108 高普考普通考試 電子工程 電子儀表概要 考古題詳解

核心觀念

本題考愛亦頓分流器（Ayrton shunt）的多量程電流表。電表頭滿刻度電流為 $I_m=500\,\mu\mathrm{A}=0.5\,\mathrm{mA}$，內阻為 $R_a=100\,\Omega$。各量程下，電表頭與分流電阻形成並聯支路；並聯支路兩端電壓相等，且總電流等於各支路電流之和。

依圖中的開關接點，三個量程的電表頭支路與分流支路如下：

• $2\,\mathrm{mA}$：電表頭支路為 $R_a$；分流支路為 $R_1+R_2+R_3$。
• $20\,\mathrm{mA}$：電表頭支路為 $R_a+R_1$；分流支路為 $R_2+R_3$。
• $200\,\mathrm{mA}$：電表頭支路為 $R_a+R_1+R_2$；分流支路為 $R_3$。

解題方法

在每個量程的滿刻度狀態下，電表頭電流固定為 $0.5\,\mathrm{mA}$，其餘電流流經分流支路。對各量程分別套用並聯支路電壓相等：

$2\,\mathrm{mA}$ 量程

分流電流為 $2-0.5=1.5\,\mathrm{mA}$。因此：

$20\,\mathrm{mA}$ 量程

電表頭支路電流為 $0.5\,\mathrm{mA}$，分流支路電流為 $20-0.5=19.5\,\mathrm{mA}$：

核心觀念

數位計數器（Digital Counter）主要具備「頻率量測（Frequency Measurement）」與「週期量測（Period Measurement）」兩種核心操作模式。兩者本質上互為信號角色對調的互補架構：

1. 頻率量測模式：由內部高穩定度的「時基電路」產生固定寬度的閘門時間（Gate Time，如 $1\text{ s}$）來開啟主閘門，計算在該時段內通過的「被測信號脈波數」。
2. 週期量測模式：改由「被測輸入信號」的一個完整週期時間 $T_x$ 控制主閘門的開啟與關閉，並計算在此期間通過主閘門的內部「高頻標準時基脈波數」 $N$。
3. 基本計算關係式： 設內部標準時基頻率為 $f_c$、時脈週期為 $T_c = \frac{1}{f_c}$，若主閘門開啟期間累計計數為 $N$，則被測信號週期 $T_x$ 為： $T_x = N \times T_c = \frac{N}{f_c}$

此模式特別適用於量測低頻信號，能有效克服低頻時頻率量測計數值過小所帶來的巨大百分比量化誤差（$\pm 1\text{ count error}$）。

解題方法

一、週期量測系統方塊圖

在試卷上作答時，方塊圖須清楚表達信號流向、控制邏輯及四大主要部分：輸入信號調節與整形單元、閘門控制單元、內部時基單元、主計數與顯示單元。

【被測輸入信號 fx】
 │
 ▼
┌───────────────┐
│ 輸入信號調節 │ (衰減器、放大器、輸入保護)
└───────┬───────┘
 │
 ▼
┌───────────────┐
│ 施密特觸發器 │ (Schmitt Trigger，波形整形為數位方波)
└───────┬───────┘
 │ 週期為 Tx 的矩形脈波
 ▼
┌───────────────┐
│ 閘門控制電路 │ (正反器 Flip-Flop，產生寬度為 Tx 的致能脈波)
└───────┬───────┘
 │ 閘門致能信號 (Gate Enable)
 ▼
 ┌───────┐
 │ │ ◄─── 內部標準時基脈波 (頻率 fc，週期 Tc)
 │ 主閘門 │ ┌─────────────────┐ ┌─────────────┐
 │(AND閘)│ │ 時基分頻電路 │ ◄─── │ 石英晶體振盪器 │
 └───┬───┘ │(Time Base Scaler│ │(Crystal Osc)│
 │ └─────────────────┘ └─────────────┘
 │ 允許通過之時基脈波群
 ▼
┌───────────────┐
│ 十進位計數器 │ (Decade Counters)
└───────┬───────┘
 │ 累計數值 N
 ▼
┌───────────────┐
│ 鎖存與解碼驅動│ (Latch & Decoder / Driver)
└───────┬───────┘
 │
 ▼
┌───────────────┐
│ 數值顯示器 │ (Display Unit，直接指示 Tx 數值與單位)
└───────────────┘

二、工作原理與動作流程說明

1. 輸入信號調節與整形（Input Conditioning & Wave Shaping）：

• 待測信號經衰減器調整振幅後，送入施密特觸發器（Schmitt Trigger）。
• 施密特觸發器利用內建的遲滯電壓（Hysteresis），將任意形狀的連續週期信號（如弦波、三角波）轉換為具有陡峭上升與下降邊緣的標準數位方波脈波。

2. 主閘門啟閉控制（Gate Control）：

• 整形後的方波觸發閘門控制電路（通常由雙穩態正反器 Flip-Flop 組成）。
• 當被測信號的第一個正緣（Rising Edge）到達時，正反器翻轉，輸出高準位訊號將主閘門（AND Gate）打開。
• 當下一個正緣到達時（歷時一個週期 $T_x$），正反器再次翻轉，輸出低準位將主閘門關閉。
• 主閘門開啟的精準時間區間即為待測信號週期 $T_x$。

3. 標準時基脈波通過與計數（Time Base Gating & Counting）：

核心觀念

1. 巴克豪森振盪準則（Barkhausen Criterion）： 線性回授系統產生持續弦波振盪的必要條件為迴路增益（Loop Gain）$T(s) = A(s)\beta(s)$ 滿足：

• 相位條件：$\angle T(j\omega_0) = 0^\circ$ 或 $360^\circ \times n$（迴路總相移為零，形成正回授）。
• 振幅條件：$|T(j\omega_0)| = |A(j\omega_0)\beta(j\omega_0)| = 1$（起振時需滿足 $|T| \ge 1$，穩定振盪時維持 $|T| = 1$）。

2. RC 超前－落後網路（Lead-Lag Network）： 韋恩電橋的頻率選擇網路係由一個 RC 串聯分支與一個 RC 並聯分支組成，兼具高通（超前）與低通（落後）帶通濾波特性，在共振頻率 $\omega_0$ 處輸出訊號與輸入訊號同相（相移為 $0^\circ$），且衰減率為 $\beta = \frac{1}{3}$。
3. 雙迴路架構特性：

• 正回授迴路：連接至運算放大器的非反相輸入端（$+$），決定振盪頻率並提供同相回授訊號。
• 負回授迴路：連接至運算放大器的反相輸入端（$-$），提供穩定的閉迴路電壓增益（$A_v = 3$），抑制波形發散與失真。

解題方法

一、韋恩電橋振盪器電路架構

韋恩電橋振盪器通常採用運算放大器（Op-Amp）搭配 RC 頻率選擇電路及電阻負回授網路構成，架構圖如下：

 ┌─────────────── Rf ───────────────┐
 │ │
 │ |\ │
 ├───(-)───| \ │
 │ | \ │
 [R1] | >───────┬────────────┴────── Vo
 │ ┌───| / │
 GND │ | / │
 │ |/ │
 │ │
 │ │
 v+ ───┴───────────────┼────────────┐
 │ │ │
 [R] │ [R]
 │ │ │
 --- C │ --- C
 --- │ ---
 │ │ │
 GND └────────────┘
 (並聯分支) (串聯分支)
 └──────────────── 正回授網路 ───────────────┘

• 非反相放大端（負回授）：由反相輸入端的電阻 $R_1$ 與回授電阻 $R_f$ 組成非反相放大器架構。
• 正回授網路：由串聯電阻-電容（$R$、$C$）及並聯電阻-電容（$R$、$C$）組成超前－落後分壓電路，連接至非反相端。

二、正、負回授原理詳細說明

1. 正回授原理（決定振盪頻率與維持振盪）：

• 輸出電壓 $V_o$ 經由 RC 串聯與並聯網路分壓後，回授至運算放大器的非反相輸入端（$v_+$）。
• 當訊號頻率低於共振頻率（$\omega < \omega_0$）時，RC 網路呈電容性（相位超前）；當訊號頻率高於共振頻率（$\omega > \omega_0$）時，RC 網路呈電阻－電容落後特性（相位落後）。
• 在特定共振頻率 $\omega_0$ 處，正回授網路的相移恰為 $0^\circ$。此時，運算放大器在非反相組態下的固有相移亦為 $0^\circ$。
• 訊號繞行迴路一圈之總相移 $\angle A\beta = 0^\circ + 0^\circ = 0^\circ$（即 $360^\circ$ 的整數倍），滿足巴克豪森相位準則，回授訊號增強原本的擾動，因而形成同相正回授以建立並維持振盪。

2. 負回授原理（穩定輸出振幅與限制失真）：

• 輸出電壓 $V_o$ 同時經由純電阻分壓網路（$R_1$ 與 $R_f$）回授至運算放大器的反相輸入端（$v_-$）。
• 負回授網路提供即時反相抵消作用，將放大器的閉迴路電壓增益精準鎖定為： $A_v = 1 + \frac{R_f}{R_1}$
• 起振與振幅穩定機制：
• 起振階段：電路啟動時，為確保電路內部微小的熱雜訊能被放大建立振盪，閉迴路增益設計為略大於 3（即 $|A_v \beta| > 1 \implies R_f > 2R_1$），使得訊號振幅以指數形式增長。
• 穩態階段：若持續維持增益大於 3，輸出訊號將撞及電源軌造成嚴重的削波失真（Clipping）。因此，實務上常在負回授路徑中加入非線性元件（例如：二極體限幅網路、PTC 鎢絲燈泡或 NTC 熱敏電阻）。當輸出振幅增大時，非線性元件自動降低等效回授增益，使迴路增益精確回落至 $|A_v \beta| = 1$（$A_v = 3$），維持穩定且無失真的純弦波輸出。

三、振盪器頻率方程式推導

設串聯分支阻抗為 $Z_s$，並聯分支阻抗為 $Z_p$： $Z_s = R + \frac{1}{sC} = \frac{1 + sRC}{sC}$ $Z_p = R \parallel \frac{1}{sC} = \frac{R \cdot \frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{R}{1 + sRC}$

核心觀念

本題考查電子儀表與音頻信號產生器中常見的 RC 正弦波振盪電路——T 型電橋振盪器（Bridged-T Oscillator）。其核心原理建立在以下觀念與準則上：

1. 巴克豪森振盪準則（Barkhausen Criterion）：

• 閉迴路起振條件：在特定振盪頻率 $f_0$ 下，迴路增益大小 $|A\beta| \ge 1$。
• 相位條件：環路總相移必須為 $0^\circ$ 或 $360^\circ$ 的整數倍（正回授）。

2. 雙迴路回授架構（正回授與負回授共存）：

• 負回授網路：採用具備帶阻（陷波 Notch）特性的 T 型電橋網路。在中心頻率 $f_0$ 處，負回授傳輸率降至最低（或完全為零），使負回授量在該頻率最小；而在其他頻率處，負回授量顯著增加，抑制非諧波雜訊，確保輸出為高純度正弦波。
• 正回授網路：採用同相分壓網路，提供維持振盪所需的增益與 $0^\circ$ 相移。

3. 電橋平衡與諧振條件：藉由 RC 網路在特定頻率下虛部或實部平衡，決定無相移或最小傳輸的諧振頻率公式。

解題方法

1. T 型電橋振盪器之電路架構

T 型電橋振盪器通常由一顆運算放大器（Op-Amp）結合正回授分壓網路與負回授 T 型電橋網路構成，其經典架構如下圖所示：

 +------------------------------------------+
 | C2 (橋接臂) |
 | +---------||---------+ |
 | | | |
 | | R1 R2 | |
 | +--/\/\/\--+--/\/\/\-+ |
 | | |
 | --- C1 |
 | --- (分流臂) |
 | | |
 | GND |
 | |
 | [ 負回授網路：RC 橋式 T 型網路 ] |
 +-------------------+ |
 | |
 | |
 |\ | |
 +----------| - \ | |
 | | >---+----------------------+-----> Vo
 | +---| + / |
 | | |/ |
 --- | |
 R3 +---/\/\/\---+
 --- | R4
 | |
 GND | [ 正回授網路：電阻分壓網路 ]

2. 正回授網路與負回授網路的構成元件詳細說明

(1) 正回授網路（Positive Feedback Network）

• 構成元件：由兩顆純電阻 $R_3$ 與 $R_4$ 組成的同相分壓器電路。
• 連接方式：跨接於運算放大器的輸出端（$V_o$）、非反相輸入端（$+$）與接地端之間。
• 回授係數（$\beta_+$）： $\beta_+ = \frac{R_3}{R_3 + R_4}$
• 功能作用：

• 提供信號相移為 $0^\circ$ 的同相正回授。
• 決定維持振盪所需的開環補償增益，確保在諧振頻率時滿足巴克豪森準則 $|A\beta| \ge 1$。
• 在實際儀表設計中，為使振幅穩定不失真，$R_3$ 或 $R_4$ 常搭配非線性熱敏電阻（PTC/NTC）、背對背二極體限幅電路或鎢絲燈泡進行自動增益控制（AGC）。

(2) 負回授網路（Negative Feedback Network）

• 構成元件：由 RC 橋式 T 型（Bridged-T）網路 組成，典型對稱結構包含：

• 串聯臂（Series Arms）：兩只相同阻值的電阻 $R_1 = R_2 = R$。
• 分流臂（Shunt Arm）：一只電容 $C_1$，一端連接於 $R_1$ 與 $R_2$ 的共節點，另一端接地。
• 橋接臂（Bridging Arm）：一只電容 $C_2$，直接跨接於兩串聯電阻的外側兩端（跨接在輸入端與輸出端之間）。 (註：亦有另一種對偶形式為兩電容串聯 $C$、下地電阻 $R_1$、橋接電阻 $R_2$)。

• 連接方式：串聯於運算放大器輸出端（$V_o$）與反相輸入端（$-$）之間。
• 功能作用：

• 構成帶阻（陷波）特性。在特定頻率 $f_0$ 處，該網路輸出相移剛好為 $0^\circ$，且傳輸率（衰減係數）達到極小值。
• 負回授在 $f_0$ 處最小，正回授在此頻率佔據優勢，促使電路僅在 $f_0$ 起振；對偏離 $f_0$ 的頻率，負回授量劇增，將其他雜訊及諧波強烈抑制。

3. 振盪頻率方程式之推導

對負回授 RC 橋式 T 型網路進行節點電壓分析（設輸入為 $V_i$，輸出至反相端為 $V_-$，中央節點為 $V_x$）：

1. 中央節點 $V_x$ 的 KCL： $\frac{V_i - V_x}{R} = \frac{V_x - V_-}{R} + sC_1 V_x$ 整理可得： $V_x = \frac{V_i + V_-}{2 + sRC_1}$