107 高普考高考二級 機械工程 自動控制學 考古題詳解

核心觀念

1. 閉迴路轉移函數（Closed-loop Transfer Function）： 依題意與原卷圖 1 之控制架構，系統為典型單位負回授控制系統，前向路徑由比例增益控制器 $k$ 與一階受控體 $G_p(s) = \frac{1}{s+1}$ 串聯組成（即前向轉移函數 $G(s) = \frac{k}{s+1}$，回授轉移函數 $H(s) = 1$）。閉迴路轉移函數為： $T(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} = \frac{\frac{k}{s+1}}{1 + \frac{k}{s+1}} = \frac{k}{s + 1 + k}$
2. 步階響應與部分分式展開（Step Response & Partial Fraction Expansion）： 輸入為 3 倍單位步階訊號 $r(t) = 3 u(t)$，其拉氏轉換為 $R(s) = \frac{3}{s}$。系統輸出 $C(s) = T(s) R(s)$，藉由部分分式展開法求取逆拉氏轉換（Inverse Laplace Transform），解出時域全解 $c(t)$。
3. 暫態響應與穩態響應（Transient and Steady-State Responses）：

• 暫態響應 $c_{tr}(t)$：由系統閉迴路極點所對應的模態（Mode）產生，隨時間增長而指數衰減至 0。
• 穩態響應 $c_{ss}(t)$：由輸入訊號極點（位於原點）所主導，為時間趨於無窮大時系統的輸出極限值。

4. 穩態誤差與型態（Steady-State Error of Type 0 System）： 本系統開迴路轉移函數無原點極點（型態 0 系統，Type 0 System），對步階輸入存在有限的穩態誤差： $e_{ss} = \frac{R}{1 + K_p}, \quad K_p = \lim_{s \to 0} G(s) = k$
5. 增益 $k$ 對時域特性的折衝（Trade-offs of Proportional Gain $k$）： 分析增益 $k$ 對系統穩定度、時間常數（響應速度）、穩態精度、致動器飽和（Actuator Saturation）及未塑模高頻動態（Unmodeled Dynamics）的影響。

解題方法

(一) 當 $k=1$、$r(t)=3$ 時之輸出完整解

1. 代入參數建立轉移函數： 當 $k = 1$ 時，閉迴路轉移函數為： $T(s) = \frac{1}{s + 1 + 1} = \frac{1}{s + 2}$ 閉迴路極點位於 $s = -2$，位於左半複數平面，系統為漸近穩定。

2. 計算輸出轉換式 $C(s)$： 輸入 $r(t) = 3 u(t) \implies R(s) = \frac{3}{s}$，因此： $C(s) = T(s) R(s) = \frac{1}{s + 2} \cdot \frac{3}{s} = \frac{3}{s(s+2)}$

3. 部分分式展開： 設 $C(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}$，由留數定理（Heaviside Cover-up Method）： $A = \lim_{s \to 0} s C(s) = \left. \frac{3}{s+2} \right|_{s=0} = \frac{3}{2} = 1.5$ $B = \lim_{s \to -2} (s+2) C(s) = \left. \frac{3}{s} \right|_{s=-2} = \frac{3}{-2} = -1.5$ 得： $C(s) = \frac{1.5}{s} - \frac{1.5}{s+2}$

4. 取逆拉氏轉換求解時域響應： $c(t) = \mathcal{L}^{-1}\{C(s)\} = (1.5 - 1.5 e^{-2t}) u(t)$ 將其分解為暫態與穩態部分：

• 穩態響應：$c_{ss}(t) = \lim_{t \to \infty} c(t) = 1.5 \quad (t \ge 0)$
• 暫態響應：$c_{tr}(t) = -1.5 e^{-2t} \quad (t \ge 0)$
• 完整解：$c(t) = c_{ss}(t) + c_{tr}(t) = 1.5 - 1.5 e^{-2t} \quad (t \ge 0)$

(二) 最小輸出誤差之 $k$ 值設計、優缺點分析與 3 種 $k$ 值響應圖

1. $k$ 值範圍設計： 閉迴路轉移函數為 $T(s) = \frac{k}{s + 1 + k}$，閉迴路極點為 $s = -(1+k)$。

• 穩定性條件：閉迴路極點必須位於左半平面，即 $-(1+k) < 0 \implies k > -1$。
• 穩態誤差推導： 誤差定義為 $e(t) = r(t) - c(t)$，其拉氏轉換為： $E(s) = R(s)[1 - T(s)] = \frac{3}{s} \left(1 - \frac{k}{s + 1 + k}\right) = \frac{3}{s} \cdot \frac{s + 1}{s + 1 + k}$ 由終值定理（Final Value Theorem）： $e_{ss} = \lim_{s \to 0} s E(s) = \frac{3(0 + 1)}{0 + 1 + k} = \frac{3}{1 + k}$
• 設計原則： 若要求系統輸出誤差 $e_{ss}$ 愈小愈好（即 $e_{ss} \to 0$），由分母式 $1+k$ 可知，$k$ 必須取正值且數值愈大愈好。 理論極限為 $k \to \infty$；工程實際設計範圍為： $k > 0 \quad \text{且} \quad k \gg 1$

2. 增大 $k$ 值之優缺點分析：

• 優點：

1. 減小穩態誤差：$e_{ss} = \frac{3}{1+k}$，隨著 $k$ 增大，$e_{ss}$ 單調遞減逼近於 0，顯著提升指令追蹤精度。
2. 加快暫態響應速度：閉迴路極點位於 $s = -(1+k)$，時間常數 $\tau = \frac{1}{1+k}$。$k$ 愈大，時間常數愈小，系統上升時間與調節時間顯著縮短，動態響應更迅速。
3. 增強抗擾動與強健性：較高的開迴路增益能抑制受控體參數飄移的敏感度，並有效衰減輸入端的負載擾動。

• 缺點：

1. 致動器飽和（Actuator Saturation）：控制器輸出控制量 $u(t) = k \cdot e(t)$ 與 $k$ 成正比。在步階輸入瞬間，誤差 $e(0^+) = 3$，所需初始控制力為 $u(0^+) = 3k$。過大的 $k$ 會直接使馬達或放大器進入非線性飽和區，失去線性控制能力。

核心觀念

本題評量頻域分析中波德圖（Bode Plot）的標準繪製程序與純時間延遲（Time Delay / Dead Time）對頻域特性的影響。核心觀念與公式包含：

1. 波德標準式（時間常數型，Time-Constant Form）： 繪製波德圖前，必須將分子與分母的一階因式化為 $(1 + s/\omega_c)$ 之形式，以直接讀取系統的波德增益（Bode Gain）$K_B$ 以及各轉角頻率（Corner Frequencies）。
2. 幅值圖漸近線規律：

• 基準增益 $K_B$ 與原點極點 $\frac{1}{s}$：在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 時幅值為 $20\log_{10} K_B$，斜率為 $-20\text{ dB/decade}$。
• 一階極點 $\frac{1}{1 + s/\omega_p}$：在轉角頻率 $\omega_p$ 處，斜率改變 $-20\text{ dB/decade}$。
• 一階零點 $1 + s/\omega_z$：在轉角頻率 $\omega_z$ 處，斜率改變 $+20\text{ dB/decade}$。

3. 相位特性規律：

• 原點極點 $\frac{1}{s}$：提供恆定的 $-90^\circ$ 相位。
• 一階極點 $\frac{1}{1 + j\omega/\omega_p}$：相位貢獻為 $-\tan^{-1}(\omega/\omega_p)$。
• 一階零點 $1 + j\omega/\omega_z$：相位貢獻為 $+\tan^{-1}(\omega/\omega_z)$。

4. 純時間延遲 $e^{-Ts}$ 之頻域響應： 代入 $s = j\omega$，得 $e^{-j\omega T} = 1 \cdot e^{-j\omega T}$。其大小為 $1$（即 $0\text{ dB}$），相位落後為 $-\omega T\text{ rad} = -\frac{180^\circ}{\pi}\omega T$。

解題方法

(一) 繪製 $G(s) = \frac{s+5}{s(s+2)(s+3)}$ 的波德圖

步驟一：轉移函數化為波德標準式

提出分子與分母各因式的常數項：

• 波德增益：$K_B = \frac{5}{6}$
• 原點極點：$s = 0$（一重）
• 系統極點（轉角頻率）：$\omega_{p1} = 2\text{ rad/s}$、$\omega_{p2} = 3\text{ rad/s}$
• 系統零點（轉角頻率）：$\omega_{z1} = 5\text{ rad/s}$

步驟二：幅值圖（Magnitude Plot）漸近線分析

各區間轉角頻率由低至高排列為：$\omega = 2 \to 3 \to 5\text{ rad/s}$。

1. 低頻漸近線（$\omega < 2\text{ rad/s}$）： 由原點極點項 $\frac{K_B}{s} = \frac{5/6}{s}$ 主導，斜率為 $-20\text{ dB/decade}$。 在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 處的漸近值為：

（或漸近線與 $0\text{ dB}$ 軸交於 $\omega = \frac{5}{6} \approx 0.833\text{ rad/s}$）

2. 轉折區間與斜率變化：

• 在 $\omega = 2\text{ rad/s}$：遇到極點 $\omega_{p1}$，斜率由 $-20\text{ dB/decade}$ 變為 $-40\text{ dB/decade}$。 該點漸近幅值為：

• 在 $\omega = 3\text{ rad/s}$：遇到極點 $\omega_{p2}$，斜率由 $-40\text{ dB/decade}$ 變為 $-60\text{ dB/decade}$。 該點漸近幅值為：

• 在 $\omega = 5\text{ rad/s}$：遇到零點 $\omega_{z1}$，斜率由 $-60\text{ dB/decade}$ 變為 $-40\text{ dB/decade}$。 該點漸近幅值為：

• 高頻區間（$\omega > 5\text{ rad/s}$）：維持 $-40\text{ dB/decade}$ 的斜率持續衰減。

步驟三：相位圖（Phase Plot）特性分析

頻率響應之相位公式為：

關鍵頻率之相位計算：

• $\omega \to 0^+\text{ rad/s}$：$\angle G(j\omega) \to -90^\circ$
• $\omega = 1\text{ rad/s}$：$\angle G(j1) = -90^\circ + \tan^{-1}(0.2) - \tan^{-1}(0.5) - \tan^{-1}(0.333) \approx -90^\circ + 11.31^\circ - 26.57^\circ - 18.43^\circ = -123.69^\circ$
• $\omega = 2\text{ rad/s}$：$\angle G(j2) = -90^\circ + \tan^{-1}(0.4) - 45^\circ - \tan^{-1}(0.667) \approx -90^\circ + 21.80^\circ - 45^\circ - 33.69^\circ = -146.89^\circ$

核心觀念

本題旨在考驗負回授控制系統中，控制器增益 $k$ 可正可負時的廣義根軌跡法（Generalized Root Locus），包含傳統正根軌跡（$k > 0$）與負根軌跡／互補根軌跡（$k < 0$）。解題的核心觀念與理論依據如下：

1. 閉迴路特徵方程式（Characteristic Equation）： 單位負回授系統的閉迴路特徵方程式為： $1 + G(s) = 0 \implies 1 + \frac{k(s-2)}{s^2+6s+8} = 0$ 整理成多項式型態： $s^2 + (6+k)s + (8-2k) = 0$

2. 根軌跡之相角條件（Angle Condition）：

• 正根軌跡（$k > 0$）：滿足 $180^\circ$ 準則，$\angle G_0(s) = (2m+1)180^\circ$。實數軸上的軌跡點，其右側之實數開迴路極點與零點總數必為奇數。
• 負根軌跡（$k < 0$）：滿足 $0^\circ$ 準則，$\angle G_0(s) = m \cdot 360^\circ$。實數軸上的軌跡點，其右側之實數開迴路極點與零點總數必為偶數（含 0）。

3. 分離點（Breakaway Point）與匯合點（Break-in Point）： 重根點滿足 $\frac{dk}{ds} = 0$。由極值點對應之增益 $k$ 正負值與實軸區間，判定其屬於正根軌跡或負根軌跡。

4. 複數根軌跡之幾何形狀（圓形法則）： 對於開迴路具有「兩個實極點、一個實零點」的系統，其離開實軸後的複數根軌跡必為以該實零點為圓心的圓弧。

5. 虛軸交點（臨界穩定邊界）： 令特徵多項式之 $s = j\omega$，分別令實部與虛部為零，解出交點頻率 $\omega$ 與臨界增益 $k$。

解題方法

步驟一：標明開迴路極點與零點座標

分母因式分解：$s^2+6s+8 = (s+2)(s+4)$。

• 開迴路極點（Poles，標記為 $\times$）： $p_1 = -2 \quad (\text{座標 } (-2, 0)), \quad p_2 = -4 \quad (\text{座標 } (-4, 0))$ 極點數 $n = 2$。
• 開迴路零點（Zero，標記為 $\circ$）： $z_1 = 2 \quad (\text{座標 } (2, 0))$ 零點數 $m = 1$（位於右半平面，屬非最小相位系統）。
• 分支數（Number of Branches）： 共有 $\max(n, m) = 2$ 條根軌跡分支。

步驟二：實軸上的根軌跡（Real-axis Segments）

實軸上的臨界點由右至左依序為：$z_1 = 2$、$p_1 = -2$、$p_2 = -4$。

1. $k > 0$（正根軌跡，右方極零點數為奇數）：

• 區間 $(-2, 2]$：右方僅有零點 $z_1 = 2$（1 個，奇數），此區間在正根軌跡上。
• 區間 $(-\infty, -4]$：右方有 $z_1, p_1, p_2$（3 個，奇數），此區間在正根軌跡上。
• 流向：隨著 $k$ 由 $0 \to +\infty$，極點 $s = -2$ 朝右移動至零點 $s = 2$；極點 $s = -4$ 朝左移動至 $-\infty$。此情況下根軌跡全程位於實軸上，無複數根。

2. $k < 0$（負根軌跡，右方極零點數為偶數）：

• 區間 $[-4, -2]$：右方有 $z_1, p_1$（2 個，偶數），此區間在負根軌跡上。
• 區間 $[2, +\infty)$：右方無任何極零點（0 個，偶數），此區間在負根軌跡上。
• 流向：隨著 $k$ 由 $0 \to 0^-$，極點 $s = -4$ 與 $s = -2$ 在實軸上相向移動，必在區間內產生分離點。

步驟三：求實軸分離點（Breakaway）與匯合點（Break-in）

特徵方程式為： $s^2 + 6s + 8 + k(s - 2) = 0 \implies k = -\frac{s^2 + 6s + 8}{s - 2}$ 對 $s$ 微分並令其為零： $\frac{dk}{ds} = -\frac{(2s + 6)(s - 2) - (s^2 + 6s + 8)(1)}{(s - 2)^2} = 0$ 展開分子： $(2s^2 - 4s + 6s - 12) - (s^2 + 6s + 8) = 0 \implies s^2 - 4s - 20 = 0$ 解一元二次方程式： $s = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-20)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{6}$ 數值約為： $s_1 = 2 - 2\sqrt{6} \approx -2.899, \quad s_2 = 2 + 2\sqrt{6} \approx +6.899$

代入驗證與歸屬判定：

• 分離點（Breakaway Point）： $s_1 = 2 - 2\sqrt{6} \approx -2.899 \in [-4, -2]$ 對應增益為： $k(s_1) = -\frac{(-2.899)^2 + 6(-2.899) + 8}{-2.899 - 2} = 4\sqrt{6} - 10 \approx -0.202 < 0$ 此點屬於負根軌跡之分離點。兩分支在此處以 $\pm 90^\circ$ 離開實軸。

• 匯合點（Break-in Point）： $s_2 = 2 + 2\sqrt{6} \approx +6.899 \in [2, +\infty)$ 對應增益為： $k(s_2) = -\frac{(6.899)^2 + 6(6.899) + 8}{6.899 - 2} = -10 - 4\sqrt{6} \approx -19.798 < 0$ 此點屬於負根軌跡之匯合點。複數軌跡在此處以 $\pm 90^\circ$ 進入實數軸。

步驟四：複數根軌跡方程式（幾何形狀證明）

設閉迴路複數極點為 $s = \sigma \pm j\omega$（$\omega \neq 0$），代入特徵方程式： $(\sigma + j\omega)^2 + (6+k)(\sigma + j\omega) + (8-2k) = 0$ 展開並令虛部為零： $2\sigma\omega + (6+k)\omega = 0 \implies 2\sigma + 6 + k = 0 \implies k = -6 - 2\sigma$ 令實部為零並代入 $k$： $\sigma^2 - \omega^2 + (6+k)\sigma + (8-2k) = 0$ $\sigma^2 - \omega^2 + (-2\sigma)\sigma + [8 - 2(-6 - 2\sigma)] = 0$

核心觀念

本題考查線性控制系統的穩態誤差（Steady-State Error, $e_{ss}$）、系統型態（System Type）、靜態誤差常數（Static Error Constants）​以及控制器特性（P、PD、PI）​對系統穩態性能之影響。

1. 單位負回授系統之誤差定義： 對單位負回授系統（$H(s) = 1$），開迴路轉移函數為 $G(s) = G_c(s)G_p(s)$。系統追蹤誤差為： $E(s) = R(s) - C(s) = \frac{1}{1 + G(s)} R(s)$
2. 終值定理（Final Value Theorem, FVT）與步階輸入穩態誤差： 當輸入為單位步階訊號 $r(t) = u(t) \iff R(s) = \frac{1}{s}$，若閉迴路系統為漸近穩定（極點均具負實部），則穩態誤差為： $e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \frac{1}{1 + G(s)} = \frac{1}{1 + K_{pos}}$ 其中 $K_{pos}$ 為靜態位置誤差常數（Position Error Constant）： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} G_c(s) G_p(s)$
3. 系統型態對步階誤差之決定性：

• 型態 0（Type 0）系統：開迴路轉移函數在原點無極點（$s=0$ 處無極點），$K_{pos}$ 為有限常數，對步階輸入存在非零有限穩態誤差 $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_{pos}}$。
• 型態 1（Type 1）系統：開迴路轉移函數在原點具有一個純積分極點（$\frac{1}{s}$），$K_{pos} \to \infty$，對步階輸入之最終穩態誤差為 $e_{ss} = 0$。

4. 控制器特性：

• P 控制器：提供比例增益，不改變系統型態。
• PD 控制器：引入開迴路零點，改善暫態阻尼與頻寬，但不改變原點極點數（仍為型態 0）。其直流增益（DC Gain）直接影響 $K_{pos}$。
• PI 控制器：引入原點極點 $\frac{1}{s}$，將系統型態提升為型態 1，可徹底消除對步階輸入之穩態誤差。

解題方法

受控體轉移函數為： $G_p(s) = \frac{1}{(s+2)(s+8)}$

其開迴路轉移函數為： $G(s) = G_c(s) \cdot \frac{1}{(s+2)(s+8)}$

當 $s \to 0$ 時，受控體的直流增益為： $\lim_{s \to 0} G_p(s) = \frac{1}{2 \times 8} = \frac{1}{16}$

故位置誤差常數簡化為： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G_c(s) \cdot \frac{1}{16}$

依此計算各小題中不同控制器的 $K_{pos}$，確認閉迴路系統具備穩定性後，代入 $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_{pos}}$ 求解。

計算推導與問題解析

(一) 當 $K_P = 100$ 時各控制器之穩態誤差

1. 正比控制器 (P)：$G_c(s) = K_P = 100$

• 開迴路轉移函數： $G(s) = \frac{100}{(s+2)(s+8)} = \frac{100}{s^2 + 10s + 16}$
• 閉迴路特徵方程式： $s^2 + 10s + 16 + 100 = s^2 + 10s + 116 = 0$ 各項係數皆為正，閉迴路極點具負實部，系統漸近穩定。
• 靜態位置誤差常數： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G(s) = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25$
• 最終穩態誤差： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_{pos}} = \frac{1}{1 + \frac{25}{4}} = \frac{4}{29} \approx 0.1379$

2. 正比與微分控制器 (PD)：$G_c(s) = K_P(1+10s) = 100(1+10s)$

• 開迴路轉移函數： $G(s) = \frac{100(1+10s)}{(s+2)(s+8)}$
• 閉迴路特徵方程式： $s^2 + 10s + 16 + 1000s + 100 = s^2 + 1010s + 116 = 0$ 係數皆為正，系統漸近穩定。
• 靜態位置誤差常數： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G(s) = \frac{100(1)}{16} = \frac{25}{4} = 6.25$
• 最終穩態誤差： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_{pos}} = \frac{4}{29} \approx 0.1379$

3. 正比與積分控制器 (PI)：$G_c(s) = K_P\left(1+\frac{0.1}{s}\right) = \frac{100(s+0.1)}{s}$

• 開迴路轉移函數： $G(s) = \frac{100(s+0.1)}{s(s+2)(s+8)} = \frac{100s + 10}{s(s^2 + 10s + 16)}$
• 閉迴路特徵方程式： $s^3 + 10s^2 + 116s + 10 = 0$ 利用勞士穩定準則（Routh's Stability Criterion）：
• $s^3$ 列：$1, 116$
• $s^2$ 列：$10, 10$
• $s^1$ 列：$\frac{10 \times 116 - 1 \times 10}{10} = 115 > 0$
• $s^0$ 列：$10 > 0$ 第一行元素均為正，系統漸近穩定。
• 系統為型態 1（開迴路含原點極點），靜態位置誤差常數： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G(s) = \lim_{s \to 0} \frac{100(s+0.1)}{s(s+2)(s+8)} = \infty$
• 最終穩態誤差： $e_{ss} = \frac{1}{1 + \infty} = 0$

(二) 控制器參數形式修改後之穩態誤差與比較分析

此處 $K_P = 100$，各控制器形式更新如下：

1. 正比控制器 (P)：維持 $G_c(s) = 100$ 不變 $K_{pos} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25 \implies e_{ss} = \frac{4}{29} \approx 0.1379$

2. 修正後之正比與微分控制器 (PD)：$G_c(s) = K_P(0.1+s) = 100(s+0.1)$

• 開迴路轉移函數： $G(s) = \frac{100(s+0.1)}{(s+2)(s+8)}$
• 閉迴路特徵方程式：$s^2 + 110s + 26 = 0$，系統穩定。
• 靜態位置誤差常數： $K_{pos} = \lim_{s \to 0} G(s) = \frac{100 \times 0.1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0.625$
• 最終穩態誤差： $e_{ss} = \frac{1}{1 + K_{pos}} = \frac{1}{1 + \frac{5}{8}} = \frac{8}{13} \approx 0.6154$

3. 修正後之正比與積分控制器 (PI)：$G_c(s) = K_P\left(0.1+\frac{1}{s}\right) = \frac{100(0.1s+1)}{s} = \frac{10s+100}{s}$

• 開迴路轉移函數： $G(s) = \frac{10s+100}{s(s+2)(s+8)}$
• 閉迴路特徵方程式：$s^3 + 10s^2 + 26s + 100 = 0$ 勞士表 $s^1$ 列元素為 $\frac{10 \times 26 - 1 \times 100}{10} = 16 > 0$，系統漸近穩定。