108 高普考高考二級 機械工程 機械設計學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於機械設計學中「多軸複合負荷疲勞破壞」與「靜態降伏破壞」的經典題型，核心評量重點包含以下三項：

1. 應力狀態分解： 受外力作用之圓截面構件，彎曲負荷產生正應力 $\sigma$，扭轉負荷產生剪應力 $\tau$。依疲勞分析定義，應力分為交變分量（Alternating component，下標 $a$）與平均分量（Mean component，下標 $m$）。

• 題目給定「交變彎曲應力」為 $172\ \mathrm{MPa}$，即 $\sigma_a = 172\ \mathrm{MPa}$，平均彎曲應力 $\sigma_m = 0\ \mathrm{MPa}$。
• 題目給定「穩定扭轉應力」為 $103\ \mathrm{MPa}$，即 $\tau_m = 103\ \mathrm{MPa}$，交變扭轉應力 $\tau_a = 0\ \mathrm{MPa}$。

2. von Mises（畸變能理論）等效應力： 在平面應力狀態且正應力僅有一向（$\sigma_x = \sigma, \sigma_y = 0$）時，von Mises 等效應力定義為： $\sigma' = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$ 將應力分解至交變與平均分量，得等效交變應力 $\sigma'_a$ 與等效平均應力 $\sigma'_m$： $\sigma'_a = \sqrt{\sigma_a^2 + 3\tau_a^2}$ $\sigma'_m = \sqrt{\sigma_m^2 + 3\tau_m^2}$ 週期循環中的瞬時最大等效應力為： $\sigma'_{\max} = \sqrt{\sigma_{\max}^2 + 3\tau_{\max}^2}$ （部分學者亦採用保守的線性疊加界限 $\sigma'_{\max} = \sigma'_a + \sigma'_m$） 靜態降伏安全係數為： $n_y = \frac{S_y}{\sigma'_{\max}}$

3. 修正古德曼（Modified Goodman）疲勞破壞準則： 當構件承受變動複合負荷時，以等效交變應力與等效平均應力評估有限/無限壽命，方程式為： $\frac{\sigma'_a}{S_e} + \frac{\sigma'_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n}$ 其中 $S_e$ 為耐勞限（Endurance limit），$S_{ut}$ 為抗拉強度（Ultimate tensile strength），$n$ 為疲勞安全係數。

解題方法

(一) 依 von Mises 理論分析之交變應力、平均應力、最大應力及安全係數

第一步：列出已知機械性質與應力分量

• 材料性質：$S_e = 276\ \mathrm{MPa}$、$S_y = 413\ \mathrm{MPa}$、$S_{ut} = 551\ \mathrm{MPa}$
• 彎曲應力：$\sigma_a = 172\ \mathrm{MPa}$，$\sigma_m = 0\ \mathrm{MPa}$
• 扭轉應力：$\tau_a = 0\ \mathrm{MPa}$，$\tau_m = 103\ \mathrm{MPa}$

第二步：計算合併負荷交變應力 $\sigma'_a$ $\sigma'_a = \sqrt{\sigma_a^2 + 3\tau_a^2} = \sqrt{172^2 + 3(0)^2} = 172\ \mathrm{MPa}$

第三步：計算合併負荷平均應力 $\sigma'_m$ $\sigma'_m = \sqrt{\sigma_m^2 + 3\tau_m^2} = \sqrt{0^2 + 3(103)^2} = \sqrt{3} \times 103 \approx 178.40\ \mathrm{MPa}$

第四步：計算合併負荷最大應力 $\sigma'_{\max}$ 先求各應力分量之最大值： $\sigma_{\max} = \sigma_m + \sigma_a = 0 + 172 = 172\ \mathrm{MPa}$ $\tau_{\max} = \tau_m + \tau_a = 103 + 0 = 103\ \mathrm{MPa}$

核心觀念

本題考查機械元件設計中「鍵連接」（Key Connection）的強度設計與應力分析，核心觀念包含：

1. 扭矩與切線力關係：軸傳遞功率 $P$ 與角速度 $\omega$（或轉速 $n$）決定傳遞扭矩 $T$；鍵在軸表面所承受的切線力 $F$ 則由扭矩與軸半徑決定： $P = T\omega \implies T = \frac{P}{\omega} = \frac{60P}{2\pi n}$ $F = \frac{T}{r} = \frac{2T}{d}$
2. 鍵的破壞模式：

• 剪切破壞（Shear Failure）：切線力作用於鍵的水平剪切面（剪切面積 $A_s = w \times l$），引致剪應力 $\tau = \frac{F}{wl}$。
• 擠壓／壓應力破壞（Bearing / Crushing Failure）：切線力作用於鍵槽側面（承受壓應力面積 $A_c = \frac{h}{2} \times l$），引致壓應力 $\sigma_c = \frac{F}{(h/2)l}$。

3. 降伏準則與容許應力：

• 容許壓應力：以材料抗拉／抗壓降伏強度 $S_y$ 與安全係數 $n_s$ 計算，即 $\sigma_{c,\mathrm{all}} = \frac{S_y}{n_s}$。
• 容許剪應力：工程實務上採用破壞理論推導剪切降伏強度 $S_{sy}$：
• 最大剪應力理論（MSS / Tresca）：$S_{sy} = 0.5 S_y$，容許剪應力 $\tau_{\mathrm{all}} = \frac{0.5S_y}{n_s}$。
• 剪切應變能理論（DE / von Mises）：$S_{sy} = \frac{S_y}{\sqrt{3}} \approx 0.577 S_y$，容許剪應力 $\tau_{\mathrm{all}} = \frac{0.577S_y}{n_s}$。

解題方法

步驟一：計算傳遞扭矩 $T$ 與切線傳遞力 $F$

1. 軸之角速度 $\omega$： $\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi \times 596}{60} \approx 62.413\ \mathrm{rad/s}$
2. 傳遞扭矩 $T$： $T = \frac{P}{\omega} = \frac{22 \times 10^3}{62.413} \approx 352.49\ \mathrm{N\cdot m} = 352490\ \mathrm{N\cdot mm}$
3. 鍵所受之切線合力 $F$（作用於軸外表面半徑 $r = \frac{d}{2} = 11.5\ \mathrm{mm}$）： $F = \frac{T}{r} = \frac{2T}{d} = \frac{2 \times 352490}{23} \approx 30651.3\ \mathrm{N}$

步驟二：計算承受壓應力（擠壓）所需之方鍵長度 $l_c$

1. 方鍵尺寸 $w \times h = 6 \times 6\ \mathrm{mm}$，埋入軸與輪轂之接觸深度均為 $\frac{h}{2} = 3\ \mathrm{mm}$。
2. 擠壓受力面積： $A_c = \frac{h}{2} \times l = 3l\ (\mathrm{mm^2})$
3. 材料容許壓應力： $\sigma_{c,\mathrm{all}} = \frac{S_y}{n_s} = \frac{390}{1.1} \approx 354.55\ \mathrm{MPa}$
4. 依壓應力設計準則 $\sigma_c = \frac{F}{A_c} \le \sigma_{c,\mathrm{all}}$：

核心觀念

這是單搭接螺栓接合的靜態剪力設計題。負荷 $P=90\ \mathrm{kN}$ 由 3 支螺栓平均傳遞，因此每支螺栓承受

需檢核四種破壞模式：螺栓剪斷、板件孔壁承壓、板件淨截面拉斷，以及板件邊緣剪出。圖中板寬為 $35+35=70\ \mathrm{mm}$，螺栓中心至端部距離 $e=35\ \mathrm{mm}$；兩板厚度為 $15$ 與 $20\ \mathrm{mm}$。板件以較薄的 $15\ \mathrm{mm}$ 板作控制檢核。

以下採延性材料 von Mises 降伏準則，剪降伏應力取 $S_{sy}=S_y/\sqrt{3}$；假設孔徑以螺栓公稱直徑 $d=20\ \mathrm{mm}$ 計，且三支螺栓平均分擔負荷。

解題方法與計算

1. 螺栓剪斷

螺紋未延伸入接合面，剪切面通過螺栓光桿，因此每支螺栓剪切面積為

三支螺栓的總剪切面積為 $3A_b$。螺栓剪降伏應力為

安全係數：

2. 板件孔壁承壓

每支螺栓在較薄板上的投影承壓面積為 $dt=20(15)=300\ \mathrm{mm^2}$。孔壁承壓應力為

以板件降伏強度 $S_y=320\ \mathrm{MPa}$ 計算：

核心觀念

本題考查滾動軸承（Rolling Contact Bearing）之「額定壽命（Rating Life）」計算與「可靠度修正（Reliability Modification）」：

1. 基本額定壽命方程式（Basic Rating Life Equation）： 軸承在等效徑向負荷 $P$ 下，達到 $90\%$ 可靠度（即 $10\%$ 失效機率）之額定壽命 $L_{10}$（百萬轉，$\mathrm{MR}$ 或 $10^6\ \mathrm{rev}$）為： $L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^a \times 10^6\ \text{轉}$ 其中：

• $C$：基本額定動負荷（Basic Dynamic Load Rating）
• $P$：等效徑向負荷（Equivalent Radial Load）
• $a$：壽命指數（Life Exponent）。滾珠軸承（Ball Bearing）取 $a = 3$；滾子軸承（Roller Bearing）取 $a = \frac{10}{3}$。

2. 壽命時數換算（Life in Hours）： 若運轉轉速為 $n\ (\mathrm{rpm})$，則對應之預期運轉小時數 $L_{10h}$ 為： $L_{10h} = \frac{L_{10}}{60 \cdot n} = \frac{\left(\frac{C}{P}\right)^a \times 10^6}{60 \cdot n}\ \text{小時}$

3. 可靠度修正壽命（Adjusted Life for Reliability）： 目錄額定壽命係基於 $90\%$ 可靠度（$L_{10}$，失效機率 $10\%$）。當系統要求失效機率降至 $4\%$（即可靠度提升至 $R = 96\%$）時，需引入可靠度修正因子 $K_R$（部分參考書標示為 $a_1$）： $L = K_R \cdot L_{10}$ $L_h = K_R \cdot L_{10h}$

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 軸承種類：滾珠軸承 $\implies$ 壽命指數 $a = 3$
• 運轉轉速：$n = 1725\ \mathrm{rpm}$
• 承受徑向負荷：$P = 2\ \mathrm{kN}$
• 基本額定動負荷：$C = 16.06\ \mathrm{kN}$（在 $10^6$ 轉之基準下）
• 失效機率 $4\%$ 之壽命修正因子：$K_R = 0.53$

步驟二：計算基本預期壽命（$90\%$ 可靠度，失效機率 $10\%$）

1. 以迴轉數（Revolutions）表示： $L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^3 \times 10^6 = \left(\frac{16.06}{2}\right)^3 \times 10^6 = (8.03)^3 \times 10^6$