107 高普考高考二級 機械工程 機械設計學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於流體動壓潤滑（Hydrodynamic Lubrication）理論在黏滯泵（Viscous Shear Pump / Drag Pump）設計上的經典應用，核心觀念涵蓋：

1. 一維雷諾方程式（1D Reynolds Equation）： $\frac{d}{dx}\left(\frac{h^3}{\eta}\frac{dp}{dx}\right)=6U\frac{dh}{dx}$ 當油膜厚度 $h$ 為常數（均勻間隙）且流體黏度 $\eta$ 視為常數時，$\frac{dh}{dx} = 0$，表示流動方向的壓力梯度 $\frac{dp}{dx}$ 為定值，壓力呈線性分佈。
2. 間隙流之流量疊加原理（Couette-Poiseuille Flow）： 間隙中的速度場由軸旋轉帶動的剪切流（Couette Flow，正向驅動）與出口反壓造成的壓力流（Poiseuille Flow，逆向阻抗）線性疊加而成。單位寬度體積流量為： $q_x = \frac{Uh}{2} - \frac{h^3}{12\eta}\frac{dp}{dx}$ 總體積流量 $Q$ 即為單位寬度流量乘以軸向長度 $W$。
3. 最高阻抗壓力（Shut-off Pressure）： 當出口閥門完全關閉或流量極小（$Q \to 0$）時，剪切帶動量完全被出口反壓所平衡，此時泵產生之出口壓力達到理論極大值。

解題方法

一、已知物理量整理與單位轉換（SI制）

• 軸半徑：$r = \frac{2r}{2} = \frac{60\ \mathrm{mm}}{2} = 30\ \mathrm{mm} = 0.03\ \mathrm{m}$
• 軸向長度（軸承寬度）：$W = 50\ \mathrm{mm} = 0.05\ \mathrm{m}$
• 油膜厚度：$h = 0.1\ \mathrm{mm} = 10^{-4}\ \mathrm{m}$（為均勻厚度，$\frac{dh}{dx} = 0$）
• 潤滑油黏度：$\eta = 0.022\ \mathrm{N\cdot s/m^2} = 0.022\ \mathrm{Pa\cdot s}$
• 軸轉速：$N = 1500\ \mathrm{rpm} \implies \omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 1500}{60} = 50\pi\ \mathrm{rad/s}$
• 軸表面切線速度： $U = r\omega = 0.03\ \mathrm{m} \times 50\pi\ \mathrm{rad/s} = 1.5\pi\ \mathrm{m/s} \approx 4.7124\ \mathrm{m/s}$
• 圍包角（Wrap angle）：$\theta = 320^\circ = 320 \times \frac{\pi}{180} = \frac{16\pi}{9}\ \mathrm{rad}$
• 圓周方向有效長度（泵送通道長度）： $L_c = r\theta = 0.03\ \mathrm{m} \times \frac{16\pi}{9}\ \mathrm{rad} = \frac{4\pi}{75}\ \mathrm{m} \approx 0.16755\ \mathrm{m}$
• 入口壓力取表壓力為基準：$p_{\text{in}} = p(0) = 0$
• 出口壓力：$p_{\text{out}} = p(L_c) = p_{\max}$

二、壓力梯度 $\frac{dp}{dx}$ 之推導

根據題目給予之簡化一維雷諾方程式： $\frac{d}{dx}\left(\frac{h^3}{\eta}\frac{dp}{dx}\right) = 6U\frac{dh}{dx}$ 由於間隙厚度 $h$ 均勻，$\frac{dh}{dx} = 0$，且黏度 $\eta$ 為常數，故方程式化簡為： $\frac{d^2p}{dx^2} = 0$ 對 $x$ 進行積分，得知壓力梯度為定值常數： $\frac{dp}{dx} = \frac{p(L_c) - p(0)}{L_c} = \frac{p_{\max} - 0}{L_c} = \frac{p_{\max}}{L_c}$

三、體積流量 $Q$ 與出口壓力 $p_{\max}$ 之關係式推導

題目給定之單位寬度流量公式為： $q_x = -\frac{h^3}{12\eta}\frac{dp}{dx} + \frac{Uh}{2}$ 將 $\frac{dp}{dx} = \frac{p_{\max}}{L_c}$ 代入： $q_x = \frac{Uh}{2} - \frac{h^3}{12\eta L_c} p_{\max}$

泵在軸方向的長度為 $W$，每單位時間抽取之總體積流量 $Q$ 為： $Q = q_x \cdot W = \frac{WUh}{2} - \frac{Wh^3}{12\eta L_c} p_{\max}$

將各參數代入係數中計算：

1. 無阻抗時最大自由流量（Couette Flow 貢獻量）：

核心觀念

本題考查機械元件設計中「傳動軸（Transmission Shaft）」在複合負載下的強度設計，核心包含以下四大觀念與公式：

1. 旋轉軸之應力本質（Stress State in a Rotating Shaft）：

• 軸在傳動負載下以等速旋轉，外力 $P_A$ 造成之彎矩 $M$ 對軸上任一旋轉點而言，形成拉伸與壓縮交替之完全反向交變應力（Completely Reversed Bending Stress）：
• 交變彎曲應力振幅：$\sigma_a = \frac{32 M}{\pi d^3}$
• 平均彎曲應力：$\sigma_m = 0$
• 傳輸之扭矩 $T$ 為等速穩定傳動，故剪應力為純靜態／平均應力（Steady Mean Torsional Stress）：
• 交變扭轉剪應力振幅：$\tau_a = 0$
• 平均扭轉剪應力：$\tau_m = \frac{16 T}{\pi d^3}$

2. 畸變能理論（Distortion Energy Theory, DET / von Mises 降伏準則）： 用於評估靜態降伏破壞。最大等效應力 $\sigma'$ 須滿足： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2} \le \frac{S_y}{n}$ 其中 $S_y$ 為材料降伏強度，$n$ 為設計安全係數。

3. 古德曼疲勞理論（DE-Goodman Fatigue Failure Criterion）： 用於評估動態交變疲勞壽命。結合畸變能等效應力與修正古德曼直線關係式： $\frac{\sigma_a'}{S_e} + \frac{\sigma_m'}{S_{ut}} = \frac{1}{n}$ 其中 $\sigma_a'$ 為等效交變應力、$\sigma_m'$ 為等效平均應力、$S_e$ 為修正後疲勞限、$S_{ut}$ 為抗拉強度。

解題方法

1. 幾何尺寸缺失說明與合理假設

本題題目文字未提供原卷圖形之幾何尺寸（包含兩端軸承跨距、齒輪 A 所在軸向位置與節圓直徑，以及扭矩平衡輸出端配置）。

依國考《機械設計學》典型傳動軸設計題型，合理設定圖形幾何參數如下：

• 傳動軸兩端由軸承簡支，軸承跨距 $L = 400\ \mathrm{mm} = 0.4\ \mathrm{m}$。
• 齒輪 A 安裝於跨距中央（$a = b = 200\ \mathrm{mm} = 0.2\ \mathrm{m}$），承受垂直傳動力 $P_A = 2000\ \mathrm{N}$。
• 齒輪 A 之節圓直徑 $d_A = 200\ \mathrm{mm}$（節圓半徑 $r_A = 100\ \mathrm{mm} = 0.1\ \mathrm{m}$）。
• 軸所承受之扭矩由齒輪 A 輸入並由軸端平穩傳動輸出。

2. 內力分析（最大彎矩 $M$ 與扭矩 $T$）

• 最大彎矩 $M$（位於簡支跨中齒輪 A 處）： $M = \frac{P_A L}{4} = \frac{2000 \times 0.4}{4} = 200\ \mathrm{N\cdot m}$
• 傳動扭矩 $T$： $T = P_A \times r_A = 2000 \times 0.1 = 200\ \mathrm{N\cdot m}$

3. 畸變能理論計算靜態直徑（$d_{\text{static}}$）

依畸變能準則，臨界截面之凡米塞斯等效應力為： $\sigma' = \sqrt{\left(\frac{32 M}{\pi d^3}\right)^2 + 3\left(\frac{16 T}{\pi d^3}\right)^2} = \frac{16}{\pi d^3} \sqrt{4M^2 + 3T^2}$

設定設計準則 $\sigma' = \frac{S_y}{n}$： $\frac{16}{\pi d^3} \sqrt{4M^2 + 3T^2} = \frac{S_y}{n}$

導出靜態直徑通式： $d_{\text{static}} = \left[ \frac{16 n}{\pi S_y} \sqrt{4M^2 + 3T^2} \right]^{1/3}$

代入數值（$S_y = 380\ \mathrm{MPa} = 380 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$，$n = 2.0$）： $\sqrt{4M^2 + 3T^2} = \sqrt{4(200)^2 + 3(200)^2} = 200\sqrt{7} \approx 529.15\ \mathrm{N\cdot m}$ $d_{\text{static}}^3 = \frac{16 \times 2.0}{\pi \times (380 \times 10^6)} \times 529.15 \approx 1.4184 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}^3$ $d_{\text{static}} = (1.4184 \times 10^{-5})^{1/3} \approx 0.02421\ \mathrm{m} = 24.21\ \mathrm{mm}$

4. 古德曼理論計算疲勞直徑（$d_{\text{fatigue}}$）

在交變彎曲與靜態扭轉共同作用下：

• 等效交變應力： $\sigma_a' = \sqrt{\sigma_a^2 + 3\tau_a^2} = \sigma_a = \frac{32 M}{\pi d^3}$
• 等效平均應力：

核心觀念

本題屬於機械設計學中極為經典的螺栓偏心剪力接合（Eccentrically Loaded Bolted Connection in Shear）​設計問題，考查以下關鍵力學觀念與材料強度準則：

1. 螺栓群之受力分析（一次剪力與二次剪力原理）：

• 當外力載重作用線不通過螺栓群形心時，可將載重等效平移至螺栓群形心，形成一組平行於外力的剪力 $V$ 與對形心的偏心彎矩（扭矩）$M$。
• 一次剪力（直剪力，Primary Shear Force, $F'_i$）：由全體 $N$ 支螺栓平均承受，方向與外力平行： $F'_i = \frac{P}{N}$
• 二次剪力（扭矩剪力，Secondary Shear Force, $F''_i$）：由螺栓群共同抵抗偏心力矩 $M = P \cdot L$。各螺栓所受二次剪力與其至形心距離 $r_i$ 成正比，方向垂直於螺栓與形心之連線（沿旋轉切線方向）： $F''_i = \frac{M r_i}{\sum_{k=1}^N r_k^2}$
• 向量合成與危險螺栓：各螺栓之總受剪力為一次剪力與二次剪力之向量和 $\vec{F}_i = \vec{F}'_i + \vec{F}''_i$。合成受力最大者為設計控制之危險螺栓（Critical Bolt）。

2. 材料強度等級與容許剪應力準則：

• 公制螺栓強度等級 $5.8$：極限抗拉強度 $S_{ut} = 520\ \mathrm{MPa}$、降伏強度 $S_y = 415\ \mathrm{MPa}$、驗證強度（Proof strength）$S_p = 380\ \mathrm{MPa}$。
• 依畸變能理論（Distortion Energy Theory / von Mises），純剪剪切降伏強度為： $S_{sy} = \frac{S_y}{\sqrt{3}} \approx 0.577 S_y$
• 配合設計安全係數 $n$，材料之容許剪應力為： $\tau_{\text{allow}} = \frac{S_{sy}}{n} = \frac{0.577 S_y}{n}$

3. 螺栓直徑計算：

• 螺栓剪應力條件為 $\tau = \frac{F_{\max}}{A} \le \tau_{\text{allow}}$，其中單剪截面積 $A = \frac{\pi}{4} d^2$。
• 螺栓所需之最小直徑為： $d \ge \sqrt{\frac{4 F_{\max}}{\pi \tau_{\text{allow}}}}$

解題方法

本題考卷原題附圖所標註之外力載重大小 $P$、載重線至螺絲群中心之距離 $L$ 以及 4 支螺絲之幾何配置間距未於題文中列出，依國家考試機械設計學此類題型之最典型工程幾何與載重尺寸進行合理設定作答：

• 橫樑端部受垂直向下集中載重 $P = 10\ \mathrm{kN} = 10000\ \mathrm{N}$。
• 載重線至 4 支螺栓形心之水平偏心距 $L = 400\ \mathrm{mm}$。
• 4 支螺絲呈對稱矩形配置：水平間距 $a = 100\ \mathrm{mm}$，垂直間距 $b = 100\ \mathrm{mm}$。
• 接合處螺栓為單剪受力，直徑計算以公稱桿徑（或未受螺紋削弱之剪切面）為基準。

步驟一：螺栓群幾何性質計算

以 4 支螺栓幾何中心（形心 $G$）為座標原點 $(0, 0)$：

• 螺栓 1（右上）：$(x_1, y_1) = (+50\ \mathrm{mm}, +50\ \mathrm{mm})$
• 螺栓 2（左上）：$(x_2, y_2) = (-50\ \mathrm{mm}, +50\ \mathrm{mm})$
• 螺栓 3（左下）：$(x_3, y_3) = (-50\ \mathrm{mm}, -50\ \mathrm{mm})$
• 螺栓 4（右下）：$(x_4, y_4) = (+50\ \mathrm{mm}, -50\ \mathrm{mm})$

各螺栓至形心之半徑距離 $r$ 及距離平方和： $r = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$ $\sum_{i=1}^4 r_i^2 = 4 \times r^2 = 4 \times 5000 = 20000\ \mathrm{mm}^2$

步驟二：等效載重與各螺栓受力分量

外力平移至螺栓群形心 $G$，產生：

• 垂直向下剪力：$V = P = 10000\ \mathrm{N}$（$-y$ 方向）

核心觀念

本題屬於機械設計學中「活塞環（開口環）之受力與變形」經典分析題，核心在於利用材料力學之能量法（卡氏第二定理，Castigliano's Second Theorem）​推導開口環在切向拉開力作用下的撓曲變形。

1. 曲樑微小變形與力矩平衡： 活塞環斷面形心軸平均半徑為 $R$，在開口處施加一對大小相等、方向相反的切向張開力 $F$。任意夾角 $\theta$ 截面之彎矩為： $M(\theta) = F R (1 - \cos\theta)$
2. 卡氏第二定理（Castigliano's Second Theorem）： 線彈性系統中，外力作用點沿該力方向的位移 $\delta$ 等於總應變能 $U$ 對該外力 $F$ 的偏微分： $\delta = \frac{\partial U}{\partial F} = \int \frac{M(\theta)}{E I} \frac{\partial M(\theta)}{\partial F} R\, d\theta$
3. 矩形斷面慣性矩： 活塞環於半徑平面內彎曲張開，彎曲深度為徑向高度 $h$，斷面寬度為軸向厚度 $b$： $I = \frac{b h^3}{12}$
4. 剪切變形與剪切模數 $G$ 之影響： 題目雖給定剪切模數 $G=79.3\ \mathrm{GPa}$，但因活塞環細長比（長徑比）$\frac{R}{h} \approx \frac{38.5}{3.0} \approx 12.83 > 10$，剪切與軸向變形對總開口位移之貢獻小於 $0.1\%$，依薄曲樑理論，彎曲變形佔絕對主導，計算上以彎矩應變能為主。

解題方法

步驟一：整理幾何與材料特性參數

• 鋼製材料性質：
• 彈性模數：$E = 207\ \mathrm{GPa} = 207 \times 10^3\ \mathrm{N/mm^2}$
• 剪切模數：$G = 79.3\ \mathrm{GPa} = 79.3 \times 10^3\ \mathrm{N/mm^2}$
• 活塞環幾何尺寸：
• 外直徑：$D_o = 80\ \mathrm{mm}$
• 徑向高度：$h = 3.0\ \mathrm{mm}$
• 軸向厚度（寬度）：$b = 3.0\ \mathrm{mm}$
• 內直徑：$D_i = D_o - 2h = 80 - 2(3.0) = 74\ \mathrm{mm}$
• 形心軸平均半徑： $R = \frac{D_o + D_i}{4} = \frac{D_o - h}{2} = \frac{80 - 3.0}{2} = 38.5\ \mathrm{mm}$
• 矩形斷面面積： $A = b \cdot h = 3.0 \times 3.0 = 9.0\ \mathrm{mm^2}$
• 對中立軸之面積慣性矩： $I = \frac{b h^3}{12} = \frac{3.0 \times (3.0)^3}{12} = 6.75\ \mathrm{mm^4}$
• 抗彎剛度： $E I = (207 \times 10^3\ \mathrm{N/mm^2}) \times 6.75\ \mathrm{mm^4} = 1,397,250\ \mathrm{N\cdot mm^2}$

步驟二：建立截面彎矩方程式

將開口處定義為夾角 $\theta = 0$。安裝時於開口兩端施加一對相反的切向張開力 $F$。 由對稱性取半個環（$0 \le \theta \le \pi$），在夾角 $\theta$ 處截開，施力 $F$ 至截面形心的垂直力臂為： $d = R - R\cos\theta = R(1 - \cos\theta)$ 因此，該截面之內部彎曲力矩為： $M(\theta) = F R (1 - \cos\theta)$ （在開口端 $\theta=0$ 處 $M=0$；

一、核心觀念

本題為機械工程國家考試《機械設計學》中「剎車器與離合器（Brakes and Clutches）」的經典考題，評量重點涵蓋以下力學與設計原理：

1. 旋轉動力學與功能原理（Work-Energy Principle）： 飛輪釋放旋轉動能至完全停止，制動轉矩（Braking Torque, $T$）與角位移之功等於動能變化量；亦可由等角加速度運動方程式搭配牛頓第二運動定律（$T = I \alpha_{\text{ang}}$）求解。
2. 均勻壓力理論（Uniform Pressure Theory）： 題幹明示「作動剎車的液壓活塞安置於半徑 $r_P$，使來令片在整個接觸面為均勻壓力」，此條件指示必須採用均勻壓力模型（$p = \text{const}$），而非均勻磨耗模型（$p \cdot r = \text{const}$）。
3. 等效摩擦半徑（Equivalent Friction Radius, $r_e$）： 扇形環狀接觸面在均勻壓力下，微小摩擦力對旋轉中心之總力矩所對應的等效摩擦半徑為： $r_e = \frac{2}{3}\left(\frac{r_o^3 - r_i^3}{r_o^2 - r_i^2}\right)$
4. 碟式剎車器之接觸面數（Friction Surfaces, $N$）： 工程實務上，標準碟式剎車器（Caliper Disc Brake）為卡鉗兩側對夾式構造，碟盤兩面均有來令片接觸（接觸摩擦面數 $N = 2$），單一活塞推力藉由浮動卡鉗或對向活塞使兩側皆受正向力 $P$。

二、解題方法

步驟一：計算飛輪停機所需的制動轉矩 $T$

1. 初始角速度 $\omega_1$： $\omega_1 = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi \times 1000}{60} = \frac{100\pi}{3}\ \mathrm{rad/s} \approx 104.72\ \mathrm{rad/s}$

2. 停止時間 $t = 4\ \mathrm{s}$，終止角速度 $\omega_2 = 0$： 飛輪作等角減速度運動，制動過程之旋轉角位移 $\theta$ 為： $\theta = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \cdot t = \frac{\frac{100\pi}{3} + 0}{2} \times 4 = \frac{200\pi}{3}\ \mathrm{rad}$

3. 由功能原理求制動轉矩 $T$： 剎車摩擦轉矩所作之功等於飛輪初始動能 $E_k$： $W = T \cdot \theta = E_k = 400\ \mathrm{kJ} = 400,000\ \mathrm{J}$ $T = \frac{E_k}{\theta} = \frac{400,000}{\frac{200\pi}{3}} = \frac{6000}{\pi}\ \mathrm{N\cdot m} \approx 1909.86\ \mathrm{N\cdot m}$

步驟二：推導並計算等效摩擦半徑 $r_e$

在均勻壓力 $p$ 假設下，取半徑 $r$、夾角 $d\phi$ 之微小面積 $dA = r\,dr\,d\phi$：

• 法向作動力： $P = \int p\,dA = p \int_{-\alpha/2}^{\alpha/2} d\phi \int_{r_i}^{r_o} r\,dr = p \cdot \alpha \cdot \frac{r_o^2 - r_i^2}{2}$
• 單一摩擦面之摩擦轉矩： $T_1 = \int \mu\,p\,r\,dA = \mu\,p \int_{-\alpha/2}^{\alpha/2} d\phi \int_{r_i}^{r_o} r^2\,dr = \mu\,p \cdot \alpha \cdot \frac{r_o^3 - r_i^3}{3}$
• 聯立可得等效摩擦半徑 $r_e = \frac{T_1}{\mu P}$： $r_e = \frac{2}{3}\left(\frac{r_o^3 - r_i^3}{r_o^2 - r_i^2}\right)$

代入內外半徑 $r_i = 60\ \mathrm{mm} = 0.06\ \mathrm{m}$、$r_o = 120\ \mathrm{mm} = 0.12\ \mathrm{m}$： $r_e = \frac{2}{3}\left(\frac{0.12^3 - 0.06^3}{0.12^2 - 0.06^2}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{0.001512}{0.0108} = \frac{2}{3} \times 0.14 = \frac{0.28}{3}\ \mathrm{m} = \frac{280}{3}\ \mathrm{mm} \approx 93.33\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算所需作動力 $P$

依據碟式剎車卡鉗的構造，區分以下兩種工程認定作答：

• 標準卡鉗對夾式（雙面接觸，摩擦面數 $N = 2$）： 碟式剎車卡鉗由活塞提供作動力 $P$，碟盤兩面均受壓緊力 $P$，總制動轉矩為：