 5 + j22.62\ \Omega$

步驟二：建立受電端電壓與電流相量

• 以受電端相電壓為參考相量（$\angle 0^\circ$）： $\mathbf{V}_R = \frac{V_{R,LL}}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ = \frac{66000}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ \approx 38105.12 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$
• 功率因數 $\cos\theta = 0.8$ 滯後，則 $\sin\theta = 0.6$，電流相量為：

核心觀念

本題考查電力系統分析中「對稱成分法（Method of Symmetrical Components）」應用於「非對稱不平衡故障（線間故障，Line-to-Line Fault）」之核心推導：

1. 對稱成分轉換矩陣： 三相實體相量與序相量之轉換關係為 $V^{abc} = \mathbf{A} V^{012}$ 及 $I^{abc} = \mathbf{A} I^{012}$，其中轉換矩陣 $\mathbf{A}$ 及反矩陣 $\mathbf{A}^{-1}$ 定義為（$a = e^{j 120^\circ} = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$）： $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix}$
2. 序阻抗矩陣轉換： 相阻抗矩陣 $Z^{abc}$ 轉換至序座標系之阻抗矩陣為： $Z^{012} = \mathbf{A}^{-1} Z^{abc} \mathbf{A}$
3. 無載發電機序網路方程式： 發電機為對稱三相電源，僅產生正相序感應電勢 $E_a$（$E_a^1 = E_a$，$E_a^0 = E_a^2 = 0$）： $V_a^0 = -Z^0 I_a^0$ $V_a^1 = E_a - Z^1 I_a^1$ $V_a^2 = -Z^2 I_a^2$
4. 線間故障（$b-c$ 相經阻抗 $Z_f$ 故障）之邊界條件：

• 故障相與非故障相電流關係：$I_a = 0$、$I_b + I_c = 0$（即 $I_c = -I_b$）。
• 故障相端電壓關係：$V_b - V_c = Z_f I_b$（題目內文邊界條件寫為 $V_f I_b$，依電氣量綱與後續子題，此處 $V_f$ 為印刷筆誤，實為故障阻抗 $Z_f$）。

解題方法

(一) 證明：$Z^{012} = \begin{bmatrix} Z_s & 0 & 0 \\ 0 & Z_s & 0 \\ 0 & 0 & Z_s \end{bmatrix}$

1. 建立發電機相阻抗矩陣 $Z^{abc}$： 依題意與圖一所示之三相對稱發電機，三相各相內部自阻抗均為 $Z_s$，且相與相之間無互感（互阻抗 $Z_m = 0$），故在相座標（$a-b-c$）下之阻抗矩陣為純對角矩陣： $Z^{abc} = \begin{bmatrix} Z_s & 0 & 0 \\ 0 & Z_s & 0 \\ 0 & 0 & Z_s \end{bmatrix} = Z_s \mathbf{I}$ 其中 $\mathbf{I}$ 為 $3 \times 3$ 單位矩陣。

2. 進行對稱成分轉換： 相電壓與相電流關係為 $V^{abc} = Z^{abc} I^{abc}$。 代入序轉換公式 $V^{abc} = \mathbf{A} V^{012}$ 與 $I^{abc} = \mathbf{A} I^{012}$： $\mathbf{A} V^{012} = Z^{abc} \mathbf{A} I^{012}$ 兩邊同左乘 $\mathbf{A}^{-1}$： $V^{012} = \left(\mathbf{A}^{-1} Z^{abc} \mathbf{A}\right) I^{012} = Z^{012} I^{012}$ 因此序阻抗矩陣定義為： $Z^{012} = \mathbf{A}^{-1} Z^{abc} \mathbf{A}$

3. 代入純量單位矩陣運算： 由於 $Z^{abc} = Z_s \mathbf{I}$，標量 $Z_s$ 可提出於矩陣相乘之外： $Z^{012} = \mathbf{A}^{-1} (Z_s \mathbf{I}) \mathbf{A} = Z_s \left(\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}\right) = Z_s \mathbf{I} = \begin{bmatrix} Z_s & 0 & 0 \\ 0 & Z_s & 0 \\ 0 & 0 & Z_s \end{bmatrix}$ 此結果表明零相序、正相序、負相序阻抗皆相等，即： $Z^0 = Z^1 = Z^2 = Z_s$ 得證： $Z^{012} = \begin{bmatrix} Z_s & 0 & 0 \\ 0 & Z_s & 0 \\ 0 & 0 & Z_s \end{bmatrix}$

(二) 證明 $a$ 相之正相序電流：$I_a^1 = \frac{E_a}{Z^1 + Z^2 + Z_f}$

1. 由故障電流邊界條件求序電流關係： 根據邊界條件 $I_a = 0$ 且 $I_c = -I_b$，由對稱成分轉換求序電流 $I^{012} = \mathbf{A}^{-1} I^{abc}$：

• 零相序電流： $I_a^0 = \frac{1}{3}(I_a + I_b + I_c) = \frac{1}{3}(0 + I_b - I_b) = 0$
• 正相序電流： $I_a^1 = \frac{1}{3}(I_a + a I_b + a^2 I_c) = \frac{1}{3}(0 + a I_b - a^2 I_b) = \frac{1}{3}(a - a^2) I_b$
• 負相序電流：

核心觀念

1. 匯流排分類與特性：

• 匯流排 1（搖擺匯流排 / Slack Bus）：電壓大小與相角已知，$V_1 = 1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}$（即 $|V_1|=1.0\ \mathrm{pu}$，$\delta_1=0^\circ$）。
• 匯流排 2（電壓控制匯流排 / PV Bus）：已知發電機發電量、負載量以及電壓大小 $|V_2| = 0.9\ \mathrm{pu}$，僅相角 $\delta_2$ 為待求之狀態變數。

2. 匯流排導納矩陣（$\mathbf{Y}_{\mathrm{bus}}$）：

• 由輸電線串聯導納計算自導納與互導納，不計對地並聯導納及線路電阻。

3. 潮流方程式（Power Flow Equation）：

• 注入匯流排 $i$ 之實功率通用公式： $P_i = |V_i| \sum_{k=1}^N |V_k| [G_{ik}\cos(\delta_i - \delta_k) + B_{ik}\sin(\delta_i - \delta_k)]$

4. 牛頓－拉夫遜法（Newton-Raphson Method）：

• 針對單一未知變數 $\delta_2$ 的一階線性化疊代方程： $\Delta P_2^{(0)} = J_{11}^{(0)} \Delta \delta_2^{(0)}$ 其中 $\Delta P_2^{(0)} = P_{2,\mathrm{sch}} - P_2^{(0)}$ 為功率不平衡量，$J_{11}^{(0)} = \left.\frac{\partial P_2}{\partial \delta_2}\right|_{\delta_2^{(0)}}$ 為賈可比（Jacobian）純量。
• 疊代更新式：$\delta_2^{(1)} = \delta_2^{(0)} + \Delta \delta_2^{(0)}$（計算過程角度單位必須使用弳度 $\mathrm{rad}$）。

解題方法

步驟一：基準值轉換與參數標麼化

• 系統容量基準值：$S_{\mathrm{base}} = 100\ \mathrm{MVA}$
• 匯流排 2 之發電與負載標麼值： $P_{G2} = \frac{100\ \mathrm{MW}}{100\ \mathrm{MVA}} = 1.0\ \mathrm{pu}$ $P_{L2} = \frac{120\ \mathrm{MW}}{100\ \mathrm{MVA}} = 1.2\ \mathrm{pu},\quad Q_{L2} = \frac{20\ \mathrm{Mvar}}{100\ \mathrm{MVA}} = 0.2\ \mathrm{pu}$
• 匯流排 2 之指定淨實功率注入量（Scheduled Power Injection）： $P_{2,\mathrm{sch}} = P_{G2} - P_{L2} = 1.0 - 1.2 = -0.2\ \mathrm{pu}$

步驟二：建立匯流排導納矩陣

• 輸電線導納 $y_{12} = -j5\ \mathrm{pu}$。
• 匯流排導納矩陣元素： $Y_{21} = -y_{12} = j5\ \mathrm{pu} \implies G_{21} = 0,\ B_{21} = 5\ \mathrm{pu}$ $Y_{22} = y_{12} = -j5\ \mathrm{pu} \implies G_{22} = 0,\ B_{22} = -5\ \mathrm{pu}$

(一) 推導匯流排 2 之實功率 $P_2$ 方程式

將系統參數代入匯流排實功率注入通式： $P_2 = |V_2|^2 G_{22} + |V_2||V_1|[G_{21}\cos(\delta_2 - \delta_1) + B_{21}\sin(\delta_2 - \delta_1)]$

代入已知數據：

• $|V_1| = 1.0\ \mathrm{pu}$，$\delta_1 = 0^\circ$
• $|V_2| = 0.9\ \mathrm{pu}$
• $G_{22} = 0$，$G_{21} = 0$，$B_{21} = 5$

整理得： $P_2 = (0.9)^2 (0) + (0.9)(1.0)[0\cdot\cos\delta_2 + 5\sin(\delta_2 - 0^\circ)]$ $P_2 = 4.5\sin\delta_2\ \mathrm{pu}$

（若以實體單位 $\mathrm{MW}$ 表示，則為 $P_2 = 450\sin\delta_2\ \mathrm{MW}$）

核心觀念

1. 三相平衡正相序（$abc$ 相序）： 在三相平衡系統中，各相大小相等、頻率相同，彼此互差 $120^\circ$。在正相序（Positive Sequence，$a-b-c$ 相序）下，$b$ 相落後 $a$ 相 $120^\circ$，$c$ 相落後 $b$ 相 $120^\circ$（即超前 $a$ 相 $120^\circ$）。
2. 時域與相量（Phasor）轉換： 若正弦時域信號為 $x(t) = X_m \cos(\omega t + \theta)$，其有效值（RMS）相量表示為： $\mathbf{X} = X_{rms} \angle \theta = \frac{X_m}{\sqrt{2}} \angle \theta$
3. 複數功率（Complex Power）與三相功率計算： 單相複數功率定義為相電壓有效值相量與相電流有效值相量共軛之乘積： $\mathbf{S}_{1\phi} = \mathbf{V}_{an} \mathbf{I}_{an}^* = P_{1\phi} + j Q_{1\phi}$ 三相平衡發電機輸出之總複數功率為單相功率的 3 倍： $\mathbf{S}_{3\phi} = 3 \mathbf{S}_{1\phi} = P_{3\phi} + j Q_{3\phi}$

• 三相總實功率：$P_{3\phi} = 3 V_{ph} I_{ph} \cos\theta$
• 三相總虛功率：$Q_{3\phi} = 3 V_{ph} I_{ph} \sin\theta$（依 IEEE 規範，電壓相角減電流相角 $\theta = \theta_v - \theta_i$）

4. 功率因數（Power Factor, $PF$）： $PF = \cos(\theta_v - \theta_i)$ 若電流相角超前電壓相角（$\theta_i > \theta_v$，即 $\theta < 0$），功率因數為領先（Leading，輸出容性虛功率或吸收感性虛功率）。

解題方法

(一) 求 $b$ 相電壓與電流表示式

依據題目條件，系統為三相平衡且為正相序，故 $b$ 相之電壓與電流在時間相位上皆落後 $a$ 相 $120^\circ$：

1. $b$ 相電壓表示式： $v_{bn}(t) = 100\sqrt{2}\cos(\omega t + 30^\circ - 120^\circ) = 100\sqrt{2}\cos(\omega t - 90^\circ)\ \mathrm{V}$
2. $b$ 相電流表示式： $i_{bn}(t) = 2\sqrt{2}\cos(\omega t + 60^\circ - 120^\circ) = 2\sqrt{2}\cos(\omega t - 60^\circ)\ \mathrm{A}$

(二) 計算發電機輸出三相總實功率、總虛功率及總功率因數

1. 轉換為有效值相量：

• $a$ 相電壓有效值相量： $\mathbf{V}_{an} = 100 \angle 30^\circ\ \mathrm{V}$
• $a$ 相電流有效值相量： $\mathbf{I}_{an} = 2 \angle 60^\circ\ \mathrm{A}$

2. 計算單相複數功率 $\mathbf{S}_a$： 取電流之共軛相量 $\mathbf{I}_{an}^* = 2 \angle -60^\circ\ \mathrm{A}$： $\mathbf{S}_a = \mathbf{V}_{an} \mathbf{I}_{an}^* = (100 \angle 30^\circ)(2 \angle -60^\circ) = 200 \angle -30^\circ\ \mathrm{VA}$ 展開為直角座標形式：